专题3.1 椭圆及其标准方程【六大题型】（举一反三）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

专题3.1椭圆及其标准方程【六大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1椭圆的定义】 1【题型2曲线方程与椭圆】 3【题型3椭圆方程的求解】 5【题型4动点轨迹方程的求法】 6【题型5椭圆中的焦点三角形问题】 8【题型6椭圆中的最值问题】 10【知识点1椭圆的定义】1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.【题型1椭圆的定义】【例1】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）F1，F2为椭圆x249+y29=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|=5，则|PA．9 B．4 C．2 D．1【解题思路】由椭圆定义可得PF【解答过程】椭圆x249+y29=1中，a⸫PF1+PF故选：A.【变式1-1】（2023秋·陕西汉中·高二统考期末）若椭圆x29+y2=1上一点A到焦点F1的距离为2A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】利用椭圆的定义有|AF1|+|AF【解答过程】由椭圆方程知：a=3.根据椭圆的定义有|因为|A所以|A故选：D.【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C:x29+y25=1，F1,F2分别是椭圆C的焦点，过点FA．2 B．4 C．6 D．8【解题思路】根据椭圆的定义可求AF1+AF【解答过程】设椭圆x29+y2由椭圆定义可得AF1+又AF所以AF故选：D.【变式1-3】（2023秋·河北邢台·高二校考期末）设P为椭圆C：x225+y29=1上一点，F1，A．32 B．52 C．72【解题思路】根据椭圆的定义写出PF1+P【解答过程】根据P为椭圆C：x2则有PF又PF1=3故选：B.【知识点2椭圆的标准方程】1．椭圆的标准方程椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：椭圆在坐标

系中的位置标准方程焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的关系2．椭圆方程的求解(1)用定义法求椭圆的标准方程

根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程

①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.【题型2曲线方程与椭圆】【例2】（2022秋·广西钦州·高三校考阶段练习）“1<k<5”是方程“x2k-A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条【解题思路】根据椭圆的标准方程可得k-1>0,5-k>0,k【解答过程】若方程表示椭圆，则有k因此1<k<5且故“1<k<5”是“方程x2故选：B.【变式2-1】（2023·全国·高二专题练习）方程x2+ky2=2A．k>0 B．1<k<2 C．k【解题思路】将方程化为标准式，依题意求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【解答过程】方程x2+ky2=2可变形为x2易知当1<k<2时，k>1，当k所以1<k<2是k故选：B.【变式2-2】（2023秋·全国·高二期末）若方程x2a2+y2a+6=1A．a>3 B．C．a>3或a<-2 D．-【解题思路】根据椭圆焦点在y轴上,可得a2<a【解答过程】解:由题知x2a2+则有:a2解得:-2<a<0故选:D.【变式2-3】（2022·高二单元测试）若方程x29-k+yA．k∈1,9 B．椭圆CC．若椭圆C的焦点在x轴上，则k∈1,5 D．若椭圆C的焦点在x【解题思路】利用椭圆方程与椭圆位置特征逐项分析、计算即可判断作答.【解答过程】因方程表示椭圆，则有9-k>0，k-1>0，且9-k焦点在x轴上时，9-k>k-1>0，解得k焦点在x轴上时，则c2=9-k-k-1=10-2故选：C.【题型3椭圆方程的求解】【例3】（2023春·河北承德·高二校考开学考试）焦点坐标为0,-4，（0，4），且长半轴a=6的椭圆方程为（

A．x236+C．x236+【解题思路】根据题意可知c=4,a=6，即可由b【解答过程】因为c=4,a=6，所以b2=故选：B．【变式3-1】（2023秋·江苏·高二统考期末）已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0A．x24+C．x23+【解题思路】根据椭圆的性质可得a,b【解答过程】由点0,1在椭圆上得b=1由椭圆的对称性可得AF+BF=2故椭圆方程为x2故选：A.【变式3-2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）设椭圆x2a2+y2b2=1(A．x216+y212=1 B．【解题思路】根据题意和椭圆的几何性质，得到a=2c=4，进而求得【解答过程】由椭圆的几何性质，因为BF2=所以a=4，c=2，则b=故选：A.【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C的焦点为F1(0,-2)，F2(0,2)．过点F2的直线与C交于A，B两点．若△ABFA．x29+y25=1 B．【解题思路】根据已知条件求得a,b，由此求得椭圆C【解答过程】依题意c=24a由于椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆C的标准方程为y2故选：B.【题型4动点轨迹方程的求法】【例4】（2023秋·广东广州·高二校考期末）△ABC的周长是8，B（﹣1，0），C（1，0），则顶点A的轨迹方程是（

）A．x29+C．x24+【解题思路】由周长得AB+AC＝6，从而知A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，再根据已知条件可求得轨迹方程．注意范围．【解答过程】解：∵△ABC的两顶点B（﹣1，0），C（1，0），周长为8，∴BC＝2，AB+AC＝6，∵6＞2，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，且2a＝6，c＝1，b＝22，所以椭圆的标准方程是x2故选：A.【变式4-1】（2023·高二课时练习）在△ABC中，已知A-1,0,C1,0，若a>A．x24+C．x24+【解题思路】先利用正弦定理化角为边，从而可得a+c=4，再结合题意可得点B的轨迹是以【解答过程】解：在△ABC中，因为2所以2b又A-1,0,所以a+c=4由于a>所以点B的轨迹是以A-由22所以顶点B的轨迹方程是x2故选：A.【变式4-2】（2022秋·山西运城·高二校联考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：x-22+y2=20（圆心为A），点B-2,0，点Р在圆A上运动，设线段PBA．x25-C．x25+【解题思路】根据椭圆的定义求得正确答案.【解答过程】圆A：x-22+y由于-2-22+02=16<20根据垂直平分线的性质可知QP=所以QA+所以Q点的轨迹是椭圆，且2a所以点Q的轨迹方程是x2故选：C.【变式4-3】（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）已知圆C:(x-1)2+y2=16，F(-1,0)为圆内一点，将圆折起使得圆周过点A．x24+y23=1 B．【解题思路】由图形可知PF+PC=PA+PC【解答过程】F(-1,0)，C(1,0)，点F关于折痕l的对称点A在圆周上，折痕l为线段AF的垂直平分线，折痕l与AC相交于点P，则有PA=PF，可知PF所以点P的轨迹是以F,C为左、右焦点的椭圆，其中长轴2a=4，焦距2c=2，所以点故选：A.【知识点3椭圆的焦点三角形】1．椭圆的焦点三角形(1)焦点三角形的概念

设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦点三角形，如图所示.(2)焦点三角形的常用公式

①焦点三角形的周长L=2a+2c.

②在中，由余弦定理可得.

③设，，则.【题型5椭圆中的焦点三角形问题】【例5】（2023春·新疆阿勒泰·高二统考期末）已知△PQF的顶点P,Q在椭圆x216+y212A．12 B．43 C．16 D．【解题思路】利用椭圆的定义求解即可.【解答过程】设椭圆的另外一个焦点为F1

则△PQF的周长为PQ故选：C.【变式5-1】（2023·全国·高二专题练习）已知△ABC的顶点B､C在椭圆x23+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BCA．2 B．2C．4 D．4【解题思路】根据椭圆定义得|AB|+|BF2【解答过程】由椭圆方程知：2a=23，又|∴△ABC的周长为4a故选：D.【变式5-2】（2023春·广东深圳·高二校考阶段练习）在椭圆x24+y22=1上有一点P，F1､A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【解题思路】由△F1PF【解答过程】当∠PF1F2为直角时，这样的点P当∠PF2F1为直角时，这样的点P当∠F1PF2为直角时，因为椭圆x24+y所以符合条件△F1PF2故选：C.【变式5-3】（2023·全国·高三专题练习）已知点P是椭圆x29+y24=1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1、A．6 B．12 C．2 D．2【解题思路】设PF1=m,PF2【解答过程】对于椭圆x29+设PF则根据椭圆的定义得m+又cos∠解得mn=6S△故选：D.【题型6椭圆中的最值问题】【例6】（2023·高二课时练习）已知椭圆C:x225+y29=1的左右焦点分别为【解题思路】根据椭圆的定义，结合焦半径的取值范围，建立PF1⋅【解答过程】对椭圆C:x225又PF1∈[a-PF1⋅对y=x(10-x)，其在故当x=5时，ymax=5×5=25，当x=1或即PF1⋅PF【变式6-1】（2023·高二课时练习）已知P是椭圆x24+y2【解题思路】设点P的坐标为x0,y0，则x02【解答过程】因为P是椭圆x2所以a=6,b=2,点P是椭圆上任意一点，设点P的坐标为x0则x0所以PA==8=8因为458当y0=45所以PA当y0=-6时，【变式6-2】（2023·高二课时练习）已知椭圆C：x225+y216=1内有一点M2,3，(1)PM-(2)PM+【解题思路】(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得||PM|-|P(2)利用椭圆的定义表示出|PM【解答过程】（1）由椭圆C:x225+y2则F1(-3,0)，

则||PM|-|PF1||≤|M所以-34所以|PM|-|PF1（2）2a=10，F2设P是椭圆上任一点，由|PF1∴|PM等号仅当|PM|=|PF2|-|M由|PM∴|PM等号仅当|PM|=|PF2|+|M故|PM|+|PF1【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆x225+y216=1内有一点P(1（1）求|MP（2）求|MP（3）求使得|MP|+