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文档简介
2.5等比数列的前n项和(一)2.5等比数列的前n项和(一)1.记住等比数列的前n项和公式,能够利用公式求等比数列的前n项和.2.掌握前n项和公式的推导方法.
1.记住等比数列的前n项和公式,能够利用公式求等比数列的前n1.在等比数列{an}中,若公比q=1,,则其前n项和Sn=________.答案:na12.在等比数列{an}中,若公比q≠1,则其前n项和Sn=________=________.自学导引1.在等比数列{an}中,若公比q=1,,则其前n项和Sn=1.等比数列的前n项和公式与函数有哪些关系?自主探究1.等比数列的前n项和公式与函数有哪些关系?自主探究当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,是n的正比例函数(常数项为0的一次函数).(2)当q≠1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是函数y=-Aqx+A图象上的一群孤立的点.当q=1时,数列S1,S2,S3,…,Sn,…的图象是正比例函数y=a1x图象上的一群孤立的点.2.数列a,a2,a3,…,an,…一定是等比数列吗?答案:不一定,例如当a=0时,数列就不是等比数列.当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,是n的正比例1.等比数列1,a,a2,a3,…的前n项和为(
)预习测评解析:要考虑到公比为1的情况,此时Sn=n.答案:D1.等比数列1,a,a2,a3,…的前n项和为()预习测2.数列{2n-1}的前99项和为 (
)A.2100-1 B.1-2100C.299-1 D.1-2992.数列{2n-1}的前99项和为 ()2.数列{2n-1}的前99项和为 (
)A.2100-1 B.1-2100C.299-1 D.1-299答案:C2.数列{2n-1}的前99项和为 ()答案:C3.若等比数列{an}的前3项的和为13,首项为1,则其公比为__________.答案:3或-43.若等比数列{an}的前3项的和为13,首项为1,则其公比答案:1
答案:11.等比数列前n项和公式的推导设等比数列a1,a2,a3,…,an,…它的前n项和是Sn=a1+a2+…+an.由等比数列的通项公式可将Sn写成Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. ①①式两边同乘以q得,qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn. ②①-②,得(1-q)Sn=a1-a1qn,由此得q≠1时,要点阐释1.等比数列前n项和公式的推导要点阐释当q=1时,Sn=na1.以上的推导方法叫做“错位相减法”.这是中学数学里比较重要的一种求和方法,要多用心体会.当q=1时,Sn=na1.特别提示:(1)等比数列的前n项和的公式及通项公式涉及五个量:a1,q,n,an,Sn,只要知道其中任意三个量,都可以通过建立方程(组)等手段求出其余两个量,俗称“知三求二”.(2)在应用公式求和时,应注意到公式的使用条件为q≠1,当q=1时应按常数列求和,即Sn=na1.在解含字母参数的等比数列求和问题时,应分别讨论q≠1与q=1两种情况.特别提示:(1)等比数列的前n项和的公式及通项公式涉及五个量等比数列的前n项和(一)课件(人教A版必修5)2.等比数列的判定方法(1)an+1=anq(an≠0,q是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}为等比数列.(2)an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数列.(3)an+12=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}是等比数列.2.等比数列的判定方法题型一等比数列前n项和公式的基本运算典例剖析【例1】在等比数列{an}中,(1)S2=30,S3=155,求Sn;(3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q.题型一等比数列前n项和公式的基本运算典例剖析【例1】在等等比数列的前n项和(一)课件(人教A版必修5)等比数列的前n项和(一)课件(人教A版必修5)等比数列的前n项和(一)课件(人教A版必修5)等比数列的前n项和(一)课件(人教A版必修5)方法点评:(1)这是一类基础题,要熟练应用等比数列的通项公式及前n项和公式,运用方程的思想,解决两个最基本的量:首项a1和公比q.在等比数列的求和问题中,经常使用整体代换的思想.(2)在使用等比数列的前n项和公式时,要注意讨论公比q=1和q≠1两种情况.方法点评:(1)这是一类基础题,要熟练应用等比数列的通项公式1.若本例(1)中的条件不变,如何求{an}的通项公式?1.若本例(1)中的条件不变,如何求{an}的通项公式?等比数列的前n项和(一)课件(人教A版必修5)题型二错位相减法求和题型二错位相减法求和等比数列的前n项和(一)课件(人教A版必修5)2.求和:Sn=x+2x2+3x3+…+nxn(x≠0).(2)当x≠1时,Sn=x+2x2+3x3+…+nxn,xSn=x2+2x3+3x4+…+(n-1)xn+nxn+1,∴(1-x)Sn=x+x2+x3+…+xn-nxn+12.求和:Sn=x+2x2+3x3+…+nxn(x≠0).(等比数列的前n项和(一)课件(人教A版必修5)题型三判断等比数列【例3】已知数列{an}的前n项和Sn=a2n-1(a≠0,±1;n∈N*),试判断{an}是否为等比数列,为什么?解:{an}是等比数列,理由如下:a1=S1=a2-1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(a2n-1)-(a2n-2-1)=(a2-1)a2n-2,此时,n=1时,a1=a2-1.题型三判断等比数列【例3】已知数列{an}的前n项和Sn∴数列{an}的通项公式为an=(a2-1)a2n-2(n∈N*).即数列{an}是首项为a2-1,公比为a2的等比数列.方法点评:将已知条件Sn=a2n-1与an=Sn-Sn-1结合起来,得到n≥2时的通项公式an=(a2-1)a2n-2,特别注意的是,n=1时即a1=a2-1能否统一到an=(a2-1)·a2n-2中去,如果能统一起来,则数列{an}为等比数列,否则数列{an}不是等比数列.∴数列{an}的通项公式为an=(a2-1)a2n-2(n∈(1)求a1,a2;(2)求证:数列{an}是等比数列.(1)求a1,a2;等比数列的前n项和(一)课件(人教A版必修5)误区解密漏掉q=1而导致错误【例4】在数列{an}中,an=a2n-an(a≠0)求{an}的前n项和Sn.误区解密漏掉q=1而导致错误错因分析:等比数列求和,一定要注意公比是否等于1,否则将导致错误.错因分析:等比数列求和,一定要注意公比是否等于1,否则将导
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