等差、等比数列以及数列求和专题

..§6.2等差数列一．课程目标1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.二．知识梳理1.定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数).通项公式假设等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.3.前项和公式等差数列的前n项和公式：其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项).等差数列的常用性质数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和.(1)通项公式的推广：(2)假设m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，那么有。特别的，当时，(3)等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.(4)假设{an}是等差数列，公差为d，那么ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.(5)假设是等差数列，那么仍是等差数列.与等差数列各项和相关的性质假设是等差数列，那么也是等差数列，其首项与的首项一样，公差为的公差的。数列…也是等差数列.关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。.假设项数为，那么。.假设项数为，那么，，。〔4〕假设两个等差数列的前项和分别为，那么5.等差数列的前n项和公式与函数的关系：〔1〕，数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).〔2〕在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，那么Sn存在最大值；假设a1＜0，d＞0，那么Sn存在最小值.三．考点梳理1.等差数列的概念及运算例1.(2016·全国Ⅰ卷)等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，那么a100＝()A.100 B.99 C.98 D.97例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，那么S6＝________.练习1.(2015·全国Ⅰ卷){an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和.假设S8＝4S4，那么a10等于()A.eq\f(17,2) B.eq\f(19,2) C.10 D.122.等差数列的性质例1.(2015·全国Ⅱ卷)设Sn是等差数列{an}的前n项和，假设a1＋a3＋a5＝3，那么S5＝()A.5 B.7 C.9 D.11例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，假设S3＝9，S6＝36，那么a7＋a8＋a9等于()A.63 B.45 C.36 D.27例3.假设一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，那么这个数列的项数为()A.13 B.12 C.11 D.10例4.(2015·卷)在等差数列{an}中，假设a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，那么a2＋a8＝________.例5.(2016·调研)数列{an}是等差数列，a1＋a7＝－8，a2＝2，那么数列{an}的公差d等于()A.－1B.－2 C.－3 D.－4例6.设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，假设对任意自然数n都有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，那么eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)的值为________.3.等差数列与函数例1.等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是()A.5 B.6 C.7 D.8例2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a1>0且eq\f(a6,a5)＝eq\f(9,11)，那么当Sn取最大值时，n的值为()A.9 B.10 C.11 D.12例3.等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，那么有()A.a1＋a101＞0B.a2＋a100＜0C.a3＋a99＝0D.a51＝51例4.正项等差数列{an}的前n项和为Sn，假设S12＝24，那么a6·a7的最大值为()A.36 B.6 C.4 D.2例5.设{}是公差为d〔〕的无穷等差数列的前n项和，那么以下命题错误的选项是〔〕假设d<0，那么数列{}有最大项B.假设数列{}有最大项，那么d<0C.假设数列{}为递增数列，那么对任意，均有>0D.假设对任意，均有>0，那么数列{}为递增数列例6.设等差数列{an}满足a2＝7，a4＝3，Sn是数列{an}的前n项和，那么使得Sn>0成立的最大的自然数n是()A．9B．10C．11D．12方法总结：求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.§6.3等比数列课程目标理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式；能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；了解等比数列与指数函数的关系.知识梳理1.等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示.数学语言表达式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q为非零常数)，或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数).(2)如果三个数a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，其中G＝±eq\r(ab).2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)假设等比数列{an}的首项为a1，公比是q，那么其通项公式为an＝a1qn－1；通项公式的推广：an＝amqn－m.(2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝eq\f(a1〔1－qn〕,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).3.等比数列的性质{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和.(1)假设k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，那么有ak·al＝am·an.(2)数列〔是等比数列〕，，等也是等比数列。(3)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(5)等比数列{an}的单调性：当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，数列{an}是递增数列；当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，数列{an}是递减数列；当q＝1时，数列{an}是常数列.当是偶数时，;当为奇数时，考点梳理等比数列的概念及运算例1.在单调递减的等比数列中，假设，，那么＝()A.2 B.4 C.eq\r(2) D.2eq\r(2)例2.公比不为1的等比数列满足，假设，那么的值为()A.8 B.9 C.10 D.11例3.(2015·全国Ⅰ卷)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和.假设Sn＝126，那么n＝________.2.等比数列的性质例1.(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，那么a1a2…an的最大值为________.例2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，假设eq\f(S6,S3)＝3，那么eq\f(S9,S6)＝()A.2 B.eq\f(7,3) C.eq\f(8,3) D.3例3.(2015·全国Ⅱ卷)等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，那么a3＋a5＋a7＝()A.21 B.42 C.63 D.84例4.设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于()A.150 B.－200C.150或－200 D.400或－50例5.在正项等比数列{an}中，a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，那么n等于()A.12 B.13 C.14 D.15例6.数列{an}中，对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，那么aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＋…＋aeq\o\al(2,n)等于()A.(3n－1)2B.eq\f(1,2)(9n－1)C.9n－1 D.eq\f(1,4)(3n－1)例7.在等比数列{an}中，a2＝1，那么其前3项的和S3的取值围是________.例8.数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，那么的值是()－5B．－eq\f(1,5)C．5 D．eq\f(1,5)例9.在各项均为正数的等比数列{an}中，，那么=〔〕A.8B．6C．4 D．例10.假设等比数列的前项均为正数，且，那么_________.§6.3数列求和一．课程目标：熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.二．知识梳理1.求数列的前n项和的方法(1)公式法①等差数列的前n项和公式Sn＝eq\f(n〔a1＋an〕,2)＝na1＋eq\f(n〔n－1〕,2)d.②等比数列的前n项和公式(ⅰ)当q＝1时，Sn＝na1；(ⅱ)当q≠1时，Sn＝eq\f(a1〔1－qn〕,1－q)＝eq\f(a1－anq,1－q).(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾假设干项.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.2.常见的裂项公式(1)(2)＝(3)三．考点梳理1.求数列的通项公式。例1.数列{an}满足，其中n∈N*．设，求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；例2.数列{an}满足a1=，an+1=，n∈N+．求证：数列{﹣2}是等比数列，并且求出数列{an}的通项公式；例3.数列的前n项和为Sn，，〔n∈N*且n≥2〕，数列满足：，且〔n∈N*且n≥2〕．〔Ⅰ〕求数列的通项公式；〔Ⅱ〕求证：数列为等比数列；例4.在数列中，．证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；例5.数列满足，〔〕。设，求数列的通项公式。例6.数列{an}满足，且(n

Î

N*)。(1)求数列{an}的通项公式;(2)令=

+，求数列{bn}的前n项和.例7.数列{an}中，，且．〔1〕求；〔2〕求数列的通项公式；求通项公式的方法：①利用；②根据目标数列构造等差、等比数列，然后通过等差、等比数列的通项公式反推出原数列的通项公式；③如果递推公式是有数列的前后三项组成，可先构造等比或等差数列，然后按照2的步骤进展反推。2.数列求和〔1〕分组转化法①假设数列{}的通项公式为＝，且，为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{}的前n项和.②假设数列{}的通项公式为＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an，n为奇数，,bn，n为偶数，))其中数列，是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求的前n项和.例1.在数列中，，〔〕．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕求证：数列是等差数列；〔3〕设数列{}满足=，求{}的前n项和．例2.是等比数列，前n项和为Sn(n∈N*)，且，.(1)求的通项公式；(2)假设对任意的n∈N*，是和的等差中项，求数列的前项和.例3.数列1eq\f(1,2)，3eq\f(1,4)，5eq\f(1,8)，7eq\f(1,16)，…，(2n－1)＋eq\f(1,2n)，…的前n项和Sn的值等于()A.n2＋1－eq\f(1,2n) B.2n2－n＋1－eq\f(1,2n)C.n2＋1－eq\f(1,2n－1) D.n2－n＋1－eq\f(1,2n)例4.数列{an}的通项公式，其前n项和为Sn，那么S2016等于()A.1008 B.2016 C.504 D.0裂项相消法：①利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.②将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.例1.(2015·全国Ⅰ卷)Sn为数列{an}的前n项和.an>0，aeq\o\al(2,n)＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(1,anan＋1)，求数列{bn}的前n项和.例2.设Sn为等差数列{an}的前n项和，S3＝a7，a8－2a3＝3.(1)求an；(2)设bn＝eq\f(1,Sn)，求数列{bn}的前n项和为Tn.例3.数列{an}的前n项和Sn=﹣an﹣+2〔n∈N*〕，数列{bn}满足bn=2nan．〔1〕求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式；〔2〕设=，数列{}的前n项和为Tn，求满足Tn＜〔n∈N*〕的n的最大值．例4.数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an+1=2Sn+1，n∈N∗．〔1〕求数列{an}的通项公式；〔2〕令c=log3a2n，bn=，记数列{bn}的前n项和为Tn，假设对任意n∈N∗，λ＜Tn恒成立，数λ的取值围．错位相