2024届安庆市九年级数学第一学期期末经典试题含解析

2024届安庆市九年级数学第一学期期末经典试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为()A． B． C． D．2．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是()A．4 B．5 C．6 D．83．如图，菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切，AO=10，则⊙O的半径长等于（）A．5 B．6 C．2 D．34．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．5．如图，反比例函数在第二象限的图象上有两点A、B，它们的横坐标分别为-1，-3.直线AB与x轴交于点C，则△AOC的面积为（）A．8 B．10 C．12 D．246．如图，，，以下结论成立的是（）A． B．C． D．以上结论都不对7．如图，AB是⊙O的直径，∠AOC=130°，则∠D等于（）A．25° B．35° C．50° D．65°8．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝2x+1 B．y＝（x﹣1）2﹣x2C．y＝1﹣x2 D．y＝19．下列方程中，没有实数根的方程是（）A．(x-1)2=2C．3x210．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连结BE，若S△DEB＝1，则S△BCE的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(每小题3分,共24分)11．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形的边长是x步，则列出的方程是_______________．12．如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB,垂足为C，OC=3cm，则⊙O的半径为______cm.13．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为__________．14．菱形边长为4，，点为边的中点，点为上一动点，连接、，并将沿翻折得，连接，取的中点为，连接，则的最小值为_____．15．如图，的半径为，的面积为，点为弦上一动点，当长为整数时，点有__________个．16．若点P（m，-2）与点Q（3，n）关于原点对称，则=______.17．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，且AE：ED＝1：2，若EF＝4，则CE的长为___18．若点P(3，1)与点Q关于原点对称，则点Q的坐标是___________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，一块直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的BC边上，并且使条直角边经过点D，另一条直角边与AB交于点Q．请写出一对相似三角形，并加以证明．(图中不添加字母和线段)20．（6分）下面是一位同学做的一道作图题：已知线段、、（如图所示），求作线段，使.他的作法如下：1.以下为端点画射线，.2.在上依次截取，.3.在上截取.4.联结，过点作，交于点.所以：线段______就是所求的线段.（1）试将结论补完整：线段______就是所求的线段.（2）这位同学作图的依据是______；（3）如果，，，试用向量表示向量.21．（6分）如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD＝1m，窗高CD＝1.5m，并测得OE＝1m，OF＝5m，求围墙AB的高度．22．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AC＝8，CE＝4，求弧BD的长．（结果保留π）23．（8分）如图，已知二次函数的图象与轴，轴分别交于A三点，A在B的左侧，请求出以下几个问题：（1）求点A的坐标；（2）求函数图象的对称轴；（3）直接写出函数值时，自变量x的取值范围．24．（8分）如图，一次函数（为常数，且）的图像与反比例函数的图像交于，两点.（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线向下平移个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，求的值.25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，过点作轴于点，，，点的坐标为．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）求的面积；（3）是轴上一点，且是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点坐标．26．（10分）综合与探究:操作发现:如图1，在中，，以点为中心，把顺时针旋转，得到;再以点为中心，把逆时针旋转，得到.连接.则与的位置关系为平行；探究证明:如图2，当是锐角三角形，时，将按照（1）中的方式，以点为中心，把顺时针旋转，得到；再以点为中心，把逆时针旋转，得到.连接，①探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；②探究与的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】由切线性质得到，再由等腰三角形性质得到，然后用三角形外角性质得出【题目详解】切线性质得到故选D【题目点拨】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键2、C【分析】根据垂径定理得出BC=AB，再根据勾股定理求出OC的长：【题目详解】∵OC⊥AB，AB=16，∴BC=AB=1．在Rt△BOC中，OB=10，BC=1，∴．故选C．3、C【题目详解】试题解析：如图作DH⊥AB于H，连接BD，延长AO交BD于E．∵菱形ABCD的边AB=20，面积为320，∴AB•DH=32O，∴DH=16，在Rt△ADH中，AH==12，∴HB=AB﹣AH=8，在Rt△BDH中，BD=，设⊙O与AB相切于F，连接AF．∵AD=AB，OA平分∠DAB，∴AE⊥BD，∵∠OAF+∠ABE=90°，∠ABE+∠BDH=90°，∴∠OAF=∠BDH，∵∠AFO=∠DHB=90°，∴△AOF∽△DBH，∴，∴，∴OF=2．故选C．考点：1.切线的性质；2.菱形的性质．4、C【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【题目详解】解：A．此图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

B．此图案既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

C．此图案既是轴对称图形，又是中心对称图形；

D．此图案仅是轴对称图形；

故选：C．【题目点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5、C【解题分析】试题分析：x=-1时，y=6，x=-3时，y=2，所以点A（-1，6），点B（-3，2），应用待定系数法求得直线AB的解析式为y=2x+8，直线AB与x轴的交点C（-4，0），所以OC=4，点A到x轴的距离为6，所以△AOC的面积为=1．故选C．考点：待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形．6、C【分析】根据已知条件结合相似三角形的判定定理逐项分析即可．【题目详解】解：∵∠AOD=90°，设OA=OB=BC=CD=x∴AB=x，AC=x，AD=x，OC=2x，OD=3x，BD=2x,∴，∴∴．故答案为C．【题目点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．7、A【解题分析】试题分析：∵AB是⊙O的直径，∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-130°=50°，∴∠D=∠BOC=×50°=25°．故选A.考点:圆周角定理8、C【解题分析】根据二次函数的定义进行判断．【题目详解】解：A、该函数是由反比例函数平移得到的，不是二次函数，故本选项错误；

B、由已知函数解析式得到：y＝－2x＋1，属于一次函数，故本选项错误；

C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；

D、该函数不是二次函数，故本选项错误；

故选：C．【题目点拨】本题考查二次函数的定义．熟知一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．9、D【解题分析】先把方程化为一般式，再分别计算各方程的判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【题目详解】解：A、方程化为一般形式为：x2-2x-1=0，△＝（−2）2−4×1×（−1）＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B、方程化为一般形式为：2x2-x-3=0，△＝（−1）2−4×2×（−3）＝25＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C、△＝（−2）2−4×3×（−1）＝16＞0，方程有两个不相等的实数根，所以C选项错误；D、△＝22−4×1×4＝−12＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．故选：D．【题目点拨】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2−4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．10、B【解题分析】根据三角形中位线定理和三角形的面积即可得到结论．【题目详解】∵D是AB的中点，DE∥BC，∴CE＝AE．∴DE＝BC，∵S△DEB＝1，∴S△BCE＝2，故选：B．【题目点拨】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握并运用三角形中位线定理是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】根据圆的面积-正方形的面积=可耕地的面积即可解答.【题目详解】解：∵正方形的边长是x步，圆的半径为（）步∴列方程得：.故答案为.【题目点拨】本题考查圆的面积计算公式，解题关键是找出等量关系.12、5【分析】先根据垂径定理得出AC的长，再由勾股定理即可得出结论．【题目详解】连接OA，∵OC⊥AB，AB=8，∴AC=4，∵OC=3，∴OA=故答案为：5.【题目点拨】此题考查勾股定理、垂径定理及其推论，解题关键在于连接OA作为辅助线.13、【分析】根据点A、B、C的横坐标利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．【题目详解】∵，，是抛物线y＝−（x＋1）2＋1上的三点，∴y1＝0，y2＝−3，y3＝−8，∵0＞−3＞−8，∴．故答案为：．【题目点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用二次函数图象上点的坐标特征求出纵坐标是解题的关键．14、【分析】取BC的中点为H，在HC上取一点I使，相似比为，由相似三角形的性质可得，即当点D、G、I三点共线时，最小，由点D作BC的垂线交BC延长线于点P，由锐角三角函数和勾股定理求得DI的长度，即可根据求解．【题目详解】取BC的中点为H，在HC上取一点I使，相似比为∵G为的中点∴∵且相似比为，得当点D、G、I三点共线时，最小由点D作BC的垂线交BC延长线于点P即由勾股定理得故答案为：．【题目点拨】本题考查了线段长度的最值问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、锐角三角函数、勾股定理是解题的关键．15、4【分析】从的半径为，的面积为，可得∠AOB=90°，故OP的最小值为OP⊥AB时，为3，最大值为P与A或B点重合时，为6，故,当长为整数时，OP可以为5或6，根据圆的对称性，这样的P点共有4个.【题目详解】∵的半径为，的面积为∴∠AOB=90°又OA=OB=6∴AB=当OP⊥AB时，OP有最小值，此时OP=AB=当P与A或B点重合时，OP有最大值，为6，故当OP长为整数时，OP可以为5或6，根据圆的对称性，这样的P点共有4个.故答案为：4【题目点拨】本题考查的是圆的对称性及最大值、最小值问题，根据“垂线段最短”确定OP的取值范围是关键.16、-1【分析】根据坐标的对称性求出m,n的值，故可求解.【题目详解】依题意得m=-3,n=2∴=故填：-1.【题目点拨】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知直角坐标系的坐标特点.17、1【分析】根据AE：ED＝1：2，得到BC=3AE，证明△DEF∽△BCF，得到，求出FC，即可求出CE．【题目详解】解：∵AE：ED＝1：2，∴DE＝2AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝AE+DE＝3AE，AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴，∴∴FC＝6，∴CE＝EF+CF＝1，故答案为：1．【知识点】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，理解相似三角形的判定与性质定理是解题关键．18、(–3，–1)【分析】根据关于原点对称的点的规律：纵横坐标均互为相反数解答即可．【题目详解】根据关于原点对称的点的坐标的特点，可得：点P(3，1)关于原点过对称的点Q的坐标是(–3，–1)．故答案为：(–3，–1)．【题目点拨】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，解题时根据两个点关于原点对称时，它们的同名坐标互为相反数可直接得到答案，本题属于基础题，难度不大，注意平面直角坐标系中任意一点P(x，y)，关于原点的对称点是(–x，–y)，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．三、解答题(共66分)19、△BPQ∽△CDP，证明见解析.【分析】根据正方形性质得到角的关系，从而根据判定两三角形相似的方法证明△BPQ∽△CDP.【题目详解】△BPQ∽△CDP，证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠QPD＝90°，∴∠QPB+∠BQP＝90°，∠QPB+∠DPC＝90°，∴∠DPC＝∠PQB，∴△BPQ∽△CDP．【题目点拨】此题重点考察学生对两三角形相似的判定的理解，熟练掌握两三角形相似的判定方法是解题的关键.20、（1）CD；（2）平行线分段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例）等；（3）【分析】（1）根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；

（2）根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；

（3）先证△OAC∽△OBD得，即，从而知，又，与反向可得出结果.【题目详解】解：（1）根据作图知，线段CD就是所求的线段x，

故答案为：CD；（2）平行线分段成比例定理（两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例）；或三角形一边的平行线性质定理（平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例）.（3），∴△OAC∽△OBD，.，，.得.，，与反向，.【题目点拨】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．21、1m【分析】首先根据DO=OE=1m，可得∠DEB=15°，然后证明AB=BE，再证明△ABF∽△COF，可得，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．【题目详解】解：延长OD，∵DO⊥BF，∴∠DOE=90°，∵OD=1m，OE=1m，∴∠DEB=15°，∵AB⊥BF，∴∠BAE=15°，∴AB=BE，设AB=EB=xm，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB∥CO，∴△ABF∽△COF，∴，，解得：x=1．经检验：x=1是原方程的解．答：围墙AB的高度是1m．【题目点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，解决问题的关键是求出AB=BE，根据相似三角形的判定方法证明△ABF∽△COF．22、（1）见解析；（2）【分析】（1）连接OD，由OA＝OD知∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE＝∠DAO，据此可得∠DAE＝∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；（2）作OG⊥AE，知AG＝CG＝AC＝4，证四边形ODEG是矩形，得出OA＝OB＝OD＝CG+CE＝4，再证△ADE∽△ABD得AD2＝192，据此得出BD的长及∠BAD的度数，利用弧长公式可得答案．【题目详解】（1）证明：连接OD，如图1所示：∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO，∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE，∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：作OG⊥AE于点G，连接BD，如图2所示：则AG＝CG＝AC＝4，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，∴四边形ODEG是矩形，∴OA＝OB＝OD＝CG+CE＝4+4＝8，∠DOG＝90°，∴AB＝2OA＝16，∵AC＝8，CE＝4，∴AE＝AC+CE＝12，∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，∴△ADE∽△ABD，∴，即，∴，在Rt△ABD中，，在Rt△ABD中，∵AB＝2BD，∴∠BAD＝30°，∴∠BOD＝60°，则弧BD的长度为＝．【题目点拨】本题考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质、矩形的判定与性质、垂径定理、弧长公式等知识点．23、（1）A()B()；（2）x；（3）．【分析】（1）令则，解方程即可；（2）根据二次函数的对称轴公式代入计算即可；（3）结合函数图像，取函数图像位于x轴下方部分，写出x取值范围即可．【题目详解】解：（1）令则，解得∴A()B()；（2）∴对称轴为；（3）∵，∴图像位于x轴下方，∴x取值范围为．【题目点拨】本题考查了二次函数与一元二次方程关系，对称轴求法，二次函数与不等式的关系，熟记相关知识是解题关键．24、（1）；（2）1或9.【解题分析】试题分析：（1）把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，求得k、b的值，即可得一次函数的解析式；（2）直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，直线AB对应的函数表达式为y＝x＋5－m，根据平移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个公共点，把两个解析式联立得方程组，解方程组得一个一元二次方程，令△=0，即可求得m的值.试题解析：(1)根据题意，把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，得，解得，所以一次函数的表达式为y＝x＋5.(2)将直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度