保定三中高一下学期月月考数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016-2017学年河北省保定三中高一（下)3月月考数学试卷一、选择题（每题4分，共88分）1．在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=7，则∠BAC=(）A． B． C． D．2．数列﹣，，﹣，，…的一个通项公式是（)A．﹣ B． C． D．3．在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为(）A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°4．已知Sn为等差数列｛an｝的前n项和，若a4+a9=10，则S12等于（）A．30 B．45 C．60 D．1205．在△ABC中，若bcosA=acosB，则该三角形是（)A．等腰三角形 B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形6．已知各项均为正数的等比数列｛an},a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A． B．7 C．6 D．7．在△ABC中，若a=7，b=3，c=8,则其面积等于（）A．12 B． C．28 D．8．已知数列｛an}中，a1=3,a2=6，an+2=an+1﹣an，则a2015=(）A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．39．在△ABC中，AB=1,AC=3，B=60°,则cosC=（)A．﹣ B． C．﹣ D．10．等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且=4，则=(）A． B． C． D．411．在△ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么角A=(）A．30° B．60° C．120° D．150°12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题:今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A．8 B．9 C．10 D．1113．关于三角形满足的条件,下列判断正确的是(）A．a=7，b=14，A=30°,有两解 B．a=30，b=25，A=150°，有一解C．a=6，b=9，A=45°，有两解 D．b=9，c=10，B=60°,无解14．设Sn为等比数列{an｝的前n项和，8a2﹣a5=0，则=()A．5 B．8 C．﹣8 D．1515．某人要利用无人机测量河流的宽度，如图，从无人机A处测得正前方河流的两岸B,C的俯角分别为75°，30°，此时无人机的高是60米，则河流的宽度BC等于()A．米 B．米 C．米 D．米16．若两个等差数列｛an｝、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且，则等于（）A．2 B． C． D．17．在不等边△ABC中，a2＜b2+c2，则A的取值范围是（）A．90°＜A＜180° B．45°＜A＜90° C．60°＜A＜90° D．0°＜A＜90°18．等比数列｛an}的前n项和为Sn，若Sn=3•2n+k（n∈N*,k为常数）,则k值为(）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．119．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且cos2B+cosB+cos（C﹣A）=1，则()A．a，b,c成等比数列 B．a,b，c成等差数列C．a,c,b成等比数列 D．a,c，b成等差数列20．设等比数列｛an}的公比为q，前n项和为Sn，且a1＞0．若S2＞2a3,则q的取值范围是(）A． B． C． D．21．在△ABC中，a，b,c分别为内角A,B，C所对的边，若a=，A=，则b+c的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．222．数列｛an}是等差数列，若＜﹣1,且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取的最小正值时,n=（）A．11 B．17 C．19 D．21二、填空题（每题5分，共20分）23．已知等差数列{an｝中，a7+a9=16,a4=1，则a12的值是．24．在△ABC中，已知==，则△ABC的形状是．25．在△ABC中,角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=2b，则=．26．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=．三、解答题27．在△ABC中，已知a=，b=,B=45°，求A、C及c．28．已知数列{an｝为单调递减的等差数列，a1+a2+a3=21，且a1﹣1，a2﹣3,a3﹣3成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；(2）设bn=｜an|，求数列｛bn｝的前项n和Tn．29．已知公差不为零的等差数列｛an｝中，a3=7，且a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=（n∈N*)，求数列{bn｝的前n项和Sn．30．如图，在△ABC中,∠ABC=90°，AB=,BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°(1）若PB=,求PA；（2）若∠APB=150°,求tan∠PBA．

2016-2017学年河北省保定三中高一(下）3月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题4分,共88分)1．在△ABC中,AB=5，AC=3，BC=7,则∠BAC=（）A． B． C． D．【考点】余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cos∠BAC，将三边长代入计算求出cos∠BAC的值，即可确定出∠BAC的度数．【解答】解：∵在△ABC中,AB=c=5，AC=b=3,BC=a=7,∴由余弦定理得：cos∠BAC===﹣,∵∠BAC为△ABC的内角，∴∠BAC=．故选：C．2．数列﹣，，﹣，，…的一个通项公式是(）A．﹣ B． C． D．【考点】数列的函数特性．【分析】由题意可知,分母为2n，第n项的符号为（﹣1）n，【解答】解:数列﹣，，﹣，，…的一个通项公式，故选：B3．在△ABC中，若a=2，b=2,A=30°，则B为（)A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150°【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B．【解答】解：由正弦定理可知=，∴sinB==∵B∈（0，180°）∴∠B=60°或120°°故选B．4．已知Sn为等差数列{an｝的前n项和,若a4+a9=10，则S12等于（）A．30 B．45 C．60 D．120【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可得出．【解答】解：由等差数列的性质可得:．故选：C．5．在△ABC中，若bcosA=acosB,则该三角形是（）A．等腰三角形 B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【考点】三角形的形状判断．【分析】应用正弦定理和已知条件，得到sin（A﹣B）=0，故有A﹣B=0，得到△ABC为等腰三角形．【解答】解：∵在△ABC中，acosB=bcosA，由正弦定理可得，sinAcosB=cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB=0，∴sin（A﹣B）=0．由﹣π＜A﹣B＜π得，A﹣B=0，则△ABC为等腰三角形，故选：A．6．已知各项均为正数的等比数列{an｝，a1a2a3=5,a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A． B．7 C．6 D．【考点】等比数列．【分析】由数列｛an}是等比数列，则有a1a2a3=5⇒a23=5;a7a8a9=10⇒a83=10．【解答】解：a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10，a52=a2a8，∴，∴，故选A．7．在△ABC中，若a=7，b=3,c=8，则其面积等于（）A．12 B． C．28 D．【考点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理．【分析】已知三条边长利用余弦定理求得cosC=，再利用同角三角函数的基本关系求得sinC=，代入△ABC的面积公式进行运算．【解答】解：在△ABC中，若三边长分别为a=7，b=3，c=8，由余弦定理可得64=49+9﹣2×7×3cosC，∴cosC=，∴sinC=，∴S△ABC==,故选D．8．已知数列{an｝中，a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an，则a2015=（）A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3【考点】数列递推式．【分析】利用a1=3，a2=6，an+2=an+1﹣an，可得an+5=an．即可得出．【解答】解：∵a1=3，a2=6,an+2=an+1﹣an,∴a3=3，a4=﹣3，a5=﹣6，a5=﹣3，a6=3，a7=6，…．∴an+5=an．则a2015=a5×403=a5=﹣3．故选：C．9．在△ABC中，AB=1，AC=3，B=60°，则cosC=（)A．﹣ B． C．﹣ D．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用大边对大角可得C为锐角，利用正弦定理可求sinC的值，结合同角三角函数基本关系式可求cosC的值．【解答】解：∵AC＞AB，∴C＜B=60°，又∵，∴sinC=，∴cosC=．故选：D．10．等差数列{an}的前n项和为Sn，且=4，则=()A． B． C． D．4【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：∵数列｛an}为等差数列，且=4，∴6a1+d=4，化为:d=2a1．则====．故选:C．11．在△ABC中，如果（a+b+c）(b+c﹣a)=3bc，那么角A=（）A．30° B．60° C．120° D．150°【考点】余弦定理．【分析】由（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，可得b2+c2﹣a2=bc，利用余弦定理即可求得角A．【解答】解：∵（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc,∴(b+c）2﹣a2=3bc，∴b2+c2﹣a2=bc，∵b2+c2﹣a2=2bccosA，∴2cosA=1，∴cosA=，又A∈（0°，180°)，∴A=60°．故选：B．12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著,书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日,第八日所织之和为15尺,则第九日所织尺数为(）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】等差数列的通项公式．【分析】由题意可知,每日所织数量构成等差数列,再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数．【解答】解:由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8=15,S7=28，设公差为d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，∴a5=5，由S7=28，得7a4=28，∴a4=4,则d=a5﹣a4=1,∴a9=a5+4d=5+4×1=9．故选：B．13．关于三角形满足的条件，下列判断正确的是（）A．a=7,b=14,A=30°，有两解 B．a=30，b=25，A=150°，有一解C．a=6,b=9，A=45°，有两解 D．b=9，c=10,B=60°，无解【考点】解三角形．【分析】利用正弦定理，对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若△ABC中，a=7,b=14，A=30°,则sinB==1,可得B=90°，因此三角形有一解，得A不正确；对于B，若△ABC中，a=30，b=25,A=150°，则sinB==，而B为锐角,可得角B只有一个解，因此三角形只有一解，得B正确；对于C，若△ABC中，a=6,b=9，A=45°，则sinB==，当B为锐角时满足sinB=的角B要小于45°，∴由a＜b得A＜B，可得B为钝角，三角形只有一解，故C不正确；对于D，若△ABC中，b=9，c=10，B=60°,则sinC==＜1，因此存在角C=arcsin或π﹣arcsin满足条件,可得三角形有两解,故D不正确．故选：B14．设Sn为等比数列{an｝的前n项和，8a2﹣a5=0，则=（)A．5 B．8 C．﹣8 D．15【考点】等比数列的前n项和;等比数列的通项公式．【分析】先利用等比数列的通项公式将已知等式8a2﹣a5=0用首项和公比表示，求出公比;再利用等比数列的前n项和定义及通项公式表示，将公比的值代入即可求出结论．【解答】解:∵8a2﹣a5=0，∴=q3=8⇒q=2，∴==1+=1+q2=5．故选:A．15．某人要利用无人机测量河流的宽度,如图，从无人机A处测得正前方河流的两岸B,C的俯角分别为75°，30°，此时无人机的高是60米，则河流的宽度BC等于（）A．米 B．米 C．米 D．米【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意画出图形,由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图由图可知，∠DAB=15°,∵tan15°=tan（45°﹣30°)=2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣)=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1)m．故选:C．16．若两个等差数列{an｝、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且,则等于（）A．2 B． C． D．【考点】等差数列的性质．【分析】利用===，即可得出结论．【解答】解：=====,故选C．17．在不等边△ABC中,a2＜b2+c2,则A的取值范围是（）A．90°＜A＜180° B．45°＜A＜90° C．60°＜A＜90° D．0°＜A＜90°【考点】余弦定理．【分析】已知不等式变形判断得到cosA大于0，得到A小于90°，再利用三角形边角关系及内角和定理判断即可确定出A的范围．【解答】解:∵a2＜b2+c2，∴b2+c2﹣a2＞0，∴cosA＞0,∴∠A＜90°，又∵180°＞A＞0°,∴0°＜A＜90°．故选:D．18．等比数列｛an｝的前n项和为Sn，若Sn=3•2n+k（n∈N＊，k为常数)，则k值为()A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1【考点】等比数列的前n项和．【分析】等比数列｛an｝的前n项和Sn=3•2n+k(n∈N＊，k为常数．n=1时，a1=S1=6+k．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．n=1时上式成立,即可得出．【解答】解：∵等比数列｛an｝的前n项和Sn=3•2n+k（n∈N＊，k为常数．∴n=1时，a1=S1=6+k．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3•2n+k﹣（3•2n﹣1+k）=3•2n﹣1．n=1时上式成立，∴6+k=3×1,解得k=﹣3．故选：A．19．在△ABC中,a,b,c分别为角A，B，C的对边，且cos2B+cosB+cos（C﹣A）=1，则（)A．a，b，c成等比数列 B．a，b，c成等差数列C．a，c，b成等比数列 D．a，c，b成等差数列【考点】正弦定理．【分析】由cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1变形得：cosB+cos（A﹣C）=1﹣cos2B，利用三角形内角和定理与诱导公式可得：cosB=﹣cos（A+C)，再利用倍角公式上式化简得：cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sin2B，化简再利用足下登录即可得出．【解答】解：在△ABC中，由cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1变形得：cosB+cos（A﹣C）=1﹣cos2B，∵cosB=cos［π﹣（A+C)］=﹣cos（A+C），cos2B=1﹣2sin2B,∴上式化简得：cos（A﹣C）﹣cos（A+C)=2sin2B，∴﹣2sinAsin（﹣C）=2sin2B，即sinAsinC=sin2B，由正弦定理得：ac=b2,则a，b，c成等比数列．故选:A．20．设等比数列{an｝的公比为q，前n项和为Sn，且a1＞0．若S2＞2a3，则q的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】等比数列的性质；数列的函数特性．【分析】由题意可得a1＞0,且a1+a1q＞2a1q2,解一元二次不等式求得q的取值范围,注意q≠0这个隐藏条件．【解答】解：由题意可得a1＞0，且a1+a1q＞2a1q2，即2q2﹣q﹣1＜0,即（2q+1）（q﹣1）＜0．解得﹣＜q＜1，又q≠0，∴q的取值范围是，故选B．21．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B,C所对的边,若a=,A=，则b+c的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．2【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理可得：===2,于是b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin=2sin，再利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：===2，∴b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin=2sinB+2cosB+=3sinB+cosB=2sin≤2，当且仅当B=时取等号．∴b+c的最大值为2．故选：C．22．数列｛an｝是等差数列，若＜﹣1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取的最小正值时，n=（)A．11 B．17 C．19 D．21【考点】等差数列的性质．【分析】根据题意判断出d＜0、a10＞0＞a11、a10+a11＜0，利用前n项和公式和性质判断出S20＜0、S19＞0，再利用数列的单调性判断出当Sn取的最小正值时n的值．【解答】解:由题意知,Sn有最大值,所以d＜0，因为＜﹣1，所以a10＞0＞a11，且a10+a11＜0，所以S20=10(a1+a20）=10（a10+a11）＜0，则S19=19a10＞0,又a1＞a2＞…＞a10＞0＞a11＞a12所以S10＞S9＞…＞S2＞S1＞0，S10＞S11＞…＞S19＞0＞S20＞S21又S19﹣S1=a2+a3+…+a19=9(a10+a11)＜0，所以S19为最小正值，故选：C．二、填空题（每题5分，共20分)23．已知等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1,则a12的值是15．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由a7+a9=16可得2a1+14d=16,再由a4=1=a1+3d，解方程求得a1和公差d的值，从而求得a12的值．【解答】解:设公差等于d，由a7+a9=16可得2a1+14d=16，即a1+7d=8．再由a4=1=a1+3d，可得a1=﹣,d=．故a12=a1+11d=﹣+=15，故答案为15．24．在△ABC中，已知==,则△ABC的形状是等边三角形．【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．【分析】根据正弦定理表示出a，b和c，分别代入已知的中，利用同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值即可得到三角形的三个内角相等，得到三角形为等边三角形．【解答】解：根据正弦定理得到:===2R，则a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，代入中得：==，即tanA=tanB=tanC，得到A=B=C，所以△ABC的形状是等边三角形．故答案为：等边三角形25．在△ABC中,角A，B，C所对应的边分别为a,b，c,已知bcosC+ccosB=2b，则=2．【考点】正弦定理．【分析】已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．【解答】解:将bcosC+ccosB=2b,利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，∵sin(B+C）=sinA,∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=2．故答案为:226．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20=50．【考点】等比数列的性质．【分析】直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案．【解答】解：∵数列｛an｝为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20)=ln(a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50．故答案为：50．三、解答题27．在△ABC中，已知a=，b=，B=45°，求A、C及c．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理和已知条件求得sinA的值,进而求得A，再根据三角形内角和求得C，最后利用正弦定理求得c．【解答】解:根据正弦定理，sinA===．∵B=45°＜90°,且b＜a，∴A=60°或120°．当A=60°时，C=75°，c===；当A=120°时,C=15°,c===．28．已知数列｛an｝为单调递减的等差数列，a1+a2+a3=21，且a1﹣1，a2﹣3,a3﹣3成等比数列．(1）求数列｛an}的通项公式；(2）设bn=|an｜，求数列{bn}的前项n和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】(1）由条件a1﹣1，a2﹣3，a3﹣3成等比数列，可得，又因为a1