八年级下册数学-二次根式的性质

第1讲二次根式的性质【板块一】二次根式的概念与基本性质方法技巧一般地，我们把形如¢7(a≥0)的式子叫做二次根式，“、•一”称为二次根号.开平方时，被开方数a的取值范围是a三0，二次根式有两个非负性，也叫二次根式的双重非负性，即被开方数a的取值范围是a三0，算术平方根的结果”a≥0.题型一判断式子是否为二次根式【例1】下列式子中是二次根式的有()①丫q:②4；③-Jx2+1；®壶:⑤J-3'2:⑥井X(X>1)；⑦Jx2+2X+3A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【分析】形如、-a(a≥0)的式子叫做二次根式，被开方数a的取值范围是a≥0;②⑥不符合被开方数a的取值范围是a≥0,④是开3次方，①③⑤⑦为二次根式，故选C【解答】C题型二二次根式有意义的字母的取值范围【例2】在下列式子：①ɪ；②(x—2)0；③、K中，x不可以取2的是()X—2A.只有① B.只有② C①和② D.①和③【分析】二次根式中被开方数大于等于零，零指数幕的底数不为零，分母的值不为零.①ɪ,X-2≠0,X—2则X≠2;②(X-2)0,X-2≠0，则X≠2;③%-X-2中，X-2≥0，解得X≥2,故X不可以取2的是①和②，故选C【解谷】C题型三二次根式的双重非负性【例3】若X,y为实数，y="X2-4+「-x2+1，则4y-3X的平方根是 .X—2IX2-【分析】\ ,故只有X2-4=0,即X=±2,又,「X-2≠0,.∙.X=-2,y= =-\o"CurrentDocument"[4—X2≥O X—2 44y-3X=-1-(-6)=5,故4y-3r的平方根是土∙√5.【解答】士、演.【例4】已知|7-9m|+(n-3)2=9m-7--；m-4,求(n—m)2019的值.【分析】非负数有三种呈现形式：绝对值，平方，算术平方根，几个非负数的和一定是非负数，若几个非负数的和为0,则这几个非负数均为0∙【解答】■∣7—9m∣+(n—3)2=9m—7—√m—4,Λ∣7—9m∣+(n—3)2+*m—4=9m—7≥0,.∙.9m—7+(n—3)2+Ym—4=9m—7,(n—3)2+-Wm—4=0,Λn—3=0,m—4=0,/.n=3,m=4,(n—m)2019=(-1)2019=-1.题型四二次根式中的隐含条件的运用【例5】若实数X,y,m适合关系式-;3x+5y—2—m+`γ^3x+3y—m=χx—20+y∙-√20—x—y,求m的值.【分析】由(X+y)-20≥0,20-(X+y)≥0,所以X+y=20.再利用两个二次根式的和等于0,即每一个被开方数等于0.【解答】∙.∙％+y—20≥0,20—(%+y)≥0,Λ%+y=20.Λv3x+5y-2一m+J3x+3y-m=0,•「√3X+5y-2一m≥0,√3X+3y-m≥0,.∖3X+3y—m=0,Λm=3(x+y)=3×20=60.针对练习1.X取何值时，下列各式有意义；(2)车；⑶、F—、,∙∙E；(4)三.√2X-1 x|-5 X-6【解答】(1)X>ɪ； (2)X≤4且X≠-5;(3)1≤X≤2;(4)X≥5且X≠6.2.代数式∙√X+∖；X=T+VX-2的最小值是()A.0 B.1+22 C.1 D.不存在【解答】B..方程\；|x+y∣-5+、：y+18=0的解是【解答】［7318X=23y=-18或.已知X,y为实数，且满足“X+3-(3y-1)vi-3y=0,则(Xy)2019=【解答】一1.如果X,y,Z为实数，且满足∣4X-4y+1∣+J2y+Z+z2-Z+ɪ=0,求(y+z)X2的值.【解答】∙.∙∣4X—4y+1∣+O2y+Z+(Z-工)2=0,又二，∣4X-4y+1∣≥0,Y2y+Z≥0,(z—,)2≥0,2 2.∙.4X—4y+1=0,2y+Z=0,Z—5=0,，X=——,y=——,Z=~,；•(y+Z)X2=(ɪ+^^-)(—ɪ)2=-^-.4 2 2 16【板块二】二次根式的两个基本性质的综合运用方法技巧二次根式的两个性质(y7)2=α(a≥0)和VG=Ial，可以运用上述两个性质进行有关计算和化简.题型五 右=∣α∣的运用【例1】已知0<a<1,化简【分析】•・•a=(.a)2,1=a即Ya<—=.・•・原式==ya+ —(-=—Ta)=2√α.Vaaa【解答】2、a【例2】若化简|1-％|—Jx2-8X+16的结果为2X—5,则X的取值范围是.【分析】根据X的取值化简绝对值和二次根式的性质分析.•・•|1-X—、、:X2-8X+16=|1-X—«(x-4»=2X—5,贝U|1—x∣一工(X—4)2=X—1+X—4,即1—X≤0,X—4≤0,解得1≤X≤4.【解答】1≤X≤4.题型六晨")2=a(a≥0)的运用【例3】已知^ABC的三边a,b,c满足关系式a+b+C—2Ya—5—4Yb—4—6Cc—1+4=0,试求△ABC的周长.【分析】根据式子的结构特点，运用a=Q∙a)2配方，然后利用非负性解题.【解答】•/a+b+c—2a——5—4bb—4—6Cc—1+4=0,/.(a—5)—27a—5+1+(b—4)—4bb—4+4+(c—1)—6、cc—1+9=0,/∙(`/a—5—1)2+(∖b—4—2)2+(%；C—1—3)2=0,/.a—5=1,b—4=4,C—1=9./a=6,b=8,C=10,4ABC的周长为6+8+10=24.题型七二次根式的规律探究【例4】观察分析，探求出规律，然后填空：√2,2,而，2、/2,√1θ,—，…，(第n个数).【分析】由题意可知，被开方数是2的倍数，由此即可求解：√2=H,2= ,√6=√2^3,2√2=22X4,√10=V2X5,/•第6个数是C12=2√3,第n个数是%：2n.【解答】2%•回,西.【例5】观察下列各式:…，请你猜想:(3)请你将猜想到的规律用含有自然数n(n≥1)的代数式表达出来.【分析】先将被开方数化为假分数，再用二次根式的性质化简.【解答】⑴\；4+1=5、WY5+7=6⑵F+115=13X15+1=15⑶I,,nH---=(n+1)J---(n≥1).n+2 n+2题型八求值【例6】已知：X=2—√10,求代数式X2—4X—6的值.【分析】由％=2-√10得％-2=-√10，两边平方可得二次式.【解答】•二％=2—V10, ％—2=一<10,.，.(%—2)2=(—V10)2,%2—4x+4=10,；.X2—4x=6,；.X2—4x—6=0.【例7】已知x=2—√5，那么x4—8x3+16x2—%+1的值是.【分析】由X=2—55得出X2—4X—1=0,用X2—4X—1除X4—8X3+16X2—X+1,得出商和余数，利用：被除数=除数×商十余数，将多项式化简，再代值计算.【解答】由X=2—√5得X—2=一√5，两边平方，得X2—4X+4=5,；.x2—4x—1=0,；.X4—8X3+16X2—X+1=(X2—4X—1)(X2—4X+1)+(—X+2)=2—X=√5.题型九复合二次根式的化简【例8】先阅读下面的解答过程，然后作答:形如、m+2、、C的化简，只要我们找到两个非负数a,b，使a+b=m,ab=n，这样(工a)2+(√b)2=m,Va∙bb=7n，那么便有Fm±2、：n=Qa±tb)=Va±Yb(a>b).例如：化简√7+4v3.首先把％7+4v3化为v7+212，这里m=7,n=12；由于4+3=7,4×3=12,即(工-4)2+(v3)2=7,√4∙√3=V12,.∙.√7+4√3=C7+2<12=.；(：4+g)=2+M.由上述例题的方法化简：(1)√13-2√42；(2)V7-^40；(3)√2-v3.【分析】由例题所给信息知关键是要找到两个合适的非负数.【解答】(1)413-2√42^=、巧-√6>=√7-X；(2)√7-√40=√7-2v10= ：5—√2)=√5—√2；(3NK=∖,'1(4-2<3)=2∙¢(.-1)=豆(石—1)=且—豆.2ι 2, 2, 2, 2,【例9】阅读下列材料，再解决问题：阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号.例如：√3+2√2=J3+2X1X√2=针+2X1X、4+0'2^)=V(I+κ2)2=1+√2.解决问题：⑴在括号内填上适当的数：J14+675L=&)+2X3X亚+(J=A~>+2X3X*+(F=JQ+6)=⑵根据上述思路，试将工;28-10√3予以化简.【分析】通过完全平方公式，将被开方数化成平方的形式，再根据二次根式的性质，化去里面的一层根号.【解答】(1)√14+6√5=\-9+2X3X√5+5=・3+2X3X、5+(%：5)=∖E=3+√5；⑵\：’28-10√3=<25—2X5X33+3=3—2X5X√3+(√3"=虱5—<3)2=5—√3.针对训练2.已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简力益+√α2+2ab+b2+|五一a|—.a0b【解答】由a,b在数轴上的位置可得a<0,a+b<0,且一a>0,b—√2<0.原式=|a|+|a+b|+|⅛2—a|一|b一七2|=-a—a—b+√2—a+b—√2=-3a..已知｛(3%+1)(2-%)=-√3X+1∙V2-X，试化简|X—2|+V9X2+6X+1.【解答】•・•(33%+1)(2-%)=√'3X+1∙X.-2-%,.∙.3x+1≥0,2—X三0,，一∣≤X≤2,又,:|X—21+、:9X2+6X+1=|X—21+13x+11=—(X—2)+(3x+1)=2X+3..若X,y都是实数，且满足y>.-%+,：x-1+1,试化简代数式：|X—1|—%(X-I)2—C2-2y+1%2Y2 7 y-1【解答】•・•1—X≥0,X—1≥0,.∙∙1—X=0,，X=1,y>0+0+1,即y>1,Λy—1>0,2 2 2 2原式=|X—11—|X—11—ly_11=—-_1=—1y-1 --1.当1<X<5时，化简：∖x2-2%+1—√x2-10%+25.【解答】原式=大(X-D2— (X-5>=|X—1|—|X—5|,又∖∙1<X<5,原式=(X—1)—[—(X—5)]=2X—6..若X,y为实数，且y=√1-4X+V4X-1+1,求.—+2+——,■--2+-的值.2 -y- -y-【解答】∙.'1-4X≥0, 4X—1≥0,.∙.1-4X=0,，X=14，原式=Y=谑Y—+-=2+1=5y- 2 212，y=a—1Xa—1 1—2a+a2aa2—6a+9IZfAf/七6.已知a为偶数，且1■厂a=3 ,求 1————2-3——的值.【解答】∙.∙J∣Sɪ=Λ=l,.•・a-1≥0,3-a>0,Λ1<a<3,又，：a为偶数，，a=2,又•二1-2a+a2a—1aa2—6a+9_(a—1)2 Ia—31Ia2—3a a—1 a(a—3)∙.∙a=2,a-3<0,一 -1 1 1 3.二原式=a—1——=a—1+-=2—1+-=-.a a 2 27.对于题目“化简求值：1+4+a