2023-2024学年北师大版数学八年级上册 1.2 一定是直角三角形吗 同步练习（含解析）

第第页2023-2024学年北师大版数学八年级上册1.2一定是直角三角形吗同步练习（含解析）1.2一定是直角三角形吗

一、单选题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本题共8个小题）

1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A．B．C．D．

2．在三角形中，，，的对边分别为，，，且满足，则这个三角形中互余的一对角是（）

A．与B．与C．与D．以上都不正确

3．在中，若，，，则（）

A．B．C．D．

4．在△ABC中，AB﹦12，BC﹦16，AC﹦20，则△ABC的面积是（）

A．120B．160C．216D．96

5．三角形的三边长a、b、c满足，则此三角形是（）

A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

6．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）

①a，b，c②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4．

A．2个B．3个C．4个D．5个

7．如果△ABC的三边分别为m2－1，2m，m2+1(m＞1)那么（）

A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1

B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m

C．△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定

D．△ABC不是直角三角形

8．如图所示，在的正方形网格中，的顶点，，均在格点上，则是（）

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

二、填空题

9．一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形中最短边上的高为______．

10．在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是____．

10题图11题图14题图

11．如图是单位长度为1的网格图，A、B、C、D是4个网格线的交点，以其中两点为端点的线段中，任意取3条，能够组成_________个直角三角形．

12．若一个三角形的三边长分别为m+1,m+2,m+3,那么当m=____时,这个三角形是直角三角形.

13．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则它的面积是______．

14．三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证明了勾股定理．在这幅“勾股圆方图”中，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形EFGH组成的．已知小正方形的边长是2，每个直角三角形的短直角边长是6，则大正方形ABCD的面积是________．

15．小白兔每跳一次为1米，先沿直线跳12次后左拐，再沿直线向前跳5次后左拐，最后沿直线向前跳13次正好回到原来的地方，则小白兔第一次左拐的角度是______________．

16．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；，，.根据你的发现，与之间的关系是_______，_______.

三、解答题

17．如图：在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积．

18．在中，D是边上的点，，，，．

（1）求证：是直角三角形；

（2）求的长．

19．如图，在△ABC中，AD=15，AC=12，DC=9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB=20．

求：△ABD的面积．

20．已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.

21．星期天，两组同学从学校出发去郊游.分组后，第一组同学以1.8千米/时的速度向正北方向直线前进，第二组同学以2.4千米/时的速度向另一个方向直线前进半小时后，两组同学同时停了下来，此时他们相距1.5千米，试回答下面的问题：

（1）第二组同学行走的方向如何

（2）如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，多长时间后相遇

22．观察下列勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，26；…；，，.根据你的发现，求出当时，，的值.

参考答案

1．C

【思路点拨】运用勾股定理的逆定理逐一判断即可．

【详细解答】∵,,,

∴4,6,8不能组成直角三角形．,故A不符合题意;

∵,,,

∴6,8,9不能组成直角三角形,故B不符合题意;

∵,,,

∴5,12,13能组成直角三角形,故C符合题意;

∵,,,

∴5,11,12不能组成直角三角形,故D不符合题意;

故选:C．

【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理,熟记勾股定理的逆定理是解决本题的关键．

2．B

【思路点拨】先由勾股定理的逆定理得出∠B=90°，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．

【详细解答】解：∵b2-a2=c2，

∴b2=a2+c2，

∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°，

∴∠C与∠A互余．

故选：B．

【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形，且最长边所对的角是直角．同时考查了直角三角形两锐角互余的性质．

3．C

【思路点拨】根据勾股定理的逆定理即可求解．

【详细解答】解：∵在△ABC中，BC2+AC2=32+42=25，AB2=52=25，

∴BC2+AC2=AB2，

∴△ABC为直角三角形，∠C=90°．

故选：C．

【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的逆定理．

4．D

【详细解答】是直角三角形..故选D.

5．A

【详细解答】∵(a+b)2-c2=2ab，

∴a2+2ab+b2-c2=2ab.

∴a2+b2=c2.

∴此三角形是直角三角形.

故选A.

点睛:解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足a＋b＝c，则三角形ABC是直角三角形．

6．A

【思路点拨】计算出三角形的角利用定义判定或在知道边的情况下利用勾股定理的逆定理判定则可．

【详细解答】①，故△ABC不是直角三角形；

②a=6，∠A=45°不是成为直角三角形的必要条件，故△ABC不是直角三角形；

③∠A=32°，∠B=58°，∠C=180°－∠A－∠B=90°，故△ABC是直角三角形；

④72+242=252，故△ABC是直角三角形；

⑤22+22≠42，故△ABC不是直角三角形．

故选A．

【方法总结】本题考查了直角三角形的定义和勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

7．A

【思路点拨】根据勾股定理的逆定理即可判断.

【详细解答】解：∵（m2-1）2+（2m）2=（m2+1）2，

∴三角形为直角三角形，且斜边长为m2+1，

故选A.

考点：本题考查的是勾股定理的逆定理

点评：解答本题的关键是熟记勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形.

8．B

【思路点拨】首先依据勾股定理，结合图中每个小方格的边长，求得AC2，AB2，BC2的值；

接下来，依据勾股定理的逆定理可判断出△ABC的形状.

【详细解答】∵BC2=42+22=20，AB2=22+12=5，AC2=32+42=25，

∴BC2+AB2=AC2，

∴△ABC是直角三角形.故选B.

【方法总结】本题考查勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理.

9．4

【思路点拨】根据勾股定理的逆定理，可以判断题目中三角形的形状，然后即可得到这个三角形中最短边上的高的长度，本题得意解决．

【详细解答】解：，

三边长分别为3，4，5的三角形是直角三角形，

这个三角形中最短边上的高为4，

故答案为：4．

【方法总结】本题考查勾股定理的逆定理，会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状是解答本题的关键．

10．如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形

【思路点拨】根据勾股定理的逆定理即可判断．

【详细解答】解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，

∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，

∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）

故答案为：如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

【方法总结】此题考查了勾股定理的逆定理，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．

11．2

【详细解答】试题分析：根据小正方形的边长可分别求，，，，，，根据勾股定理的逆定理，由知△ADB是直角三角形，由知△ABC是直角三角形．共2个．

考点：勾股定理的逆定理

12．2

【思路点拨】本题主要是考查二元一次方程的解法、勾股定理及其证明的应用.因为这个三角形是直角三角形，所以我们可以根据勾股定理进行求解即可.

【详细解答】解：

如果一个三角形的三边长分别为m＋1，m＋2，m＋3，并且是直角三角形，那么：，

化简得：，

解得：m=2,，或（舍去）

故答案为2.

【方法总结】本题主要考查的是二元一次方程的解法、勾股定理及其证明的应用.在做这类题目的时候，要知道因为这个三角形是直角三角形，所以可以根据勾股定理进行求解即可.

13．

【思路点拨】设这个三角形的三边长分别为，再根据周长可求出x的值，从而可得三边长，然后利用勾股定理的逆定理可得这个三角形是直角三角形，最后利用直角三角形的面积公式即可得．

【详细解答】由题意，设这个三角形的三边长分别为

则

解得

则这个三角形的三边长分别为

又

这个三角形是直角三角形，且两直角边长分别为

则它的面积是

故答案为：．

【方法总结】本题考查了勾股定理的逆定理的应用等知识点，依据勾股定理的逆定理判定出这个三角形为直角三角形是解题关键．

14．100

【详细解答】因为大正方形ABCD中4个直角三角形全等,根据全等三角形的性质可得:BE=AH=DG=CF=3,又因为小正方形的边长是1,所以BF=AE=DH=CG=3+1=4,

根据勾股定理可得:AB=AD=CD=BC==5,所以大正方形ABCD的面积是25,

故答案为25.

15．

【详细解答】由题意得：小白兔第一次跳12米，第二次跳5米，第三次跳13米；

∵米，

而13=169，刚好符合直角三角形中勾股定理的逆定理，且第一次和第二次跳的距离为直角边．

故小白兔第一次左拐的角度是90°.

16．

【解析】

【思路点拨】仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，通过代入3，4，5；5，12，13；7，24，25计算可得.

【详细解答】观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即cb=1；通过代入3，4，5；5，12，13；7，24，25计算可得52-42=32,132-122=52,252-242=72，即可得到.

【方法总结】本题考查勾股数、规律和勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理.

17．四边形ABCD的面积是36

【思路点拨】根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理逆定理计算出，然后根据四边形ABCD的面积的面积+的面积，列式进行计算即可得解．

【详细解答】解：连接，

∵AB=3，BC=4，，

∴在Rt△ABC中，根据勾股定理得：

AC===5．

∵AC2+CD2=52+122=132=AD2，

∴△ACD是直角三角形．

∴S四边形ABCD=ABBC+ACCD=×3×4+×5×12=36．

故四边形ABCD的面积是36．

【方法总结】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，连接AC，构造出直角三角形是解题关键．

18．（1）见解析；（2）9

【思路点拨】（1）根据勾股定理的逆定理可判断出△ADB为直角三角形；

（2）在Rt△ADC中利用勾股定理可得出DC的长度．

【详细解答】解：（1）证明：∵AB=13，AD=12，BD=5，

∴AB2=AD2+BD2，

∴△ABD是直角三角形，即∠ADB=90°；

（2）∵∠ADB=90°，

∴△ADC是直角三角形，

在Rt△ADC中，DC==9．

【方法总结】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出∠ADB=90°．

19．42.

【详细解答】试题分析：由勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，∠C=90°，再由勾股定理求出BC，得出BD，即可得出结果．

解：在△ADC中，AD=15，AC=12，DC=9，

AC2+DC2=122+92=152=AD2，

即AC2+DC2=AD2，

∴△ADC是直角三角形，∠C=90°，

在Rt△ABC中，BC===16，

∴BD=BC﹣DC=16﹣9=7，

∴△ABD的面积=×7×12=42．

20．直角三角形

【详细解答】试题分析：把已知条件写成三个完全平方式的和的形式，再由非负数的性质求得三边，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状．

由已知得(a2－10a+25)+(b2－24b+144)+(c2－26c+169)=0

(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0

由于(a－5)2≥0，(b－12)2≥0，(c－13)2≥0.

所以a－5=0，得a=5；

b－12=0，得b=12；

c－13=0，得c=13.

又因为132=52+122，即a2+b2=c2

所以△ABC是直角三角形.

考点：本题考查的是勾股定理的逆定理，