人教版八年级数学上册 （等边三角形）教育教学课件

13.3.2等边三角形第13章轴对称PleaseEnterYourDetailedTextHere,TheContentShouldBeConciseAndClear,ConciseAndConciseDoNotNeedTooMuchText人教版数学（初中）（八年级上）

前言学习目标1、掌握等边三角形的性质和判定方法，并能运用等边三角形的性质和判定方法解决有关数学问题。2、通过讨论、发现和归纳等边三角形的判定方法，并用演绎推理的方法进行证实。重点难点重点：等边三角形的性质及判定。难点：探索等边三角形的性质及判定。小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为6cm，6cm，6cm，4cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？6cm6cm4cm6cm6cm6cm思考问题1等边三角形的三个内角之间有什么关系？已知：AB=AC=BC，求证：∠A=？,∠B=？,∠C=?.ABC

证明：∵AB=AC.∴∠B=∠C.(等边对等角)

同理∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=∠B=∠C=60°.结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.类比探究ABC问题2

等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都“三线合一”.ABC类比探究图形等腰三角形（腰不一定等于底）定义两边相等的三角形性质两个底角相等关系三线合一三个角都是60º轴对称图形（1条）三线合一等边三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.三边都相等的三角形轴对称图形（3条）等边三角形小结方法1:有两边相等的三角形是等腰三角形.(定义)方法2:有两个角相等的三角形是等腰三角形.(定理)满足什么条件的三角形是等腰三角形?结合边和角来看,会有什么新的结论吗?三条边都相等的三角形是等边三角形(定义)三个角都相等的三角形是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形满足什么条件的三角形是等边三角形小结将两个含30°角的三角尺摆放在一起，你能借助这个图形找到RT△ABC的直角边BC和斜边AB之间的数量关系吗？ABDC

结论:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。探究1.根据条件判断下列三角形是否为等边三角形.（1）（2）（6）（5）（4）（3）课堂测试2．下列所叙述的图形中，全等的两个三角形是（）A．含60°角的两个直角三角形

B．腰对应相等的两个等腰三角形C．边长均为5厘米的两个等边三角形 D．一个钝角对应相等的两个等腰三角形【详解】A.两个含60°角的直角三角形，缺少对应边相等，所以不是全等形；B.腰对应相等的两个等腰三角形，夹角不一定相等，所以不是全等形；C.等边三角形的每个内角都等于60°，所以边长均为5厘米的两个等边三角形，各条边相等，各个角也相等，是全等三角形；D.一个钝角相等的两个等腰三角形．缺少对应边相等，不是全等形．故选：C课堂测试3．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④【详解】解：①有两个角等于60°的三角形为等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形为等边三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形为等边三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形等边三角形.故选：D.课堂测试4、已知直角三角形中，30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是()A．2厘米 B．4厘米 C．6厘米 D．8厘米【详解】∵直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，∴斜边的长是4厘米．故选B．课堂测试5．如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点B在直线b上，若∠1＝34°，则∠2等于（）A．84° B．86° C．94° D．96°【详解】∵∠3＝∠1＝34°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠4＝∠A+∠3＝94°，∵直线a∥b，∴∠2＝∠4＝94°，故选C．课堂测试感谢各位的仔细聆听PleaseEnterYourDetailedTextHere,TheContentShouldBeConciseAndClear,ConciseAndConciseDoNotNeedTooMuchText人教版数学（初中）（八年级上）等边三角形

知识回顾三线合一等角对等边图形判定性质等边对等角知识回顾满足什么条件的三角形是等边三角形？三边都相等的三角形是等边三角形等边三角形也叫

正三角形探究等腰三角形有哪些特殊的性质呢？

从边的角度：从角的角度：从对称的角度：两腰相等等边对等角三线合一将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？

猜想结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？图形轴对称图形边角两边相等两底角相等底边上的三线合一三边相等三角相等都等于60°三边的三线合一证明等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°已知：△ABC是等边三角形．求证：∠A=∠B=∠C=60°．证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC=AC，BC=AB．∴∠A=∠B，∠A=∠C．∴∠A=∠B=∠C．∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=60°．∴∠A=∠B=∠C=60°．结论等边三角形的性质1等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°怎么写过程呢？

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=∠B=∠C=60°．

猜想等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．等边三角形是轴对称图形等边三角形有三条对称轴每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线所在的所有直线都是它的对称轴等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合．证明等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合．∵AB=AC，BD=DC∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC∵BA=BC，EA=EC∴∠ABE=∠CBE，BE⊥AC∵CA=CB，AF=BF∴∠CAF=∠BAF，CF⊥AB结论等边三角形的每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线都分别重合．简而言之，等边三角形

每一边上的三线都合一归纳等边三角形有都有哪些性质呢？三角相等都等于60°三边上都有三线合一边角对称性三边相等练习如图，等边三角形ABC中，BD是AC边上的中线，BD=BE，则∠EDA的度数是________．答案：15°．

练习如图，△ABC是等边三角形，AD⊥AB于A，DC⊥BC于C．求证：△DAC是等腰三角形．提示：证明∠DAC=∠DCA．

练习如图，已知，△ABC是等边三角形，BD是中线，BD=6，延长BC到E．使CE=CD，求DE长．提示：证明BD=DE．思考你知道怎么判定一个三角形是等边三角形吗？可以利用定义，证明它的三边相等除此之外，还有没有其他办法呢？证明它三角相等行不行呢？猜想：三个角都相等的三角形是等边三角形证明三个角都相等的三角形是等边三角形已知：△ABC中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠A=∠B=∠C，∴BC=AC=AB（等角对等边），∴△ABC是等边三角形．思考三边相等或三角相等都能直接判定一个三角形是等边三角形除此之外还有没有其他判定方法呢？我们知道，等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形加个什么条件，能变成等边三角形呢？有一个角是60°？猜想有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形这个60°角的位置有哪几种情况呢？60°角是等腰三角形的顶角60°角是等腰三角形的底角证明先证60°角是等腰三角形的顶角的情况已知：△ABC，AB=AC，∠A=60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵∠A=60°，∴∠B+∠C=120°．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形．证明再证60°角是等腰三角形的底角的情况已知：△ABC，AB=AC，∠B=60°．求证：△ABC是等边三角形．证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠B=60°∴∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC是等边三角形．归纳要判定一个三角形是等边三角形有哪几种方法？方法二方法三有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形三角相等的三角形是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形方法一例题如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形．想一想，还有其他证法吗？练习如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC的延长线于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形．练习如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC的方向延长线于点D，E．求证：△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°．∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED．∴∠A=∠ADE=∠AED．∴△ADE是等边三角形．练习已知：D，E分别是等边△ABC中AB，AC边上的点，且BD=CE．求证：△ABC是等边三角形.提示：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．练习已知△ABC中，∠A=60°,（

）

请你在括号内补充一个条件，使△ABC能成为等边三角形．答案：∠B=60°或∠C=60°

或AB=BC或AC=BC．练习已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm，则△ABC的周长为_______．答案：9cm．练习△ABC是等腰三角形，周长为15cm，且∠A=60°，则BC=_______．答案：5cm．练习如图，D、E、F分别是等边三角形ABC三边上三点，且AD=BE=CF．试问：△DEF是什么三角形？提示：证明△ADF≌△BED≌△CFE．练习１．等边三角形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．练习2．如图，等边三角形△ABC中，AD是BC边上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，图中与BD相等的线段有哪些？探究将两个含有30°的三角尺摆放在一起你能借助这个图形，找到Rt△ABC

的直角BC

与斜边AB

之间的数量关系吗?你能用学过的方法证明吗?证明如图，已知△ABC≌△ADC，∠ACB=∠ACD=90°，∠BAC=∠DAC=30°．求证：证明：∵△ABC≌△ADC，∴AB＝AD，BC=CD，又∵∠BAC=∠DAC=30°∴∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形．∴BD=AB，∴BC＝DC＝还有别的证法吗？证明如图，已知△ABC，∠ACB=90°，∠BAC=30°．求证：证明：在BA上截取BD=BC，∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°∴△ABD是等边三角形，∴BC=CD=BD，∠DCB=60°，∴∠DCA＝30°，∴∠DCA=∠A，∴AD=DC，∴AD=BD=BC．结论在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．这个定理该怎么写过程呢？∵在Rt△ABC中，

∠C=90°，∠A=30°，∴例题下图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE

垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，立柱BC、DE

要多长?答案：3.7m，1.85m．练习在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度，边AB和BC之间有什么关系？答案：60°，30°；AB=2BC．练习如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10，则BC的长为________．答案：5．练习如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=4．则BD=______.

答案：1．练习如图：在Rt△ABC中∠A=30°，AB+BC=12cm，则AB=_____cm．答案：8．练习如图：△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB=8cm，BD=_______，BE=_______．答案：4cm，2cm．练习如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的中垂线，BE=5，则AE=______，AC=_____．答案：5，2.5．练习如图：已知在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，BD平分∠ABC．求证：AD=2DC．提示：证明∠DAC=30°．等边共顶点已知：如图，B，O，C三点在一条直线上，△AOB和△COD都是等边三角形，AC，BD交于点E.求证：（1）AC=BD；（2）∠AEB=60°．提示：证明△AOC≌△BOD．等边共顶点如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，连接BD、AE，且BD交AC于F、AE交CD于H，连接FH．

（1）求证：BD＝AE；提示：证明△BCD≌△ACE．总结：等边共顶点就会有边角边全等．等边共顶点如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，连接BD、AE，且BD交AC于F、AE交CD于H，连接FH．

（2）求证：CF＝CH；（3）判断△CFH是什么特殊三角形并说明理由．提示：证明△BCF≌△ACH．等边内的点到三边的距离之和如图，已知等边三角形ABC，P是三角形内一点，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，求证：PD+PE+PF是等于等边三角形的高．提示：连接PA，PB，PC，利用面积相等．含30°直角三角形的剖分要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果∠C＝90°，∠B＝30°，要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同，请你试着分一分，在图上画出来．构造含30°的直角三角形如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN交BC于M，交AB于N．求证：CM=2BM．提示：连接AM．构造含30°的直角三角形如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，EF垂直平分AC且交BC于F．求证：BF＝2CF．提示：连接AF．构造含30°的直角三角形如图在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，求△ABC的面积．提示：作出AB边上的高．构造含30°的直角三角形腰长为2，底角为15°的等腰三角形的面积为_______．提示：作出底边上的高．答案：1．等边与全等综合如图，△ABC为等边三角形，D，E两点分别在BC，AC边上，AE=AD，AD，BE相交点于P，BQ⊥AD于点Q，若PQ=3，PE=1，求AD的长．提示1：证明△ACD≌△BAE．提示2：∠BPQ=∠BAP+∠ABP．等边与全等综合已知：如图，在等边△ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，且AE=CD，连结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，求证：（1）∠APE=60°；（2）BP=2PQ．提示1：证明△ABD≌△BCE．提示2：∠APE=∠BAP+∠ABP．等边与全等综合如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AB上，且BO=3，点P是BC上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在AC上，则BP的长是_____．提示：先画出示意图，然后证明△BOP≌△ADO．答案：6．直角边是斜边的一半已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=

AB．求证：∠A=30°．提示：延长BC至D，使得CD=BC，连接AD．总结：若直角边是斜边的一半，则直角边所对的角是30°．与代数综合的问题若三边长a，b，c满足（a-b）（b-c）（c-a）=0，则三角形的形状为____________．答案：等腰三角形．与代数综合的问题若三边长a，b，c满足（a-b）

+（b-c）

+（c-a）

=0，则三角形的形状为____________．答案：等边三角形．222总结这节课我们学到了什么？等边三角形的性质三角相等都等于60°三边上都有三线合一三边相等对称性边角总结这节课我们还学到了什么？等边三角形的判定方法一方法二方法三三角相等的三角形是等边三角形有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形三边相等的三角形是等边三角形总结在直角三角形中,如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．这节课我们还学到了什么？复习巩固1.（1）等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角是多少度？

（2）等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角是多少度？

复习巩固2.如图，AD∥BC，BD平分∠ABC.求证AB=AD.复习巩固3.如图，五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，为了画出五角星，还需要知道∠AM