保定市博野中学高一下学期月月考数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年河北省保定市博野中学高一（下)5月月考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列四个命题，其中正确命题的个数()①若a＞|b|，则a2＞b2②若a＞b，c＞d,则a﹣c＞b﹣d③若a＞b，c＞d，则ac＞bd④若a＞b＞o，则＞．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个2．点P(x,y）在直线x+y﹣4=0上,O是原点,则｜OP|的最小值是（）A． B．2 C． D．23．如图，△A’B'C’是△ABC用“斜二测画法"画出的直观图,其中O'B'=O’C'=1，O'A'=，那么△ABC是一个（)A．等边三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．三边互不相等的三角形4．直线l1，l2是分别经过A（1,1），B（0,﹣1)两点的两条平行直线，当l1,l2间的距离最大时，直线l1的方程是（）A．x+2y﹣3=0 B．x﹣y﹣3=0 C．x+2y+3=0 D．x﹣y+3=05．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α,m∥β，则α∥β B．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β D．若m⊂α，α⊥β，则m⊥β6．下列命题正确的是（)A．两两相交的三条直线可确定一个平面B．两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线7．如图，直线y=ax﹣的图象可能是（）A． B． C． D．8．直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0过定点(）A．（1,﹣3） B．(4，3） C．（3，1） D．（2，3）9．某几何体的三视图如图所示（在右边的网格线中,每个小正方形的边长为1）,则该几何体的表面积为（）A．48 B．54 C．60 D．6410．已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB=，BC=，AC=2,则此三棱锥的外接球的体积为（）A．π B．π C．π D．π11．点（4，0)关于直线5x+4y+21=0的对称点是(）A．(﹣6，8） B．(﹣8，﹣6） C．（6，8） D．（﹣6，﹣8）12．如图所示，在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属片,按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上：①每次只能移动一个金属片;②在每次移动过程中,每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n)，则f(6）=（）A．31 B．33 C．63 D．65二、填空题：本题共4小题,每小题5分．13．如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截,剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b,那么圆柱被截后剩下部分的体积是．14．将直线y=x+﹣1绕它上面一点（1，)沿逆时针方向旋转15°，则所得直线的方程为．15．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b,c，cosC=，且acosB+bcosA=2，则△ABC面积的最大值为．16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变;④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线AD1其中正确命题的编号是．（写出所有正确命题的编号）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知A（1，﹣1），B(2,2），C（3，0）,求点D的坐标，使直线CD⊥AB,且CB∥AD．18．已知{an｝是公差为3的等差数列，数列｛bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求{bn}的前n项和．19．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c,且2acosA=ccosB+bcosC．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若b2+c2=7，求△ABC的面积．20．如图,在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形,AB⊥AD，AB∥CD，CD=AD=2AB=2AP．（1）求证：平面PCD⊥平面PAD；（2）在侧棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD,若存在,确定点E位置；若不存在，说明理由．21．如图1，在直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠ADC=90°,BA=BC，把△BAC沿AC折起到△PAC的位置,使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上,如图2所示，点E、F分别为棱PC、CD的中点．（Ⅰ）求证:平面OEF∥平面APD；（Ⅱ）若AD=3，CD=4，AB=5，求四棱锥E﹣CFO的体积．22．在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DBA=60°，∠SAD=30°，，BA=BS=4．(Ⅰ）证明：BD⊥平面SAD;（Ⅱ）求直线SB与平面ABCD所成角的正弦值．

2016-2017学年河北省保定市博野中学高一（下)5月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列四个命题，其中正确命题的个数(）①若a＞｜b｜，则a2＞b2②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d③若a＞b，c＞d,则ac＞bd④若a＞b＞o，则＞．A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】直接由不等式的可乘积性判断①；举例说明②③④错误．【解答】解:①若a＞｜b｜,则a2＞b2，①正确；②若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d错误,如3＞2，﹣1＞﹣3，而3﹣（﹣1）=4＜5=2﹣（﹣3）；③若a＞b,c＞d，则ac＞bd错误,如3＞1，﹣2＞﹣3，而3×（﹣2）＜1×(﹣3）；④若a＞b＞o，则，当c＞0时，＜,④错误．∴正确命题的个数只有1个．故选：C．2．点P（x，y)在直线x+y﹣4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（）A． B．2 C． D．2【考点】IT：点到直线的距离公式．【分析】过O作已知直线的垂线，垂足为P，此时|OP|最小,所以｜OP｜最小即为原点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出即可．【解答】解：由题意可知：过O作已知直线的垂线，垂足为P,此时｜OP|最小，则原点(0，0）到直线x+y﹣4=0的距离d==2，即｜OP|的最小值为2．故选B．3．如图，△A'B’C'是△ABC用“斜二测画法”画出的直观图，其中O’B'=O'C'=1，O’A'=，那么△ABC是一个（）A．等边三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．三边互不相等的三角形【考点】LD：斜二测法画直观图．【分析】根据“斜二测画法”的画图法则，结合已知，可得△ABC中,BO=CO=1，AO=,结合勾股定理，求出△ABC的三边长，可得△ABC的形状．【解答】解：由已知中△ABC的直观图中O’B’=O’C’=1，O’A’=，∴△ABC中，BO=CO=1，AO=，由勾股定理得：AB=AC=2，又由BC=2，故△ABC为等边三角形，故选：A．4．直线l1，l2是分别经过A(1，1）,B（0，﹣1）两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是（）A．x+2y﹣3=0 B．x﹣y﹣3=0 C．x+2y+3=0 D．x﹣y+3=0【考点】IU：两条平行直线间的距离．【分析】由题意可得，l1，l2间的距离最大时，AB和这两条直线都垂直．利用斜率计算公式及其相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出．【解答】解：由题意可得,l1，l2间的距离最大时,AB和这两条直线都垂直．由于AB的率为=2，故直线l1的斜率为﹣，故它的方程是y﹣1=﹣（x﹣1)，化简为x+2y﹣3=0，故选:A．5．设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，下列命题是真命题的是（）A．若m∥α,m∥β，则α∥β B．若m∥α，α∥β，则m∥βC．若m⊂α，m⊥β，则α⊥β D．若m⊂α，α⊥β,则m⊥β【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，α与β相交或平行；在B中，m∥β或m⊂β；在C中,由面面垂直的判定定理得α⊥β;在D中，m⊥与β相交、平行或m⊂β．【解答】解：由m，n是两条不同的直线,α，β是两个不同的平面，知：在A中,若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m∥α，α∥β，则m∥β或m⊂β，故B错误；在C中，若m⊂α，m⊥β,则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确;在D中，若m⊂α，α⊥β，则m⊥与β相交、平行或m⊂β，故D错误．故选：C．6．下列命题正确的是（）A．两两相交的三条直线可确定一个平面B．两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行C．过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行D．和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】根据空间中的直线与平面的位置关系以及平面的基本性质，对选项中的命题判断正误即可．【解答】解：对于A，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故A错误；对于B,两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故B错误;对于C，过平面外一点的直线一定在平面外,且直线与这个平面相交或平行，故C正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或共面直线，故D错误．故选:C．7．如图,直线y=ax﹣的图象可能是（）A． B． C． D．【考点】3O：函数的图象．【分析】利用一次函数的斜率和截距异号及其意义即可得出．【解答】解：方程直线的可以看作一次函数，其斜率a和截距异号,只有A符合,其斜率和截距都为负．故选:A．8．直线（2m+1）x+(m+1）y﹣7m﹣4=0过定点（)A．(1，﹣3） B．（4，3) C．（3，1） D．（2,3）【考点】IP：恒过定点的直线．【分析】直线方程整理后，列出关于x与y的方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出直线过的定点．【解答】解：直线方程整理得:2mx+x+my+y﹣7m﹣4=0，即（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，∴，解得：，则直线过定点（3，1），故选：C．9．某几何体的三视图如图所示（在右边的网格线中，每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为（）A．48 B．54 C．60 D．64【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是底面为矩形的四棱锥，根据图中数据计算它的表面积即可．【解答】解：由三视图可知：该几何体是底面为矩形的四棱锥，如图所示；根据图中数据，计算它的表面积为S=S矩形ABCD+S△PAB+2S△PAD+S△PCD=3×6+×6×4+2××3×5+×6×5=60．故选:C．10．已知三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直,且AB=,BC=,AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为（）A．π B．π C．π D．π【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】求出PA=1，PC=，PB=2，以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图，则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．算出长方体的对角线即为球直径,结合球的体积公式,可算出三棱锥P﹣ABC外接球的体积．【解答】解：∵AB=，BC=,AC=2，∴PA=1，PC=，PB=2以PA、PB、PC为过同一顶点的三条棱，作长方体如图则长方体的外接球同时也是三棱锥P﹣ABC外接球．∵长方体的对角线长为=2,∴球直径为2，半径R=，因此，三棱锥P﹣ABC外接球的体积是πR3=π×（)3=π故选：B．11．点（4，0）关于直线5x+4y+21=0的对称点是（）A．（﹣6,8） B．（﹣8，﹣6） C．（6，8） D．（﹣6，﹣8）【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】设出对称点的坐标，利用对称点的连线被对称轴垂直平分,建立方程组,即可求得结论．【解答】解：设点M的坐标为（a，b),则∴a=﹣6，b=﹣8∴M(﹣6,﹣8），故选D．12．如图所示，在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属片,按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上:①每次只能移动一个金属片;②在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n），则f（6）=（）A．31 B．33 C．63 D．65【考点】F4：进行简单的合情推理．【分析】根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱,再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．【解答】解:设f（n）是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数n=1时，f（1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h(2）=3=22﹣1；n=3时，小盘→3柱,中盘→2柱,小柱从3柱→2柱，［用h(2)种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h(2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，f(3）=f（2)×f（2）+1=3×2+1=7=23﹣1，f（4）=f（3)×f（3）+1=7×2+1=15=24﹣1，…以此类推，h(n)=h（n﹣1）×h(n﹣1）+1=2n﹣1，∴f(6）=26﹣1=63．故选:C．二、填空题:本题共4小题，每小题5分．13．如图,已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是πr2（a+b)．【考点】NF:平面与圆柱面的截线；LE:棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】用补形法：两个相同的几何体，倒立一个，对应合缝,恰好形成一个圆柱体．求出总体积的一半即可．【解答】解：取两个相同的几何体，倒立一个,对应合缝，恰好形成一个圆柱体．所求几何体的体积：=故答案为：14．将直线y=x+﹣1绕它上面一点（1，)沿逆时针方向旋转15°，则所得直线的方程为x﹣y=0．【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】由直线y=x+﹣1算出直线的倾斜角，再由旋转角度得到所求直线的倾斜角，然后用点斜式写出方程【解答】解：直线y=x+﹣1的斜率为1,故倾斜角为45°,旋转后的直线的倾斜角为60°，斜率为,故所求直线方程为y﹣=（x﹣1)，即x﹣y=0．故答案为x﹣y=015．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，cosC=，且acosB+bcosA=2，则△ABC面积的最大值为．【考点】HR：余弦定理;HP:正弦定理．【分析】利用余弦定理分别表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化简后即可求出c的值,然后利用余弦定理表示出c2=a2+b2﹣2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面积的最大值．【解答】（本题满分为12分）解：∵acosB+bcosA=2,∴a×+b×=2，∴c=2，…∴4=a2+b2﹣2ab×≥2ab﹣2ab×=ab,∴ab≤（当且仅当a=b=时等号成立)…由cosC=，得sinC=，…∴S△ABC=absinC≤××=,故△ABC的面积最大值为．故答案为:．…16．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中(如图），已知点P在直线BC1上运动．则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变;③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变;④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线AD1其中正确命题的编号是①③④．（写出所有正确命题的编号）【考点】L2：棱柱的结构特征．【分析】利用体积公式判断①,利用向量计算夹角判断②，根据二面角的定义判断③,利用全等判断④．【解答】解：对于①,显然三棱锥A﹣D1BC体积与P点位置无关，故①正确；对于②，以D1为坐标原点,建立如图所示的空间坐标系，设正方体边长为1，则=(1,1，﹣1）为平面ACD1的法向量，而=（1，0，0），=（1，﹣1,﹣1），∴cos＜＞==，cos＜，＞==，∴AB，AC1与平面ACD1所成的角不相等，即当p在直线BC1上运动时，AP平面ACD1所成的角会发生变化，故②错误；对于③,当P位置变化时，平面PAD1的位置不发生变化，故二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，故③正确；对于④，设Q为直线A1D1上任意一点,则Rt△QDD1≌Rt△QC1D1,∴QD=QC1,∴M的轨迹为直线AD1，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知A（1，﹣1）,B（2，2），C（3，0），求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．【考点】I8：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【分析】此题求D的坐标，需要建立其横纵坐标的方程，由题设条件知直线CD⊥AB，且CB∥AD，将此位置关系转化为方程，即可求出点D的坐标．【解答】解：设点D的坐标为（x,y）,由已知得，直线AB的斜率KAB=3，直线CD的斜率KCD=，直线CB的斜率KCB=﹣2，直线AD的斜率KAD=．由CD⊥AB，且CB∥AD，得，所以点D的坐标是（0，1)18．已知｛an}是公差为3的等差数列，数列｛bn｝满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．（Ⅰ）求｛an｝的通项公式；（Ⅱ)求｛bn｝的前n项和．【考点】8H:数列递推式．【分析】（Ⅰ）令n=1,可得a1=2,结合｛an}是公差为3的等差数列,可得{an}的通项公式；（Ⅱ）由（1）可得：数列{bn｝是以1为首项，以为公比的等比数列，进而可得：｛bn｝的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵anbn+1+bn+1=nbn．当n=1时,a1b2+b2=b1．∵b1=1，b2=，∴a1=2，又∵｛an}是公差为3的等差数列，∴an=3n﹣1，(Ⅱ)由(I）知：(3n﹣1）bn+1+bn+1=nbn．即3bn+1=bn．即数列｛bn｝是以1为首项,以为公比的等比数列,∴{bn｝的前n项和Sn==(1﹣3﹣n)=﹣．19．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosA=ccosB+bcosC．（Ⅰ)求A;（Ⅱ）若b2+c2=7，求△ABC的面积．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】(Ⅰ）根据正弦定理和以及两角和正弦公式即可得到cosA=，问题得以解决，（Ⅱ）根据正弦定理和余弦定理可得bc的值，即可求出三角形的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为2acosA=ccosB+bcosC，则由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC，所以2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA，又0＜A＜π，所以sinA≠0，从而2cosA=1,cosA=，故A=；（Ⅱ）由A=知sinA=，而△ABC的外接圆半径为1，故由正弦定理可得a=2sinA=，再由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得bc=b2+c2﹣a2=7﹣3=4，∴S△ABC=bcsinA=．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，CD=AD=2AB=2AP．（1）求证:平面PCD⊥平面PAD；（2）在侧棱PC上是否存在点E,使得BE∥平面PAD，若存在，确定点E位置;若不存在,说明理由．【考点】LY：平面与平面垂直的判定．【分析】（1）根据面面垂直的判断定理即可证明平面PCD⊥平面PAD；（2）根据线面平行的性质定理即可得到结论．【解答】（1)证明:∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥CD①又∵AB⊥AD，AB∥CD，∴CD⊥AD②由①②可得CD⊥平面PAD又CD⊂平面PCD∴平面PCD⊥平面PAD（2)解：当点E是PC的中点时,BE∥平面PAD．证明如下:设PD的中点为F，连接EF，AF易得EF是△PCD的中位线∴EF∥CD,EF=CD由题设可得AB∥CD,AF=CD∴EF∥AB，EF=AB∴四边形ABEF为平行四边形∴BE∥AF又BE⊄平面PAD，AF⊂平面PAD∴BE∥平面PAD21．如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，BA=BC，把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上,如图2所示，点E、F分别为棱PC、CD的中点．(Ⅰ)求证：平面OEF∥平面APD；（Ⅱ）若AD=3，CD=4，AB=5，求四棱锥E﹣CFO的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LU:平面与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ)推