第07章2节二重积分计算法

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1第七章重积分7.2

二重积分的计算法7.2.1

利用直角坐标计算二重积分

当积分区域是X型区域时

当积分区域是Y型区域时2解积分区域如图所示。应先积x，后积y1yx3yox应先积y

，后积x。评注本例中两题不能交换积分次序，因为先积分的原函数不能用初等函数表达出来，从而二重积分计算不出来。解积分区域如图所示。4例5求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体体积。解设这两个圆柱面的方程分别为

利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分(如图(a))的体积V1，然后再乘以8就行了。x2+y2=R2及x2+z2=R2yoxDxyRRzo5

所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为如图所示，它的顶是柱面yoxDxyRRzo6yoxD利用公式(1)，得xyRRzo77.2.2利用极坐标计算二重积分

有些二重积分，积分区域D的边界用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r、

表达比较简单。这时，我们就可以利用极坐标计算二重积分。

下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式。81、极坐标系下的二重积分的形式

假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。我们用(2)从极点出发的一族射线：θ=常数，把D分成n个小区域（如上图）。(1)以极点为中心的一族同心圆：r=常数，9

除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积⊿

i可计算如下：1011122、如何化为两次单积分积分顺序：一般是先积r后积

。定限的方法：依D的特点。OxDOxD13OxDOxD14αβOxD15oxD

由二重积分的性质4，闭区域D的面积

可以表示为16(1)17(2)18(3)19202122122324解积分区域D的图形D：0

a,0

2526D1OxyRD2SD127OxyRSD1D2D1OxyR2829例4求球体x2+y2+z2=4a2被圆柱x2+y2=2ax(a>0)所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。Dyxo2axyoD

303132解由被积函数的对称性，可只考虑第一象限部分337.2.3二重积分的换元法

上述将直角坐标系下二重积分化为极坐标系下的二重积分本质上是一种变量代换，即极坐标变换。积分区域的变换：将直角坐标系中的扇形域D变为极坐标系中的矩形域D1。34其边界的对应为35由此得到36上式右端是在D1上确定积分限。由此可见讨论二重积分的一般坐标变换：

应分析uov平面上区域D1与xoy平面上区域D的变换及面积元素之间的关系，然后将uv平面上的二重积分化为二次积分。可以证明37定理7.2.1设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续公式（5）称为二重积分的换元公式。38

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