高中数学必修五课件-简单的线性规划问题

3.3.2简单的线性规划问题（1）xyo3.3.2简单的线性规划问题（1）xyo1某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？问题按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件2

将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。y4843o将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部分中3yx4843o若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用那种生产安排利润最大？把z＝2x＋3y变形为

它表示斜率为的直线系，z与这条直线的截距有关。M问题：yx4843o若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利4设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y把z＝2x＋3y变形为它表示斜率为的直线系，z与这条直线的截距有关。由上图可以看出，当实现直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距的值最大，最大值为，这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元。设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y把z＝2x＋3y变形为5

基本概念一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。基本概念一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约6yx4843o

满足线性约束的解（x，y）叫做可行解。

由所有可行解组成的集合叫做可行域。

使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。可行域可行解最优解yx4843o满足线性约束的解（x，y）叫做可行解7线型规划的有关概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等式组线性约束条件由x,y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于x,y的函数解析式，如z=2x+3y等线性目标函数关于x,y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解（x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题线型规划的有关概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等8【小结】用线性规划的方法解题的一般步骤是：

1.设未知数;

2.列出约束条件及目标函数;

3.作出可行域;

4.求出最优解;

5.答题.【小结】9数学模型实际问题数学模型实际问题10练习：1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件：2、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y满足约束条件：练习：1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件：2、111.解：作出平面区域xyABCoz＝2x＋y作出直线y=－2x＋z的图像，可知z要求最大值，即直线经过C点时。求得C点坐标为（2，－1），则Zmax=2x＋y＝31.解：作出平面区域xyABCoz＝2x＋y作出直线y122.解：作出平面区域xyoABCz＝3x＋5y作出直线3x＋5y

＝z的图像，可知直线经过A点时，Z取最大值；直线经过B点时，Z取最小值。求得A（1.5，2.5），B（-2，-1），则Zmax=17，Zmin=-11。2.解：作出平面区域xyoABCz＝3x＋5y作出直线133.3.2简单的线性规划问题（2）xyo3.3.2简单的线性规划问题（2）xyo14一、线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用一、在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二、给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：

一、线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问15例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？分析：将已知数据列成表格食物／kg碳水化合物／kg蛋白质/kg脂肪／kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07二、例题例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.07516解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么目标函数为：z＝28x＋21y作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么目17把目标函数z＝28x＋21y变形为xyo5/75/76/73/73/76/7

它表示斜率为随z变化的一组平行直线系

是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。M

如图可见，当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小。把目标函数z＝28x＋21y变形为xyo5/75/76/718M点是两条直线的交点，解方程组得M点的坐标为：所以zmin＝28x＋21y＝16

由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。M点是两条直线的交点，解方程组得M点的坐标为：所以zmin＝19例6、某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格（以班级为单位）分别用数学关系式和图形表示上述限制条件。因办学规模以20～30个班为宜。若根据有关部门的规定，初中每人每年可收学费1600元，高中每人每年可收学费2700元。那么开设初中班和高中班多少个？每年收费的学费总额最多？学段班级学生数配备教师数初中45226／班2／人高中40354／班2／人例6、某人准备投资1200万元兴办一所完全中学。对教育市场进20解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以20～30个班为宜，所以，20≤x＋y≤30而由于资金限制，26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1200

另外，开设的班级不能为负，则x≥0，y≥0。把上面四个不等式合在一起，得到解：设开设初中班x个，高中班y个。因办学规模以20～30个班21yx2030402030oyx2030402030o22设收取的学费总额为Z万元，则目标函数Z＝0.16×45x＋0.27×40y＝7.2x＋10.8y。Z＝7.2x＋10.8y变形为它表示斜率为的直线系，Z与这条直线的截距有关。设收取的学费总额为Z万元，则目标函数Z＝7.2x＋10.8y23yx2030402030o

由图可以看出，当直线Z＝7.2x＋10.8y经过可行域上的点M时，截距最大，即Z最大。M易求得M（20，10），则Zmax=7.2x+10.8y=252故开设20个初中班和10个高中班，收取的学费最多，为252万元。yx2030402030o由图可以看出，当直线Z＝724例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。如果甲产品一车皮可以卖1万元，乙产品一车皮可以卖0.5万元，请计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？例7、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的25解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：xyo解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满26解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元。目标函数为Z＝x＋0.5y，可行域如图：把Z＝x＋0.5y变形为y＝－2x＋2z，它表示斜率为－2，在y轴上的截距为2z的一组直线系。

xyo解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润Z万元27xyo由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大。

故生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元。M

求得M点的坐标为（2，2），则Zmin＝3xyo由图可以看出，当直线经过可行域上的点M时，28练习某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大？

设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数为Z＝3x＋2y，满足的条件是练习某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为300029Z＝3x＋2y

变形为

它表示斜率为的直线系，Z与这条直线的截距有关。XyO400200250500当直线经过点M时，截距最大，Z最大。M解方程组可得M（200，100）Z的最大值Z=3x+2y=800故生产甲产品200件，乙产品100件，收入最大，为80万元