贵港市重点中学2024届数学九年级第一学期期末检测试题含解析

贵港市重点中学2024届数学九年级第一学期期末检测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．下列函数的图象，不经过原点的是（）A． B．y＝2x2 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．2．用配方法将二次函数化为的形式为（）A． B．C． D．3．把抛物线y＝－x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为()A．y＝－(x＋1)2＋1 B．y＝－(x＋1)2－1 C．y＝－(x－1)2＋1 D．y＝－(x－1)2－14．已知，下列变形错误的是（）A． B． C． D．5．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH•PC；④FE：BC＝，其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．下列说法正确的是（）A．所有菱形都相似 B．所有矩形都相似C．所有正方形都相似 D．所有平行四边形都相似7．如图，缩小后变为，其中、的对应点分别为、，点、、、均在图中格点上，若线段上有一点，则点在上对应的点的坐标为()A． B． C． D．8．下列函数关系式中，是的反比例函数的是（）A． B． C． D．9．已知关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0，下列说法正确的是()A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定10．如图，在正方形ABCD中，H是对角线BD的中点，延长DC至E，使得DE=DB，连接BE，作DF⊥BE交BC于点G，交BE于点F，连接CH、FH，下列结论：（1）HC=HF；（2）DG=2EF；（3）BE·DF=2CD2；（4）S△BDE=4S△DFH；（5）HF∥DE，正确的个数是（）A．5 B．4 C．3 D．211．已知二次函数y＝x2﹣2x+m（m为常数）的图象与x轴的一个点为（3，0），则关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是（）A．x1＝﹣1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝3 C．x1＝﹣1，x2＝1 D．x1＝3，x2＝﹣512．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝3，AC＝4，则sinB的值为（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．已知二次函数y=-x2+2x+5，当x________时，y随x的增大而增大14．如图：M为反比例函数图象上一点，轴于A，时，______．15．如图，一架长为米的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时测得，如果梯子的底端外移到，则梯子顶端下移到，这时又测得，那么的长度约为______米．（，，，）16．二次函数图象与轴交于点，则与图象轴的另一个交点的坐标为__．17．布袋里有三个红球和两个白球，它们除了颜色外其他都相同，从布袋里摸出两个球，摸到两个红球的概率是________．18．已知在平面直角坐标系中，点在第二象限，且到轴的距离为3,到轴的距离为4,则点的坐标为______．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点A在x轴的正半轴上，B为⊙O上一点，过点A、B的直线与y轴交于点C，且OA2＝AB•AC．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）若AB＝，求直线AB对应的函数表达式．20．（8分）如图，在中，是内心，是边上一点，以点为圆心，为半径的经过点.求证：是的切线；已知的半径是.①若是的中点，，则；②若，求的长.21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为A(2，6)，B(0，4)，C(3，3)．（正方形网格的每个小正方形的边长都是1个单位长度）（1）平移后，点A的对应点A1的坐标为(6，6)，画出平移后的；（2）画出绕点C1旋转180°得到的；（3）绕点P(_______)旋转180°可以得到，请连接AP、A2P，并求AP在旋转过程中所扫过的面积．22．（10分）小明家今年种植的草莓喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，爸爸让他对今年的销售情况进行跟踪记录，小明利用所学的数学知识将记录情况绘成图象（所得图象均为线段），日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，草莓的销售价p（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图2所示设第x天的日销售额为w（单位：元）（1）第11天的日销售额w为元；（2）观察图象，求当16≤x≤20时，日销售额w与上市时间x之间的函数关系式及w的最大值；（3）若上市第15天时，爸爸把当天能销售的草莓批发给了邻居马叔叔，批发价为每千克15元，马叔叔到市场按照当日的销售价p元千克将批发来的草莓全部售完，他在销售的过程中，草莓总质量损耗了2%．那么，马叔叔支付完来回车费20元后，当天能赚到多少元？23．（10分）为了加强学校的体育活动，某学校计划购进甲、乙两种篮球，根据市场调研发现，如果购进甲篮球2个和乙篮球3个共需270元；购进甲篮球3个和乙篮球2个共需230元．（1）求甲、乙两种篮球每个的售价分别是多少元？（2）为满足开展体育活动的需求，学校计划购进甲、乙两种篮球共100个，由于购货量大，和商场协商，商场决定甲篮球以九折出售，乙篮球以八折出售，学校要求甲种篮球的数量不少于乙种篮球数量的4倍，甲种篮球的数量不多于90个，请你求出学校花最少钱的进货方案；（3）学校又拿出省下的290元购买跳绳和毽子两种体育器材，跳绳10元一根，毽子5元一个，在把钱用尽的情况下，有多少种进货方案？24．（10分）如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，(1)求线段OD的长度；(2)求弦AB的长度．25．（12分）如图，E是正方形ABCD的CD边上的一点，BF⊥AE于F，(1)求证：△ADE∽△BFA；(2)若正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，求△BFA的面积，26．综合与探究如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，点在轴上，其坐标为，抛物线经过点为第三象限内抛物线上一动点.求该抛物线的解析式.连接，过点作轴交于点，当的周长最大时，求点的坐标和周长的最大值.若点为轴上一动点，点为平面直角坐标系内一点.当点构成菱形时，请直接写出点的坐标.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、D【分析】根据函数图象上的点的坐标特征可以知道，经过原点的函数图象，点（0，0）一定在函数的解析式上；反之，点（0，0）一定不在函数的解析式上．【题目详解】解：A、当x＝0时，y＝0，即该函数图象一定经过原点（0，0）．故本选项错误；B、当x＝0时，y＝0，即该函数图象一定经过原点（0，0）．故本选项错误；C、当x＝0时，y＝0，即该函数图象一定经过原点（0，0）．故本选项错误；D、当x＝0时，原方程无解，即该函数图象一定不经过原点（0，0）．故本选项正确．故选：D．【题目点拨】本题考查了函数的图象,熟悉正比例函数,二次函数和反比例函数图象的特点是解题关键.2、B【分析】加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，将一般式转化为顶点式即可．【题目详解】故选：B．【题目点拨】本题考查二次函数一般式到顶点式的转化，熟练掌握配方法是解题的关键．3、B【解题分析】试题分析：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，可直接求得平移后的抛物线的解析式为：.4、B【解题分析】根据比例式的性质，即可得到答案．【题目详解】∵⇔，⇔，⇔，⇔，∴变形错误的是选项B．故选B．【题目点拨】本题主要考查比例式的性质，掌握比例式的内项之积等于外项之积，是解题的关键．5、D【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．【题目详解】解：∵△BPC是等边三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE；故①正确；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH；故②正确；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2＝PH•PC，故③正确；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°∴AE＝AB＝BC，∵∠DCF＝30°，∴DF＝DC＝BC，∴EF＝AE+DF＝﹣BC，∴FE：BC＝（2﹣3）：3故④正确，故选：D．【题目点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质，等边三角形的性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．6、C【分析】根据相似多边形的定义一一判断即可．【题目详解】A．菱形的对应边成比例，对应角不一定相等，故选项A错误；B．矩形的对应边不一定成比例，对应角一定相等，故选项B错误；C．正方形对应边一定成比例，对应角一定相等，故选项C正确；D．平行四边形对应边不一定成比例，对应角不一定相等，故选项D错误．故选：C．【题目点拨】本题考查了相似多边形的判定，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7、D【分析】根据A，B两点坐标以及对应点C，D点的坐标得出坐标变化规律，进而得出P′的坐标．【题目详解】解：∵△ABO缩小后变为△CDO，其中A、B的对应点分别为C、D，点A、B、C、D均在图中在格点上，即A点坐标为：(4，6)，B点坐标为：(6，2)，C点坐标为：(2，3)，D点坐标为：(3，1)，∴线段AB上有一点P(m，n)，则点P在CD上的对应点P′的坐标为：（）．故选D．【题目点拨】此题主要考查了点的坐标的确定，位似图形的性质，根据已知得出对应点坐标的变化是解题关键．8、C【分析】根据反比例函数的定义即可得出答案.【题目详解】A为正比例函数，B为一次函数，C为反比例函数，D为二次函数，故答案选择C.【题目点拨】本题考查的是反比例函数的定义：形如的式子，其中k≠0.9、B【分析】根据一元二次方程的构成找出其二次项系数、一次项系数以及常数项，再根据根的判别式△＝17＞0，即可得出方程有两个不相等的实数根，此题得解.【题目详解】解：在一元二次方程x2+3x﹣2＝0中，二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为﹣2，∵△＝32﹣4×1×(﹣2)＝17＞0，∴方程x2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根.故选：B.【题目点拨】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∆=b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键.当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根.10、B【解题分析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得EF=BF，根据H是正方形对角线BD的中点可得CH=DH=BH，即可证明HF是△BDE的中位线，可得HF=DE，HF//DE；由BD=DE即可得HC=HF；利用直角三角形两锐角互余的关系可得∠CBE=∠CDG，利用ASA可证明△BCE≌△DCG，可得DG=BE，可判定DG=2EF，由正方形的性质可得BD2=2CD2，根据∠CBE=∠CDG，∠E是公共角可证明△BCE∽△DFE，即可得，即BE·DF=DE·BC，可对③进行判定，根据等底等高的三角形面积相等可对④进行判定，综上即可得答案.【题目详解】∵BD=DE，DF⊥BE，∴EF=BF，∵H是正方形ABCD对角线BD的中点，∴CH=DH=BH=BD，∴HF是△BDE的中位线，∴HF=DE=BD=CH，HF//DE，故①⑤正确，∵∠CBE+∠E=90°，∠FDE+∠E=90°，∴∠CBE=∠FDE，又∵CD=BC，∠DCG=∠BCE=90°，∴△BCE≌△DCG，∴DG=BE，∵BE=2EF，∴DG=2EF，故②正确，∵∠CBE=∠FDE，∠E=∠E，∴△BCE∽△DFE，∴，即BE·DF=DE·BC，∵BD2=CD2+BC2=2CD2∴DE2=2CD2，∴DE·BC≠2CD2，∴BE·DF≠2CD2，故③错误，∵DH=BD，∴S△DFH=S△DFB，∵BF=BE，∴S△DFB=S△BDE，∴S△DFH=S△BDE，即S△BDE=4S△DFH，故④正确，综上所述：正确的结论有①②④⑤，共4个，故选B.【题目点拨】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及三角形中位线的性质，综合性较强，熟练掌握所学性质及定理是解题关键.11、A【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），然后利用抛物线与x轴的交点问题求解．【题目详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，而抛物线与x轴的一个点为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个点为（﹣1，0），∴关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根是x1＝﹣1，x2＝1．故选：A．【题目点拨】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．12、A【分析】根据三角函数的定义解决问题即可．【题目详解】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，∴AB＝，∴sinB＝＝故选：A．【题目点拨】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题（每题4分，共24分）13、x<1【分析】把二次函数解析式化为顶点式，可求得其开口方向及对称轴，利用二次函数的增减性可求得答案．【题目详解】解：∵y=-x2+2x+5=-（x-1）2+6，

∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，

∴当x＜1时，y随x的增大而增大，

故答案为：＜1．【题目点拨】此题考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．14、﹣1．【分析】根据反比例函数系数的几何意义，由S△AOM=4，可可求出|k|=1，再由函数图像过二、四象限可知k<0，，从而可求出k的值.【题目详解】∵MA⊥y轴，∴S△AOM=|k|=4，∵k＜0，∴k=﹣1．故答案为﹣1．【题目点拨】本题考查了反比例函数的几何意义，一般的，从反比例函数（k为常数，k≠0）图像上任一点P，向x轴和y轴作垂线你，以点P及点P的两个垂足和坐标原点为顶点的矩形的面积等于常数，以点P及点P的一个垂足和坐标原点为顶点的三角形的面积等于.15、【分析】直接利用锐角三角函数关系得出，的长，进而得出答案．【题目详解】由题意可得：∵，，，解得：，∵，，，解得：，则，答：的长度约为米．故答案为．【题目点拨】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出，的长是解题关键．16、【分析】确定函数的对称轴为：，即可求解．【题目详解】解：函数的对称轴为：，故另外一个交点的坐标为，故答案为．【题目点拨】本题考查的是抛物线与轴的交点和函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数与坐标轴的交点、二次函数的对称轴是解题的关键．17、【解题分析】应用列表法，求出从布袋里摸出两个球，摸到两个红球的概率是多少即可．【题目详解】解：

红1红2红3白1白2红1--红1红2红1红3红1白1红1白2红2红2红1--红2红3红2白1红2白2红3红3红1红3红2--红3白1红3白2白1白1红1白1红2白1红3--白1白2白2白2红1白2红2白2红3白2白1--∵从布袋里摸出两个球的方法一共有20种，摸到两个红球的方法有6种，∴摸到两个红球的概率是．

故答案为：．【题目点拨】此题主要考查了列表法与树状图法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．18、（-4,3）【分析】根据第二象限点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【题目详解】解：点在第二象限，且到轴的距离为3，到轴的距离为4，点的横坐标为，纵坐标为3，点的坐标为．故答案为．【题目点拨】本题考查了点的坐标，熟记点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）【分析】，（1）连接OB，根据题意可证明△OAB∽△CAO，继而可推出OB⊥AB，根据切线定理即可求证结论；（2）根据勾股定理可求得OA＝2及A点坐标，根据相似三角形的性质可得，进而可求CO的长及C点坐标，利用待定系数法，设直线AB对应的函数表达式为y＝kx+b，再把点A、C的坐标代入求得k、b的值即可．【题目详解】（1）证明：连接OB．∵OA2＝AB•AC∴,又∵∠OAB＝∠CAO，∴△OAB∽△CAO，∴∠ABO＝∠AOC，又∵∠AOC＝90°，∴∠ABO＝90°，∴AB⊥OB；∴直线AB是⊙O的切线；（2）解：∵∠ABO＝90°，，OB＝1，∴，∴点A坐标为（2，0），∵△OAB∽△CAO，∴，即，∴，∴点C坐标为；设直线AB对应的函数表达式为y＝kx+b，则，∴∴．即直线AB对应的函数表达式为．【题目点拨】本题考查相似三角形的判定及性质、圆的切线定理、勾股定理、一次函数解析式等知识，解题的关键是正确理解题意，求出线段的长及各点的坐标．20、（1）详见解析；（2）①；②【分析】(1)延长交于，连接.得出，再利用角之间的关系可得出，即，结论即可得证.(2)①利用勾股定理即可求解②由知，，根据对应线段成比例，可得出AB，AD的值，从而可求出AI的长.【题目详解】解：(1)证明：延长交于，连接.是的内心，平分平分...又，....为的切线.①∵∴.②解：由知，..∴.【题目点拨】本题考查的知识点有圆的切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，综合性较强，利用数形结合的方法可以更好的理解题目，有助于找出解题的方向.21、（1）图见解析；（2）图见解析；（3），AP所扫过的面积为．【分析】（1）先根据点A和的坐标得出平移方式，再根据点坐标的平移变换规律得出点的坐标，然后顺次连接点即可得；（2）先根据旋转的性质得出点的坐标，再顺次连接点即可得；（3）求出的中点坐标即为点P的坐标，再利用两点之间的距离公式可得AP的值，然后利用圆的面积公式即可得扫过的面积．【题目详解】（1）平移后得到点，的平移方式是向右平移个单位长度，，，即，如图，先在平面直角坐标系中，描出点，再顺次连接即可得到；（2）设点的坐标为，由题意得：点是的中点，则，解得，即，同理可得：，如图，先在平面直角坐标系中，描出点，再顺次连接点即可得到；（3）设点P的坐标为，由题意得：点P是的中点，则，即，，绕点旋转得到，所扫过的图形是以点P为圆心、AP长为半径的半圆，所扫过的面积为．【题目点拨】本题考查了图形的平移与旋转、点坐标的平移变换规律、圆的面积公式等知识点，熟练掌握点坐标的变换规律是解题关键．22、（1）1980；（2）w＝﹣5（x﹣1）2+180，w有最大值是680元；（3）112元【分析】（1）当3≤x＜16时，设p与x的关系式为p＝kx＋b，当x＝11时，代入解析式求出p的值，由销售金额＝单价×数量就可以求出结论；（2）根据两个图象求得两个一次函数解析式，进而根据销售问题的等量关系列出二次函数解析式即可；（3）当x＝15时代入（2）的解析式求出p的值，再当x＝15时代入（1）的解析式求出y的值，再由利润＝销售总额−进价总额−车费就可以得出结论．【题目详解】解：（1）当3≤x≤16时设p与x之间的函数关系式为p＝kx+b依题意得把（3，30），（16，17）代入，解得∴p＝﹣x+33当x＝11时，p＝22所以90×22＝1980答：第11天的日销售额w为1980元．故答案为1980；（2）当11≤x≤20时设y与x之间的函数关系式为y＝k1x+b1，依题意得把（20，0），（11，90）代入得解得∴y＝﹣10x+200当16≤x≤20时设p与x之间的函数关系式为：p＝k2x+b2依题意得，把（16，17），（20，19）代入得解得k2＝，b2＝9：∴p＝x+9w＝py＝（x+9）（﹣10x+200）＝﹣5（x﹣1）2+1805∴当16≤x≤20时，w随x的增大而减小∴当x＝16时，w有最大值是680元．（3）由（1）得当3≤x≤16时，p＝﹣x+33当x＝15时，p＝﹣15+33＝18元，y＝﹣10×15+200＝50千克利润为：50（1﹣2%）×18﹣50×15﹣20＝112元答：当天能赚到112元．【题目点拨】此题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是根据题意分别列出一次函数与二次函数求解.23、（1）甲种篮球每个的售价为30元，乙种篮球每个的售价为70元；（2）花最少钱的进货方案为购进甲种篮球90个，乙种篮球10个；（3）有28种进货方案．【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；（2）设学校计划购进甲种篮球m个，则学校计划购进乙种篮球（100−m）个；根据题意列不等式即可得到结论；（3）设购买跳绳a根，毽子b个，根据题意得方程10a＋5b＝290，求得b＝58−2a＞0，解不等式即可得到结论．．【题目详解】（1）设甲种篮球每个的售价为元，乙种篮球每个的售价为元．依题意，得解得答：甲种篮球每个的售价为30元，乙种篮球每个的售价为70元．（2）设学校购进甲种篮球个，则购进乙种篮球个．由已知，得.解得．又，∴．设购进甲、乙两种篮球学校花的钱为元，则，∴当时，取最小值，花最少钱为2990元．花最少钱的进货方案为购进甲种篮球90个，乙种篮球10个．（3）设购买跳绳根，毽子个，则，．解得．∵为正整数，∴有28种进货方案．【题目点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用不等式的性质解答问题．24、(1)OD＝4；(2)弦AB的长是1．【分析】（1）OD=OC-CD，即可得出结果；（2）连接AO，由垂径定理得出AB=2AD，由勾股定理求出AD，即可得出结果．【题目详解】(1)∵半径是5，∴OC＝5，∵CD＝1，∴OD＝OC﹣CD＝5﹣1＝4；(2)连接AO，如图所示：∵OC⊥AB，∴AB＝2AD，根据勾股定理：AD＝，∴AB＝3×2＝1，因此弦AB的长是1．【题目点拨】本题考查了垂径定理、勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出AD是解决问题（2）的关键．25、（1）见详解；（2）【分析】（1）根据两角相等的两个三角形相似，即可证明△ADE∽△BFA；（2）利用三角形的面积比等于相似比的平方，即可解答．【题目详解】（1）证明：∵BF⊥AE于点F，四边形ABCD为正方形，∴△ADE和△BFA均为直角三角形，∵DC∥AB，∴∠DEA=∠FAB，∴△ADE∽△BFA；（2）解：∵AD=2，E为CD的中点，∴DE=1，∴AE=