2024年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形

§4.1任意角和弧度制、

三角函数的概念第四章三角函数与解三角形1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.3.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.考试要求

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分1.角的概念(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的

旋转所成的图形.(2)分类按旋转方向不同分为

、

、______按终边位置不同分为

和轴线角.(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为

.(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝

.端点正角负角零角象限角－α{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于

的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示.半径长(2)公式角α的弧度数公式角度与弧度的换算弧长公式弧长l＝____扇形面积公式S＝

＝______|α|r3.任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义：设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图.1.象限角2.轴线角判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)×√(3)若sinα>0，则α是第一或第二象限角.(

)×√1.－660°等于√2.某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了______弧度.－4π某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了－720°，即－4π.3.已知角α的终边经过点P(2，－3)，则sinα＝________，tanα＝_____.探究核心题型第二部分例1

(1)(2023·宁波模拟)若α是第二象限角，则A.－α是第一象限角题型一角及其表示D.2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上√对于D，可得π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α是第三或第四象限角或在y轴负半轴上，所以D正确.延伸探究

若α是第一象限角，则

是第几象限角？因为α是第一象限角，所以k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z，(2)在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________________.－675°和－315°所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)，当k＝－1时，β＝45°－360°＝－315°，当k＝－2时，β＝45°－2×360°＝－675°.思维升华跟踪训练1

(1)“α是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√对称，写出一个符合题意的θ＝____________________________.关于y轴对称，例2

已知一扇形的圆心角为α(α>0)，弧长为l，周长为C，面积为S，半径为r.(1)若α＝35°，r＝8cm，求扇形的弧长；题型二弧度制及其应用(2)若C＝16cm，求S的最大值及此时扇形的半径和圆心角.方法一

由题意知2r＋l＝16，∴l＝16－2r(0<r<8)，∴S的最大值是16cm2，此时扇形的半径是4cm，圆心角α＝2rad.当且仅当l＝2r，即r＝4(cm)时，S的最大值是16cm2.此时扇形的圆心角α＝2rad.应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为基本不等式或二次函数的最值问题.跟踪训练2

某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA＝10，OB＝x(0<x<10)，线段BA，CD与

，

的长度之和为30，圆心角为θ弧度.(1)求θ关于x的函数表达式；根据题意，可算得

＝θx，

＝10θ.因为AB＋CD＋

＋

＝30，所以2(10－x)＋θx＋10θ＝30，(2)记铭牌的截面面积为y，试问x取何值时，y的值最大？并求出最大值.题型三三角函数的概念√√√所以点(tanθ，sinα)在第一象限，D正确.√(3)若sinαtanα<0，且

>0，则角α是A.第一象限角

B.第二象限角C.第三象限角

D.第四象限角√由sinαtanα<0，知α是第二象限或第三象限角，所以角α是第二象限角.(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标.(2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况.跟踪训练3

(1)若角α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，则2sinα－cosα的值是√若α的终边上有一点P(a,2a)(a≠0)，(2)sin2cos3tan4的值A.小于0 B.大于0C.等于0 D.不存在√∴sin2cos3tan4<0.课时精练第三部分12345678910111213141516基础保分练1.与－2023°终边相同的最小正角是A.137°

B.133°

C.57°

D.43°√因为－2023°＝－360°×6＋137°，所以与－2023°终边相同的最小正角是137°.√123456789101112131415163.如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π).若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为√123456789101112131415164.(2023·惠州模拟)如果点P(2sinθ，sinθ·cosθ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√∵点P(2sinθ，sinθ·cosθ)位于第四象限，∴角θ所在的象限是第二象限.12345678910111213141516123456789101112131415165.(2023·南昌模拟)我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，顺利将探测器送入预定轨道，经过两次轨道修正，嫦娥五号顺利进入环月轨道飞行，嫦娥五号从椭圆形环月轨道变为近圆形环月轨道，若这时把近圆形环月轨道看作圆形轨道，嫦娥五号距离月球表面400千米，已知月球半径约为1738千米，则嫦娥五号绕月每旋转

弧度，飞过的路程约为(取π≈3.14)A.1069千米

B.1119千米C.2138千米

D.2238千米√12345678910111213141516嫦娥五号绕月飞行半径为400＋1738＝2138(千米)，6.(2023·丽江模拟)屏风文化在我国源远流长，可追溯到汉代.某屏风工艺厂设计了一款造型优美的扇环形屏风，如图，扇环外环弧长为3.6m，内环弧长为1.2m，径长(外环半径与内环半径之差)为1.2m，若不计外框，则扇环内需要进行工艺制作的面积的估计值为A.2.58m2

B.2.68m2C.2.78m2

D.2.88m2√12345678910111213141516设扇形的圆心角为α，内环半径为rm，外环半径为Rm，则R－r＝1.2(m)，由题意可知，α·r＝1.2，α·R＝3.6，所以α(R＋r)＝4.8，1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415168.数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边△ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形(如图所示).若莱洛三角形的周长为2π，则其面积是_________.1234567891011121314151612345678910111213141516(1)试判断角α所在的象限；由lg(cosα)有意义，可知cosα>0，所以α是第四象限角.(2)若角α的终边上一点

，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sinα的值.1234567891011121314151610.如图，在平面直角坐标系Oxy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于点A(1,0)，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动.(1)若点B的横坐标为

，求sinα的值和与角α终边相同的角β的集合；1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151611.在平面直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为A.β＝α＋90°B.β＝α±90°C.β＝α＋90°＋k·360°(k∈Z)D.β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)12345678910111213141516综合提升练√∵α与β的终边互相垂直，∴β＝α±90°＋k·360°(k∈Z).1234567891011121314151612.(多选)已知点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，则x可能位于的区间是√√由点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，可得sinx－cosx<0，1234567891011121314151612345678910111213141516A.1

B.－1

C.3

D.－3√12345678910111213141516因为△ABC为锐角三角形，所以sinA>cosB，sinC>cosA，所以θ是第四象限角，14.在北京冬奥会短道速滑混合接力的比赛中，中国队以2分37秒348的成绩获得金牌.如图，短道速滑的比赛场地的内圈半圆的弯道计算半径为8.5m，直道长为28.85m，点O为半圆的圆心，点N为弯道与直道的连接点，运动员沿滑道逆时针滑行，在某次短道速滑比赛最后一圈的冲刺中，运动员小夏在弯道上的P点处成功超过所有对手，并领先到达终点Q(终点Q为直道的中点).若从P点滑行到Q点的距离为31.425m，则∠PON等于√1234567891011121314151612345678910111213141516拓展冲刺练15.(2023·常州模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形.如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形中较小的锐角为α，则sinαcosα的值为√12345678910111213141516大正方形的面积为100，则边长为10.1234567891011121314151616.如图，点P是半径为2的圆O上一点，现将如图放置的边长为2的正方形ABCD(顶点A与P重合)沿圆周逆时针滚动.若从点A离开圆周的这一刻开始，正方形滚动至使点A再次回到圆周上为止，称为正方形滚动了一轮，则当点A第一次回到点P的位置时，正方形滚动了___轮，此时点A走过的路径的长度为__________.312345678910111213141516正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为B→C→D→A，顶点两次回到点P时，正方形顶点将圆周正好分成六等份，又4和6的最小公倍数为3×4＝2×6＝12，所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮.12345678910111213141516§4.2同角三角函数基本

关系式及诱导公式第四章三角函数与解三角形考试要求2.掌握诱导公式，并会简单应用.

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：

.(2)商数关系：

.sin2α＋cos2α＝12.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α正弦sinα___________________________余弦cosα_____________________________正切tanα____________－tanα

口诀奇变偶不变，符号看象限－sinα－sinαsinαcosαcosα－cosαcosα－cosαsinα－sinαtanα－tanα同角三角函数的基本关系式的常见变形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)使sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.(

)(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(

)××××√√sinα探究核心题型第二部分题型一同角三角函数基本关系√√①因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0，②故D正确；0∴α是第二或第三象限角.①若α是第二象限角，②若α是第三象限角，综上，13sinα＋5tanα＝0.因为tanα＝2，思维升华(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.√可得tanα＝2，√因为α∈(0，π)，所以sinα>0，所以cosα<0，所以sinα－cosα>0，题型二诱导公式√sin(3π－x)＝sin(π－x)＝sinx，诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.√√题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用√消去sinβ，得tanα＝3，∴sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，由－π<x<0知，sinx<0，所以cosx>0，所以sinx－cosx<0，(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响.√以下同方法一.课时精练第三部分12345678910111213141516基础保分练1.sin1620°等于A.0 B.C.1 D.－1√由诱导公式，sin1620°＝sin(180°＋4×360°)＝sin180°＝0.12345678910111213141516√123456789101112131415163.已知角α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线2x＋y＋3＝0平行，则

的值为A.－2

B.

C.2

D.3√因为角α的终边与直线2x＋y＋3＝0平行，即角α的终边在直线y＝－2x上，12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√√√12345678910111213141516在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，A正确；cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，D错误.12345678910111213141516√因为tan2α－3tanαsinα－4sin2α＝0，所以(tanα－4sinα)(tanα＋sinα)＝0，1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415160123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151610.已知角θ

的终边与单位圆x2＋y2＝1在第四象限交于点P，且点P的坐标为

.(1)求tanθ的值；1234567891011121314151612345678910111213141516综合提升练A.－2

B.－1

C.2

D.1√√所以原表达式的取值为－2或2.1234567891011121314151612.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则

等于√12345678910111213141516根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过第一步之后变为314，经过第二步之后变为123，再变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即a＝123，1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161812345678910111213141516拓展冲刺练√√12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151616.(2022·上海模拟)在角θ1，θ2，θ3，…，θ29的终边上分别有一点P1，P2，P3，…，P29，如果点Pk的坐标为(sin(15°－k°)，sin(75°＋k°))，1≤k≤29，k∈N，则cosθ1＋cosθ2＋cosθ3＋…＋cosθ29＝_____.123456789101112131415160∵sin(75°＋k°)＝sin(90°－(15°－k°))＝cos(15°－k°)，∴Pk(sin(15°－k°)，cos(15°－k°))，＝sin(15°－k°)，∴cosθ1＋cosθ2＋cosθ3＋…＋cosθ29＝sin14°＋sin13°＋sin12°＋…＋sin(－14°)，1234567891011121314151612345678910111213141516又sin(15°－k°)＋sin(k°－15°)＝sin(15°－k°)－sin(15°－k°)＝0，∴cosθ1＋cosθ2＋cosθ3＋…＋cosθ29＝sin0°＝0.§4.3两角和与差的正弦、

余弦和正切公式第四章三角函数与解三角形1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.考试要求

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝

；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝

；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝

；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝

；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝

；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝

.cosαcosβ＋sinαsinβcosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ－cosαsinβsinαcosβ＋cosαsinβ2.辅助角公式asinα＋bcosα＝

，其中sinφ＝

，cosφ＝两角和与差的公式的常用变形：(1)sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ.(2)cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.(3)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ.(

)(2)两角和与差的正切公式中的角α，β是任意角.(

)(3)公式tan(α＋β)＝

可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立.(

)(4)公式asinx＋bcosx＝

sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关.(

)√×××1.sin20°cos10°－cos160°sin10°等于√2.若将sinx－

cosx写成2sin(x－φ)的形式，其中0≤φ<π，则φ＝

.因为0≤φ<π，探究核心题型第二部分题型一两角和与差的三角函数公式√(2)(2023·青岛模拟)已知tanα＝1＋m，tanβ＝m，且α＋β＝

，则实数m的值为A.－1

B.1

C.0或－3

D.0或1√解得m＝0或m＝－3.思维升华两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.√A.tan(α－β)＝1 B.tan(α＋β)＝1C.tan(α－β)＝－1 D.tan(α＋β)＝－1√题型二两角和与差的公式逆用与辅助角公式√∵A＋B＝π－C，运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.√(2)满足等式(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个这样的数组__________________.由(1＋tanα)(1＋tanβ)＝2，得1＋tanβ＋tanα＋tanαtanβ＝2，所以tanβ＋tanα＝1－tanαtanβ，题型三角的变换问题√(2)若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β)＝

，tanα＝

.－1∵tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，课时精练第三部分12345678910111213141516基础保分练1.(2023·苏州模拟)cos24°cos36°－sin24°cos54°等于cos24°cos36°－sin24°cos54°＝cos24°cos36°－sin24°sin36°＝cos(24°＋36°)＝cos60°＝

.√√12345678910111213141516123456789101112131415163.(2023·重庆模拟)若2cos80°＝cos20°＋λsin20°，则λ等于√√12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√123456789101112131415167.(2022·重庆模拟)cos15°sin10°cos20°＋cos10°cos70°－2cos45°sin15°sin10°sin70°的值为_____.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516(1)求α＋β的值；所以cosα>0，cosβ>0，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516(2)求β.综合提升练11.已知3sinx－4cosx＝5sin(x＋φ)，则φ所在的象限为A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限√12345678910111213141516√√12345678910111213141516所以1＝sin2γ＋cos2γ＝(sinα－sinβ)2＋(cosβ－cosα)2＝2－2(cosβcosα＋sinβsinα)＝2－2cos(β－α)，1234567891011121314151612345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151614.(多选)下列结论正确的是A.sin(α－β)sin(β－γ)－cos(α－β)cos(γ－β)＝cos(α－γ)√√12345678910111213141516对于A，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A错误；1234567891011121314151612345678910111213141516拓展冲刺练1234567891011121314151621234567891011121314151612345678910111213141516点A(1,0)，OA与x轴的正方向的夹角θ＝0且|OA|＝1.12345678910111213141516所以|OB2|＝|OB1|·ρ＝5×5＝25，设OB与x轴的正方向的夹角为α，1234567891011121314151612345678910111213141516第四章三角函数与解三角形§4.4简单的三角恒等

变换能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).考试要求

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin2α＝

.(2)公式C2α：cos2α＝

＝

＝

.(3)公式T2α：tan2α＝

.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2.常用的部分三角公式(1)1－cosα＝

，1＋cosα＝

.(升幂公式)(2)1±sinα＝

.(升幂公式)(3)sin2α＝

，cos2α＝

，tan2α＝

.(降幂公式)判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)半角的正弦、余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的.(

)(2)存在实数α，使tan2α＝2tanα.(

)√√√√√2.若角α满足sinα＋2cosα＝0，则tan2α等于√√探究核心题型第二部分题型一三角函数式的化简√思维升华(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点.题型二三角函数式的求值命题点1给角求值例2

计算：(1)sin10°·sin30°·sin50°·sin70°；命题点2给值求值√命题点3给值求角(1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.(2)给值(角)求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子；②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手；③将已知条件代入所求式子，化简求值.跟踪训练2

(1)已知α∈(0，π)，sin2α＋cos2α＝cosα－1，则sin2α等于√∵sin2α＝2sinαcosα，cos2α＝2cos2α－1，∴2sinαcosα＋2cos2α＝cosα，当cosα＝0时，等式成立，此时sin2α＝0；√∴sin(60°＋α)＝sin[90°－(30°－α)]题型三三角恒等变换的综合应用(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.(2)形如y＝asinx＋bcosx化为y＝

sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.因为2tan2β－tanβ－1＝(2tanβ＋1)(tanβ－1)＝0，课时精练第三部分12345678910111213141516基础保分练√1234567891011121314151612345678910111213141516√12345678910111213141516√123456789101112131415164.公元前六世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin18°，若4m2＋n＝16，则

的值为A.1

B.2

C.4

D.8√因为m＝2sin18°，所以由4m2＋n＝16，可得n＝16－4(2sin18°)2＝16cos218°，1234567891011121314151612345678910111213141516√√对于A，cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)对于C,cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)＝cos[(α－35°)－(25°＋α)]＝cos(－60°)＝cos60°＝

，所以C错误；12345678910111213141516123456789101112131415166.(2022·石家庄模拟)黄金分割比例广泛存在于许多艺术作品中.在三角形中，底与腰之比为黄金分割比的三角形被称作黄金三角形，被认为是最美的三角形，它是两底角为72°的等腰三角形.达芬奇的名作《蒙娜丽莎》中，在整个画面里形成了一个黄金三角形.如图，在黄金△ABC中，

，根据这些信息，可得sin54°等于√12345678910111213141516又因为cos236°＋sin236°＝1，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415169.化简并求值.12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516又cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)综合提升练12345678910111213141516√12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516√√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516则sin(α＋β)＝

，cos(2α－β)＝

.1234567891011121314151612345678910111213141516拓展冲刺练√123456789101112131415161234567891011121314151616.(2023·盐城模拟)已知由sin2x＝2sinxcosx，cos2x＝2cos2x－1，cos3x＝cos(2x＋x)可推得三倍角余弦公式cos3x＝4cos3x－3cosx，已知cos54°＝sin36°，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin18°＝________；如图，已知五角星ABCDE是由边长为2的正五边形GHIJK和五个全等的等腰三角形组成的，则

＝________.12345678910111213141516因为cos54°＝cos(90°－36°)＝sin36°，所以4cos318°－3cos18°＝2sin18°cos18°，即4cos218°－3＝2sin18°，即4(1－sin218°)－3＝2sin18°，即4sin218°＋2sin18°－1＝0，在五角星ABCDE中，EG＝EI，HG＝HI，HE＝HE，故△EHG≌△EHI，12345678910111213141516过点H作HM⊥BE，垂足为点M，如图，从而有HM＝GHcos∠GHM＝2cos18°，1234567891011121314151612345678910111213141516第四章三角函数与解三角形§4.5三角函数的图象

与性质1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.考试要求

内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练落实主干知识第一部分1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，

，

，

，(2π，0).(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，

，

，

，(2π，1).(π，0)(π，－1)2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象

定义域RR____________值域_________________[－1,1][－1,1]R周期性________奇偶性______________奇函数单调递增区间___________________________________________单调递减区间______________________________

2π2ππ奇函数偶函数[2kπ－π，2kπ][2kπ，2kπ＋π]对称中心_________________对称轴方程________________

(kπ，0)x＝kπ1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是

个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是

个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是

个周期.2.奇偶性若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝

＋kπ(k∈Z).(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝cosx在第一、二象限内单调递减.(

)(2)若非零常数T是函数f(x)的周期，则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周期.(

)(3)函数y＝sinx图象的对称轴方程为x＝2kπ＋

(k∈Z).(

)(4)函数y＝tanx在整个定义域上是增函数.(

)×√××1.若函数y＝2sin2x－1的最小正周期为T，最大值为A，则A.T＝π，A＝1 B.T＝2π，A＝1C.T＝π，A＝2 D.T＝2π，A＝2√5探究核心题型第二部分题型一三角函数的定义域和值域√－4∴当cosx＝1时，f(x)有最小值－4.(3)函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为_______________.设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，当t＝1时，ymax＝1；思维升华三角函数值域的不同求法(1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域.(2)把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域.(3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.√由题意，f(－x)＝cos(－x)－cos(－2x)＝cosx－cos2x＝f(x)，所以该函数为偶函数，题型二三角函数的周期性与对称性√_____，f(x)图象的对称中心为__________________.又∵φ∈(0，π)，(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx的形式.(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为

，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为

求解.√√√√题型三三角函数的单调性命题点1求三角函数的单调区间延伸探究若函数不变，求在[0，π]上的单调递减区间.B＝[0，π]，命题点2根据单调性求参数√而函数f(x)又在[－a，a]上单调递增，当k≥2，k∈Z时，ω∈∅，(1)已知三角函数解析式求单调区间求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.(2)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.√依题意可知f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x.所以A选项不正确；A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√故k只能取0，即0<ω≤1，课时精练第三部分12345678910111213141516基础保分练√2.(2023·赣州模拟)已知f(x)＝

，则f(x)是A.奇函数且最小正周期为π B.偶函数且最小正周期为πC.奇函数且最小正周期为2π D.偶函数且最小正周期为2π√1234567891011121314151612345678910111213141516A.1

B.2

C.3

D.4√12345678910111213141516√123456789101112131415165.(多选)(2022·海口模拟)已知函数f(x)＝sinx－cosx，则下列结论中正确的是√√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516对于D，f(x)的最小正周期T＝2π，D错误.√√√12345678910111213141516f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＋cos2(x＋π)＝|sinx|＋cos2x＝f(x)，所以π是函数f(x)的一个周期，故D正确；对于A，因为f(x)的一个周期为π，令x∈[0，π]，此时sinx≥0，所以f(x)＝sinx＋1－2sin2x，12345678910111213141516因为t＝sinx，t∈[0,1]，123456789101112131415167.(2022·汕头模拟)请写出一个最小正周期为π，且在(0,1)上单调递增的函数f(x)＝_________________.tanx(答案不唯一)根据函数最小正周期为π，可构造正弦型、余弦型或者正切型函数，再结合在(0,1)上单调递增，构造即可，如f(x)＝tanx满足题意.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415169.已知函数f(x)＝

cosxsinx＋sin2x.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；123456789101112131415161234567891011121314151610.(2022·北京模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使f(x)的解析式唯一确定.(1)求f(x)的解析式；条件①：f(x)的最小正周期为π；条件②：f(x)为奇函数；条件③：f(x)图象的一条对称轴为直线x＝

.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.12345678910111213141516选择条件①②：由条件②f(0)＝0，即sinφ＝0，解得φ＝kπ(k∈Z).经检验φ＝0符合题意.选择条件①③：12345678910111213141516所以f(x)＝sin2x.1234567891011121314151612345678910111213141516条件①：f(x)的最小正周期为π；条件②：f(x)为奇函数；条件③：f(x)图象的一条对称轴为直线x＝

.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.12345678910111213141516综合提升练1234567891011121314151611.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，在区间(0,1)上不可能A.单调递增

B.单调递减C.有最大值

D.有最小值√当x∈(0,1)时，因为ω>0，所以0<ωx<ω，故f(x)在(0,1)上不可能单调递减.12345678910111213141516√√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516

f(x)＝________________________.1234567891011121314151614.(2023·唐山模拟)已知sinx＋cosy＝

，则sinx－sin2y的最大值为_____.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516拓展冲刺练1234567891011121314151615.已知函数f(x)＝

＋3sinπx，则函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为A.2 B.4C.2π D.4π√1234567891011121314151612345678910111213141516共有4个交点，这4个点关于点(1,0)对称，所以其横坐标的和为4，所以函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为4.1234567891011121314151616.(2023·沈阳模拟)已知函数f(x)＝sinx＋

|cosx|，写出函数f(x)的一个单调递增区间__________；当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，则a的取值范围是_________.1234567891011121314151612345678910111213141516因为当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，1234567