人教版九年级数学下册 （相似三角形应用举例）相似教学课件(第1课时)

第二十七章相似

相似三角形应用举例

胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长约230米．据考证，为建成胡夫金字塔，共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，所以高度有所降低．在古希腊，有一位伟大的数学家叫泰勒斯．一天，希腊国王阿马西斯对他说：“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧.”这在当时的条件下是个大难题，因为很难爬到塔顶．你知道泰勒斯是怎样测量金字塔高度的吗？在同一时刻，太阳光从同一个方向斜射在国旗杆和旁边木桩上，分别测量一下它们的影长，计算影长和它们的自身高度的比，你会有什么发现？结论：在平行光线的照射下，同一时刻，两个物体的高度与影长成比例.例1据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图，木杆EF长2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，求金字塔的高度BO．怎样测出OA的长？解：太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF．又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF．

∴∴

因此金字塔的高度为134m．分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，结合已知条件求出金字塔的高度．例2

如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已测得QS=45m，ST=90m，QR=60m,请根据这些数据,计算河宽PQ．即

，，PQ×90=（PQ+45）×60．

解得PQ=90（m）．解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，∴△PQR∽△PST．故河宽大约为90m．∴因为∠ACB=∠QCP，∠BAC=∠PQC=

90°，所以△CBA∽△CPQ，所以

，所以PQ===90(m).思考：你还可以用什么方法来测量河的宽度？解：如图构造相似三角形.（测得QC=60m,AC=30m,AB=45m）·QCABAC×604530总结提高相似三角形的应用主要有如下两个方面：师生小结：（1）测高（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）.测高的方法：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决.（2）测距（不能直接测量的两点间的距离）.测距的方法：测量不能到达的两点间的距离，常构造相似三角形求解.练习1

在同一时刻物体的高度与它的影长成正比，在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米？解：设高楼的高度为x米，则答：楼高54米.2.如图，某同学身高AB=1.60m,他从路灯杆底部的点D直行4m到点B，此时其影长PB=2m,求路灯杆CD的高度.第二十七章相似相似三角形应用举例

例

如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m，两树底部的距离BD=5m.一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？分析：如图，设观察者眼睛的位置为点F，画出观察者的水平视线FG，分别交AB，CD于点H，K.视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角.类似地，∠CFK是观察点C时的仰角.由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ，观测者都看不到.解：如图，假设观察者从左向右走到点E

时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端A，C

恰在一条直线上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD．∴△AEH∽△CEK．∴即解得EH=8（m）．由此可知，如果观察者继续前进，当她与左边的树距离小于8m

时，由于这棵树的遮挡，她看不到右边树的顶端C．例我国魏晋时期数学家刘徽的《海岛算经》中有一题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰亦与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目看地取望岛峰亦与表末参合，问岛高及去表各几何？画成图形，用现在的话表述即是：要求海岛的山峰AB的高度，分别在D和F处树立标杆DC和FE，标杆高都是3丈，相隔1000步（一步等于5尺），并且AB,CD,EF都在同一截面上.从标杆DC退后123步的G处，可看见山峰顶A和标杆顶C在同一直线上;从标杆FE退后127步的H处，也可以看到山峰顶A和标杆顶E在同一直线上，求山高AB及它和标杆CD的水平距离BD.解：如图，DH=DF+FH=(1000+127)×5=5635(尺)，FH=127×5=635(尺)，DG=123×5=615（尺）.∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴AB∥CD,∴△GAB∽△GCD,又∵EF⊥BH,∴EF∥AB,∴△HAB∽△HEF,又∵EF=30尺，例如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ,并且AB∥PQ.建筑物的一端DE所在直线MN⊥AB于点M,交PQ于点N.小亮从胜利街的点A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮.（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；（2）已知MN=20m,MD=8

m,PN=24

m,

求（1）中的点C到胜利街口的距离CM.

答案