(高等数学)第三章 导数与微分

高等数学《第三章》讲义 导数与微分 周世国PAGE 第1页@@￥PAGE1￥@@共35页第三章导数与微分导数的概念两个引例引例1.已知某物体做自由落体运动，其运动规律（即位移函数）为，.试讨论时刻落体的速度（）.解：先取一邻近于的时刻，落体在这一段时间内的平均速度为因为，在处连续，所以反映了落体在时刻的近似快慢程度，显然当越接近于时，这种近似精确度越高.于是，定义（1）一般地，一质点做直线运动，设其位移函数为，若为某一确定的时刻，则称极限为质点在时刻的速度或变化率.引例2.设有曲线，试求曲线上点处切线的斜率.假设在处连续.解：首先要明确一个概念：何谓曲线在处的切线？它应该定义为曲线在点处割线的极限位置，因此切线的斜率就应该是割线的斜率取极限.（作图）在曲线上的附近任取一点Q，可作一条割线Q，设，则显然当Q越接近于点，这种近似计算的精确度越高.于是，令（2）注意：引例1与引例2的实际背景相差很大，但最后要求的量的数学结构却完全相同，将他们在数量关系上的共性抽象出来，就有下面的导数的概念。二.导数的概念1.定义1：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为．2.导数的等价定义：如果记，则定义1可改为：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为．3.导数的另一种等价定义：设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处可导，称为函数的可导点，且称上述极限值为函数在处的导数，记为：或；或简记为．注意：（1）导数定义的本质是变化率的极限，至于表现为何种极限形式，这没有本质的区别，我们在使用时可根据需要选择其中的一种.但根据我的经验，定义1在实际计算时用得教多；而第一种等价定义在理论证明时用得教多；最后一种等价定义则很少用，只在一些考察导数概念的习题中偶尔出现.（2）如果不存在，则称函数在处不可导。4.左、右导数的定义：若设函数在内有定义，如果极限存在，则称在处左可导，称为函数的左可导点，且称上述极限值为函数在处的左导数，记为；类似地可定义..显然有定理1.在处可导在处左可导且在处右可导。5.导数的几何意义：曲线在点处切线的斜率；（请同学们自己写出曲线在点处切线及法线的方程.）导数的物理意义：做变速直线运动的物体的瞬时速度、加速度.要特别关注处的导数定义形式：；若更特殊，还有，则。已知曲线，试求在处的导数。解：这里因为已知=A，试求下列极限的值（1）（2）。例3．研究函数在处的可导性.解：因为，所以；同理，可求得由于，所以在处不可导。注意：大家还记得在上一章，我们证明了在处是连续的,那函数在一点处连续与可导之间究竟有何联系？请看下面的三．可导与连续间的关系定理2.设函数在内有定义，则若在可导则必在处连续；反之未必，即若在连续，在处未必可导.证明：（必要性）设若在可导，即存在，则，反之，可以例3为反例.四.导函数1.定义2.若函数在内每一点处都可导则称为在内可导的函数；若在内满足：（1）在内可导；（2）都存在，则称在上可导的函数。.一般地，设在区间I上可导，对，则极限存在，且它是区间I上关于的一个函数，称之为在区间I上的导函数，记为或简记为.注意：（1）记号是莱布尼兹首先引用的，物理学中牛顿用记号表示；（2）是一个整体记号，不可理解为除以，但可把理解为对函数施行求导数运算（3）导函数在处的值为：，这正是以第一种等价定义形式定义的函数在处的导数值.上式揭示出导函数与函数在一点处的导数值之间的关系，在以后，我们就很少单独某一个函数在具体点处的导数值，而试图算出常见函数的导函数的表达式，并把它背下来.当需要实际计算在具体点处的导数值时，只须将该点代入导函数的表达式。有同学可能会有疑问：常见函数非常多，如何能做到求出所有这些常见函数的导数，并且还会背？其实，我们只需要会求、会背基本初等函数的导函数，再结合为数不多的几个求导法则，即可顺利求出任何一个初等函数的导函数.（4）今后，在不至于引起混淆的情况下，也将导函数简称为导数.大家可以从记号上轻易看出到底要求的是导数还是导函数.例4．，求；例5．求；注意：其实有,为实数）练习：求.例6．，求；注意：特别地，例7．，求；注意：特别地.例8．，求；自做，求；看这意思，我准备求出所有基本初等函数的导数表达式.不错！我这一次课的最终目标是要建立起一个基本导数表（见书第111页）.但我下面不准备继续按导数的定义来求剩余的基本初等函数的导数，因为他们可以在下一节利用求导法则来计算.第三章导数与微分第二节求导的法则一．四则求导法则定理1.若函数均在可导，则函数在也可导，且；函数在也可导，且；函数在也可导，且.证明：只证第一个.推论1.；推论2.推广：（1）三个以上的函数的线性组合求导：（2）三个以上函数的乘积求导（以三个为例）.例1．求的导数.注意：部分同学可能会犯下面的错误：.例2．求的导数.例3.求的导数..注意：为复合函数，从上例可见，对复合函数求导不可直接套用基本导数表，等一会儿，我们将专门讨论复合函数的求导问题.例4．求；自求；例5．求；自求二.反函数求导法则定理2.若函数，其反函数为.若在的某邻域内连续、严格单调且，则在点可导，且（1）证明:设所以，.已知在的某邻域内连续、严格单调且，则其反函数相应的邻域内也连续且严格单调.于是，当时，有.当时，有.从而，故例6．求的导数.解：设原函数，则其反函数为.根据定理2，有.练习：自己求出.（可利用恒等式）例7．求的导数.解：设原函数为，则其反函数为.根据定理2，有.自己求得：.注意：以上例6、例7的结果要求会背.三．复合函数求导法则引例：大家可能还有印象：复合函数的导数是。（与直接套用基本导数表相比，这个2从何而来？）如果记，则，故此题恰好满足等式：（*）这是否是巧合的？我们说不是。事实上，（*）式正揭示出了复合函数的求导法则.定理3.若函数在可导，而函数在对应的处也可导，则复合函数在处也可导，且或（或（2）称上式为复合函数求导的链式法则,证明：设处获得增量,由，则u相应地也获得增量；再由，则相应地也获得增量。已知处也可导，所以，所以，，其中.故，。当，可能有=0；当时，显然有，=0，从而上式也成立，但此时没有定义，为使当时也有意义，将在点0处作连续开拓，定义。上式两端用除之，有：因为可导必连续，故当时，有，从而，所以，.所以，获证.注意：复合函数的链式求导法则可推广至复合两次以上的情形，如：对函数，如记，则各变量间的关系是：有（3）式可通过连续使用两次（2）式得到.大家不难将（3）式的结果再推广可得复合四次以上的情形下的链式法则。不过，一般只会遇到复合三次以下的情形.例8．求的导数.解：记，则,由（2）式，有注意：（1）上述解法的结果无疑是对的，因为它与前面我们用四则求导法则得到的结果完全一致；但上述解法中有个别地方记号不对，谁能指出来？（2）正确写法是：；（3）大家注意到倒数第二步还有一个将中间变量的记号用x的函数进行回代的\过程，也就是说，最后的结果中不再含有中间变量的记号u，请大家作题时不要忘记回代;(4)显然中间变量的记号可以任意，比如：例1中，将u的记号换记为v，不会改变最后的结果.（5）现在我可以解答在第0章中一个不太好回答的问题了：将复合函数分解，究竟分解到何时为止？答：分解到无须用链式法则为止.例2．求的导数.解：记，则.例3．求的导数。解：先将分解为基本初等函数，即.由（3）式，得注意：既然例3中最后的结果与中间变量的记号并无关系，聪明的同学肯定会提出一个想法：能不能不明确地写出中间变量的记号，这样，可省去烦琐的中间变量的回代过程。例4．（重做例3）解：注意：（1）这种写法的核心是：无论再复杂的函数，每次都将它视为只复合了一次，这样可去掉第一层，然后依次去掉第二层，只至去掉最后一层.打个形象的比喻，就相当于一个人穿了好几件衣服，我既可以一次全脱下；也可以一件一件地脱.一次脱完就相当于原始写法；一件一件地脱则相当于新写法.（2）这种写法还有一个好处，即不易犯记号错误.（3）暂时我允许同学们在做作业时，两种写法任选一种；下周以后，只允许用第二种写法.（4）有一种较难的题，复合与四则运算交错在一起，写的过程中易犯错误.例4．求的导数.解：对付这种题我有一句口诀：逢山修路，遇水搭桥，即每次只解决当前的问题类型。=.例5．求的导数.解：练习：1.求的导数.2．求；3求的导数.注意：其实最难的还是抽象的复合函数的求导，因为最容易犯记号错误.例6．，求y的导数.注意：要纠正几种常见的错误。例7．，求y的导数.例8．设，若有导数,证明：.证明：其中,是因为(无穷小)且(有界量).例9．证明：若为偶，且在处可导，则.证1：因为上式两边同时求导：（*）（*）式中，以代入，则.注意：证法1是错的，为何？而下面的证法2是对的：证2：例10．设且证明：证明：因为又所以，注意：证明的过程中用到了下述结论：如果存在，则也存在.例11．确定的值，使（）在内处处可导，并求它的导函数.解：（一）因为可导必连续，所以在处连续，即.（1）其中，；所以，。因此，必有，；（二）因为以在处可导，所以，应满足：.其中，.所以，。且：例12.设在内有定义,且对任意的都有(1).又,求.解:由定义因为(1)式,所以(2)又因为故(3)因此例13.已知是周期为5的连续函数,它在的某个邻域内满足关系式.其中是当时比高阶的无穷小,且在处可导,求曲线在点处的切线方程.解(一):因(1)故即从而.(2)(二)(3)且故右(3)式可得,(三)注意到是周期为5的连续函数,所以有且因此,曲线在点处的切线方程为我们知道导数是利用函数的极限来计算的,现在我们反其道而行之,利用导数的定义来计算函数的极限.例14.求解:原式例15.求解:原式第三章导数与微分第三节高阶导数一.高阶导数的概念1.定义：设函数在内可导，若极限存在，则称函数在处二阶可导，并称此极限（即一阶导函数在处的导数）为在处的二阶导数，记为：注意：（1）如果导函数在区间I的每一点处都可导，则二阶导数是区间上的函数，称为的二阶导函数，简称的二阶导数.（2）同样，可定义三阶导数一般地，称的n-1阶导函数在处的导数为在处的n阶导数，表为;（3）二阶以上的导数，称为高阶导数，也称普通的导数为一阶导数；原函数为零阶导数；（4）若为路程函数，则；（5）由高阶导数的定义可知，计算函数的n阶导数就是按求导法则和导数公式逐阶求下去，最后归纳出n阶导数的一般形式.例1.，求；例2.，求；例3.，求特别地，；例4.，求；类似，，求；例5.，求；例6.，求；例7.，求；注意：做题的过程中不要整理，合并，以便于归纳出一般规律.例8.，求注意：此法称拆项法，请同学们试做，求二．莱布尼兹公式定理：设函数均在处阶可导，则也在处阶可导，且证明：可用数学归纳法证之.证明：（一）时，左==右，结论显然成立；（注意：这里（二）假设当n=k时命题成立，即则当n=k+1时，其中，；（注意：这里用到了连加结果与下标的记号无关.）所以，.（注意：这里用到了一个组合等式：.）这样，就证明了当n=k+1时命题也成立.所以，由数学归纳法，知命题对任何自然数成立.例9．，求.例10．，求.解：.（1）由莱布尼兹公式，得（（1）式两边同时求阶导数）（2）将代入（2）式，得（3）又故由（3）式递推可得：例11．已知具有任意阶导数，且，求证明：因为，所以，，归纳可得：。我们说，最难求的还是抽象的复合函数的高阶导数.例12．，求.解：.所以注意：要给同学们讲清记号与的区别。例13．试从，推导解：（一）注意到：所以，（二）注意到：.例14．设是二阶可导函数，选择使在内二阶可导.解：（一）因为在内二阶可导，所以，及必连续.于是，1．；（1）2．其中，；所以，.（2）从而，（二）又由存在，所以，。其中，所以，.（3）第三章导数与微分第四节隐函数及参数方程确定的函数求导一.隐函数求导1.何谓隐函数？：微积分研究的函数主要是用解析法表示的，而应用解析法表示的函数也有多种不同的方式.隐函数就是用解析法表示函数的另一种方式.何谓隐函数？指的是当自变量与因变量之间的对应法则是由方程所确定的.例如：由方程就可确定一个隐函数或象上述这种能将由方程确定的隐函数“用显式表达”的方程称为可以显化的.但并非所有的隐函数都能从方程中“显化”，比如：超越方程：就不可显化.关于由方程确定的隐函数在满足何条件下确实存在、隐函数的连续性及可导性等，我们将在下册详细讨论。本节课我们研究这样的问题：假设所给的方程确实有可导的隐函数，而方程又未必可以显化，如何去求其导数.2.隐函数的求导法其实隐函数非常简单，只有一个技巧；两边同时求导.例1．求由方程所确定的函数的导数解：根据复合函数求导法则，对自变量求导，有，从中解得：例2.设确定了一个隐函数，求解：（一）方程两边对自变量求导，有（1）所以，（2）由（1）式，有（3）（3）式两边对再求导，得：（4）将（2）式代入（4）式，有：注意：（1）欲求，必要用到的结果；（2）也可通过对（1）式两边再求导的方法得到；（3）请大家考虑以下：从上题如何求？例3.求的导数.解：对上式两边关于求导，得：例4。求的导数。（解：对上式两边关于求导，得：注意：例3、例4的解法称为对数求导法，请大家体会以下它的适用范围.二.参数方程求导在高中《平几》中已学过曲线的参数方程表示方法，如：椭圆的参数方程是：，，其隐函数方程为，均比直接用显函数表示：简单。当然，以参数方程表示为最简.若要求由参数方程确定的函数的导数，应怎样计算？一般地，设，如果在可导，且，则有反函数，从而，为的复合函数.所以，，例5.求摆线在处的切线方程。解：，所以，，又，时，，所以，切点为，因此，切线方程为：。三.相关变化率设，即与都是第三变量的函数，因此它们的变化率与间也存在一定的联系，这两种互相联系的变化率称为相关变化率.常需要从已知的一个变化率去求另一个相关变化率.例6.溶液自水深18厘米，顶直径12厘米的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10厘米的圆柱形筒中。开始时漏斗中盛满溶液。已知当溶液在漏斗中深为12厘米时，其表面下降的速率为每分钟1厘米，问：此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解：设时刻漏斗中水深，液面半径，筒中水深.（作图）则设盛满溶液时漏斗体积为则上式两边同时关于求导，得：，所以，，代入所以，.第三章导数与微分第四节微分一.引例前面研究了导数，有时候，我们需要单独计算的值.显然，它是关于的函数。比如，设，则有.一般说来，当的表达式稍微复杂一点时不好求，比如，。而在很多实际问题中，我们对的精确值并不感兴趣，只要能求出它的满足一定精度的近似值即可.为此，我们有一个想法：能否用关于的函数一个较简单的函数作为的近似替代值？当然，必须保证这种近似计算带来的精度.我们知道关于的最简单的函数莫过于线性函数了.于是，我们可以把想法提得更诱人一点：在满足一定的条件下，可否用性函数近似替代？即，？当然，为了保证精度，还因应有：（？）如果可以做到，我们就称函数在点处可微分.下面看一个具体的例子。1．引例.（热胀冷缩现象）一均匀的正方形薄铁片热胀后其边长由原来的变为。试求其面积增大了多少？解：设边长为的正方形薄铁片的面积为，则所求面积的增大量即为面积函数在处的增量：注意：此引例中，果然可表示成两个部分之和，其中的部分称为的线性主部；我们就称之为函数在处的微分，记为：.显然，在这样的记号下，.有的同学这样问：干脆把也忽略不更简单吗？这种说法有没有道理？二.微分的概念1.定义1.若函数在处的增量可表示为，其中是与无关的常数，则称函数在处可微分，并称为在处的微分，记作，或者.注意：由微分的定义可见，当在处可微分时且很小时，有下述的近似计算公式：.（1）2.可微与可导间的关系定理1.函数在可微函数在可导.证明：（必要性）若函数在可微，即，其中是与无关的常数，用除上式等号两端，有于是，所以，函数在可导，且。（充分性）若函数在可导，即存在，根据有极限函数与无穷小之间的关系，有或，其中是与无关的函数；是关于高阶无穷小.注意：（1）由定理1的证明可见，当函数在处可微分时，；（2）一元函数的可导性与可微性是等价的；（3）微分的几何解释（作图）：在的充分小的邻域内，可用处的一小段切线段来近似替代处的一小段曲线段；（4）如果在区间I上每一点处都可微，则称为区间I上的可微函数，在区间I上的微分记作：（2）（5）在不至于引起混淆的情况下也可简为记.例1.，计算在时的.解：，.所以，注意：此例中，若用，则由此产生的绝对误差是;相对误差是例2．，求解：.注意：（1）由例2可见，自变量的微分等于自变量的增量，即。（之所以如此，是因为本身就是线性函数。）（2）故.（3）由上式，两边同除以由可得到：，因此导数就是微分之商，所以，前苏联的微积分教材中就称导数为“微商”。在前面我们强调作为导数的整体记号，其中的与不可拆开，那是因为当时还没有讲过微分的概念，不知拆开后的记号及是什么含义.现在可以明确告诉大家：导数记号中的与可以根据我们的兴趣随时拆开，并且这其实也正是计算函数导数的一种常用方法.一会儿举一个这方面的例子.（4）今后，在计算函数的微分时，为美观起见，建议大家用来表示.三．微分的运算法则定理2.设函数在处均可微，则（1）；（2）；（3）.推论：。证明：仅证明（4）例3．求的微分解一：解二：.定理3.（复合函数的微分法则）设有都可微，则.（其中）（2）注意：如果只是一个普通的函数，是自变量，则（3）与（2）式相同。也就是说：无论是普通函数，还是复合函数，都有。这个性质称为一阶微分形式的不变性.例4.求的微分解一：.解二：，例5.求由方程所确定的隐函数的导数.解一：对方程