陕西省渭南市大荔县2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试卷

2020—2021学年度第一学期期末教学质量检测试题高二数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．本试卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在一个命题和它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，真命题的个数不可能是（）A.0 B.2 C.3 D.————C分析：根据四种命题间的关系，可得出答案.解答：在一个命题和它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，互为逆否命题的命题有2对，根据互为逆否命题的两个命题真假性相同，这四个命题中真命个数可以为0、2或4.故选：C.点拨：本题考查四种命题间的关系，考查学生的推理能力，属于基础题.2.不等式的解集为（）A. B.C. D.————C分析：把原不等式两边同时乘以，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得二次不等式的解集．解答：由可知，得．．得．故选：点拨：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了因式分解法，是基础题．3.命题“，使得”的否定是（）A. B.C. D.————A分析：根据特称命题的否定，可直接得出结果.解答：命题“，使得”的否定是：.故选：A.点拨：本题主要考查特称命题的否定，属于基础题型.4.若是满足的实数，那么下列结论中成立的是（）A.B.C.D————D分析：利用特殊值法判断即可.解答：令，则，，，故选：D点拨：本题主要考查了绝对值不等式的大小比较，特殊值法，属于容易题.5.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（）A.3斤 B.6斤 C.9斤 D.12斤————C分析：根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求.解答：由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为，粗的一端的重量为，可知，，根据等差数列的性质可知，中间三尺为.故选：C点拨：本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型.6.设变量满足约束条件，则的最小值为（）A. B.7 C. D.————C分析：根据线性约束条件作出可行域，由可得：，作，沿着可行域的方向平移，利用的几何意义即可求解.解答：作出可行域如图：由可得：，作，沿着可行域的方向平移过点时，取得最小值，由得，所以，故选：C点拨：方法点睛：求直线的最值时，一般先化为的形式，为直线在轴上的截距，当时将直线上移变大，当时将直线下移变大.7.是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件————A分析：直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．解答：因为“”，则“”；但是“”不一定有“”.

所以“”，是“”成立的充分不必要条件．故选A.点拨：充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法：①定义法：若，则是的充分条件，是的必要条件；②构造命题法：“若，则”为真命题，则是的充分条件，是的必要条件；③数集转化法：：，：，若，则是的充分条件，是的必要条件.8.若双曲线的焦距为8，则实数的值是（）A. B. C. D.————C分析：先根据题意求出，，，利用即可求出的值.解答：由题意知：，，，，因为，所以，解得：，故选：C9.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的现象．图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已.谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，其构造方法如下：取一个实心的等边三角形(如图1)，沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那一个小三角形(如图2)，对其余三个小三角形重复上述过程(如图3)．若图1(阴影部分)的面积为1，则图4(阴影部分)的面积为（）A. B. C. D.————C分析】通过合情推理判断出所求阴影部分的面积.解答：由于图阴影部分的面积为，图的阴影部分的面积为，图的阴影部分面积为，所以图的阴影部分的面积为.故选：C.点拨：本小题主要考查合情推理与演绎推理，属于基础题.10.如果满足，，的有两个，那么x的取值范围为（）A. B. C. D.————C分析：根据正弦定理得到，根据三角形有两解得到答案.解答：根据正弦定理：，即，，三角形有两解，故故选：.点拨：本题考查了根据正弦定理判断三角形解的个数，意在考查学生的应用能力.11.如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为.求与夹角的余弦值是（）A. B. C. D.————B分析：以为空间向量的基底，表示出和，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得．解答：由题意．以为空间向量的基底，，，，，，∴．∴与夹角的余弦值为．故选：B．点拨：本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角．12.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知、是一对相关曲线的焦点，是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是()A. B. C. D.2————A分析：设，，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，根据余弦定理可得，利用椭圆和双曲线的定义，结合离心率的公式，求得结果.解答：设椭圆的长半轴长为，椭圆的离心率为，则，．双曲线的实半轴长为，双曲线的离心率为，，，设，，则，当点P被看作是椭圆上的点时，有，当点P被看作是双曲线上的点时，有，两式联立消去得，即，所以，又，所以，整理得，解得或（舍去），所以，即双曲线的离心率为，故选A．点拨：该题考查的是有关椭圆和双曲的有关问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，新定义，椭圆和双曲线的离心率，余弦定理，属于中档题目.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.观察下列等式：根据上述规律，第四个等式为_________________.————=14.等差数列的前n项和为，若，则=_________.————分析：根据等差中项以及，即可容易求得结果.解答：因为数列是等差数列，又，故可得，解得；由，得.故答案为：.15.已知正数满足，则的最小值为___________．————9分析：由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.解答：因为正数满足，所以，即，所以，当且仅当，即，时，等号成立.故答案为：9点拨：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16.已知点，分别是椭圆长轴的左、右端点，点在椭圆上，直线的斜率为，设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，椭圆上的点到点的距离的最小值为______．————分析：求出直线的方程，设，则由点到直线的距离公式可得，解得，再由椭圆的有界性即可得出最值.解答：解：由题可知，则直线的方程是．设点的坐标是，则到直线的距离是，于是，又，解得，所以点．设椭圆上的点到点的距离为，有，由于．所以当时，取最小值．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合，.（1）若，求；（2）若，设命题：，命题：.已知是的充分不必要条件，求实数的取值围.————（1）；（2）.分析：（1）由一元二次不等式可得，结合补集、交集的概念即可得解；（2）由一元二次不等式可得，转化条件为，即可得解.解答：（1）当时，，则，所以；（2）时，，因为命题是命题的充分不必要条件，则，所以且等号不能同时成立，解得，所以实数取值范围为.18.已知等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）设等差数列中，，求数列的前项和.————（1）；（2）.分析：（1）由已知得到等比数列的公比，再代入等比数列的通项公式可得答案；（2）设等差数列的公差为，由求出，利用等差数列前n项和公式求出解答：（1）设等比数列的公比为，由得，解得.（2）由（1）知，得，设等差数列的公差为，则解得，.点拨：解决本题的关键点是熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式和等差数列的前n项和公式，考查计算能力.19.如图，D为直角△ABC斜边BC上一点，，（1）若，求角的大小；（2）若，且，求的长；————（1）；（2）.分析：（1）利用正弦定理、外角性质、三角形内角和定理即可得出；（2）设，则，，，于是，，，再利用余弦定理即可解出.解答：（1）在中，根据正弦定理得：因为，所以，又因为，所以，所以，所以.（2）设，则，，，所以，，，在中，由余弦定理得：，即，解得：，即点拨：本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.20.已知双曲线C的离心率为，点在双曲线上，且抛物线的焦点F与双曲线的一个焦点重合.（1）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为时，求线段的长度.————（1）；；（2）.分析：（1）设双曲线的方程为（，），根据双曲线C的离心率为和点在双曲线上，得到关于，的方程组解方程组可求双曲线的方程，则抛物线的焦点可求，其方程易解.（2）联立直线l和抛物线方程，得到两根之和，根据抛物线的焦半径公式易求线段的长度.解答：解：（1）设双曲线的方程为（，），由题设所以①，又点在双曲线上，所以②由①②解得，，故双曲线标准方程为；设双曲线的焦距为，因为，得，所以抛物线焦点为，即，所以抛物线的标准方程为.（2）设直线交抛物线于，，联立，得，故，由抛物线定义知，，所以.点拨：考查双曲线和抛物线的标准方程的求法以及抛物线焦半径公式的应用，中档题.21.如图，是边长为3的正方形，平面，，，与平面所成角为.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.————（1）证明见解析；（2）.分析】（1）根据线面垂直的性质，结合正方形的性质，线面垂直的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.解答：（1）证明：因为平面，面，所以.因为是正方形，所以又，面，面，故平面（2）因为两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示.因为平面，且与平面所成角为，即，所以，由已知，可得，.则，，，，，所以，.设平面的法向量为，则，即.令，则因为平面，所以为平面的法向量，.所以.因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.点拨：本题考查了线面垂直的证明方法，考查了利用空间向量夹角公式求二面角余弦值问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.22.在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为．（1）求该椭圆的方程；（2）过点作直线交椭圆于两个不同点，，求证：直线，的斜率之和为定值．————（1）；（2）证明见解析.分析：（1）由题意可知，椭圆的焦点在轴上，，，椭圆的离心率，则即可得解；（2）设，，，分类讨论，当斜率不存在时，不合题意，当斜率存在时，设出直线方程