重难点专题02函数值域与最值十四大题型汇总

重难点专题02函数值域与最值十四大题型汇总题型1幂函数值域问题 1题型2指数函数值域问题 8◆类型1值域相关问题 8◆类型3由函数奇偶性求解析式 15题型3对数函数值域问题 17◆类型1值域相关问题 17◆类型2定义域与值域为R问题 22◆类型3新定义相关问题 25题型4分式型函数值域问题 28题型5对钩与双刀函数值域问题 34题型6分段函数值域问题 38题型7绝对值函数值域问题 44题型8高斯函数值域问题 50题型9“倍缩”函数值域问题 56题型10“类周期函数”值域问题 62题型11抽象函数值域问题 69题型12复合函数值域问题 72题型13三角函数值域问题 75题型14函数中的两边逼近思想 85题型1幂函数值域问题幂函数主要考察一元二次函数二次函数在进行讨论的时候要首先考虑二次项系数为0的情况，然后根据题意，去讨论开口或者讨论△【例题1】（2022·全国·高三专题练习）对于函数f(x)=ax2+bx,其中【答案】-4【分析】根据函数的定义域与值域相同，可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，比较二区间的端点得出参数满足的方程，解方程求参数即可.【详解】函数f(x)=ax若a>0，由于ax2+bx≥0∴对于正数b，fx的定义域为:D=但fx的值域A⊆0,+∞，故若a<0，对于正数b，fx的定义域为D由于此时[f(x)]max=f-由题意，有-ba=b2故答案为：﹣4【点睛】本题考查了函数的定义域和值域，意在考查学生的计算能力.【变式1-1】1.（2023·全国·高三对口高考）若函数f(x)=x2-6x-16的定义域为[0,m]【答案】[3,6]【分析】确定函数图象的开口和对称轴，结合二次函数的性质即可求得答案.【详解】由题意可得函数f(x)=x2-6x-16当x=3时，f(x)令f(x)=-16，解得x=0或x=6，因为函数f(x)=x2-6x-16的定义域为[0,m]故m∈[3,6]，故答案为：[3,6]【变式1-1】2．（2017春·贵州贵阳·高三阶段练习）若函数f(x)=ax2+bx+c（a,b,c∈R）的定义域和值域分别为集合A,B【答案】5【分析】由已知，结合二次函数及根式型复合函数的性质可得a<0,b2-4ac>0【详解】由题设知，a<0,b2-4ac>0，则A=[因为{(x,y)|x∈A,y∈B}表示的平面区域是边长为1的正方形，所以b2-4ac-a=4ac-b2所以b+c=-b216故答案为：5【变式1-1】3．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)=-x2+2x.另一个函数y=g(x)的定义域为[a，b]，值域为[1b,1a]，其中a≠b，a，b≠0.在x∈[a【答案】（1）a=1b=1+5【分析】（1）先求出y=fx的解析式并作出图象，根据题意得到ab>0，进而可知y=gx,x∈a,b的图象在第一或第三象限内，然后分a,b>0和【详解】容易求出奇函数y=fx的解析式为：f(x)=-x2+2x,x≥0,x2+2x,x<0.函数gx的定义域为a,b，值域为1根据y=fx的图象可知，函数y=g由图中看出，当a,b>0时，考虑以下三种情况：0<a<b≤1，0<a<1<b,1≤a<b<2.如果0<a<b≤1，0<a<1<b,那么1a>1.但是x∈(0,1]时，这与gx的值域1b,1a1≤a<b<2，由图看出gx是减函数，可见当a,b<0时，考虑以下三种情况：-1≤a<b<0，-2<a<-1<b<0,-2<a<b≤-1，若-1≤a<b<0或-2<a<-1<b<0，则1b<-1.但是x∈[-1,0)时，若-2<a<b≤-1，由图可知gx是减函数，可见1b=g情况下通过值域条件得出a=-1-综上：a=1b=1+5【变式1-1】4.b，c∈R，二次函数f(x)=x2+bx+c在(0,1)上与【答案】0<c【分析】求出f0【详解】设二次函数fx=x2+bx+c则f0=c=xf0而x1=x【变式1-1】5．（多选）（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数fxA．函数fxB．当f1a=1C．若函数fx有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为D．若函数fx在区间-1,1上的值域为-1,1，则实数a的取值范围为【答案】ABD【分析】利用奇函数的定义即可判断选项A；解方程即可判断选项B；根据参数a是否为零，分别讨论即可判断选项C；根据函数的奇偶性和已知条件列出不等式组即可判断选项D.【详解】对于选项A，由f-x=-fx，可知函数f对于选项B，由f1a=1a对于选项C，由fx=0，有xax2+(1-a)=0，当a=0时，函数fx仅有一个零点0，当对于选项D，由f1当0<x<1时，-1≤fx≤1，有ax所以x+1ax2-ax+1≥0则a≤1x-x2a≥-1xx-x2=-故选：ABD.【变式1-1】6．（2023·全国·高三专题练习）定义：区间x1,x2的长度为x2-x1.已知函数y=x2+1的定义域为a,bA．1 B．2 C．0 D．3【答案】C【分析】根据函数y=x2+1的定义域和值域结合新定义，求出m,n【详解】由已知可得1≤x2+1≤2区间a,b的最大长度为m=1--1=2，最小长度为所以gx当x<ln2时，g'x<0所以gx在-∞,所以g(x)min=g故选：C.【变式1-1】7．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知f(x)=x3-3x，函数y=f(x)的定义域为a,bA．1 B．2 C．3 D．无数个【答案】A【分析】求导得到单调区间，计算极值，画出函数图像，根据则fa≥a，解得a≥2或-2≤a≤0，fb≤b，解得b≤-2或0≤b≤2，得到【详解】f(x)=x3-3x当x∈-∞,-1和x∈当x∈-1,1时，ff1=-2为函数的极小值，画出函数图像，如图所示：fx的值域为a,b则fa≥a，解得a≥2或-2≤a≤0；fb≤b，解得a<b，故-2≤a≤0且0≤b≤2，a,b∈Z，a∈-2,-1,0，当b=2，fxmax=fb=2当b=1，fxmin=f1=-2当b=0，fx综上所述：b=2，a=-2故选：A【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用fa≥a，fb≤b得到题型2指数函数值域问题指数函数画图规律：1、底数讨论单增单减讨论.2、“一点一线”伴随.◆类型1值域相关问题【例题2-1】（2023·全国·高三专题练习）若2x2+1A．18,2C．-∞,【答案】B【分析】首先根据指数函数的单调性解不等式求出x的取值范围，再利用指数函数的单调性即可求解.【详解】因为14x-2=12由指数函数的单调性可得x2解得-3≤x≤1，所以2-3≤2x≤故选：B【变式2-1】1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)=22x-2x+1A．M⊆(-∞,1] B．M⊇[-2,1] C．1∈M【答案】ACD【分析】先研究值域为1,2时函数的定义域，再研究使得值域为1,2得函数的最小值的自变量的取值集合，研究函数值取1，2时对应的自变量的取值，由此可判断各个选项.【详解】由于f(x)=2∴(2x-1)2∈0,1即函数f(x)=22x当函数的最小值为1时，仅有x=0满足，所以0∈M，故D正确；当函数的最大值为2时，仅有x=1满足，所以1∈M，故C正确；即当M=0,1时，函数的值域为1,2，故M⊆-∞故选：ACD【点睛】关键点睛：本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是通过函数的值域求出函数的定义域，再利用元素与集合关系的判断，集合的包含关系判断，考查了学生的逻辑推理与转化能力，属于基础题.【变式2-1】2．（2023·全国·模拟预测）使函数f(x)=ex-a的值域为[0,+【答案】1（答案不唯一）【分析】由指数函数值域性质求解【详解】令f(x)=ex-a，由题意得f又y=ex的值域为0,+∞，所以-a<0所以a的取值范围为(0,+∞故答案为：1.(答案不唯一)【变式2-1】3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）对任意实数a>1，函数y=a-1x-1+1的图象必过定点Am,n，A．m=1，n=2 B．gxC．gx的值域为[2，6] D．g【答案】ABC【分析】根据指数函数图像恒过定点求出m，n的值，根据fx的定义域求gx的定义域，再根据指数函数和二次函数的单调性，求出【详解】令x-1=0，得x=1，此时y=a-1所以函数y=a-1x-1+1的图象过定点A1,2，即因为m=1，n=2，所以fx=n所以gx由0≤2x≤2,0≤x≤2,得0≤x≤1所以gx易知gx所以当x=0时，gx取得最小值2，当x=1时，g所以gx故选:ABC．【变式2-1】4．（2020·全国·高三专题练习）设函数f(x)=axax+1，(a>0且a≠1)，m表示A．0,1,2 B．-1，0 C．-1,0,1【答案】D【分析】先化简f(x)-12和【详解】因为f(x)=axaf(-x)+1因为ax+1>1,所以当0<1ax+1<此时12-1ax当1ax+1当12<1ax此时12-1ax故选D.【点睛】本题主要考查指数型函数值域的求解，先化简解析式是求解的前提，然后结合指数函数的性质可求，侧重考查数学运算和逻辑推理的核心素养.◆类型2定义域与值域为[ma,na]型对于单调函数定义域值域都已知可转化成两个函数相交问题【例题2-2】（2023秋·山东济南·高三济南市历城第二中学校考开学考试）给出定义：如果函数y=f(x)的定义域为[a ， b]，值域也是①f(x)=2x，x∈[0,2]②f(x)=x2+x-1③f(x)=43⋅④f(x)=e2-1【答案】①③④【分析】根据函数的单调性与最值分析值域，结合“保域函数”的定义判断即可.【详解】①f(x)=2x在[0,2]上单调递增，代入可得值域为[0,2]②f(x)=x2+x-1=x+122-5③f(x)=43⋅2x-5④f(x)=e2-12ln故答案为：①③④【变式2-2】1.（2020春·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考开学考试）若函数y=ax(a>1)的定义域和值域均为m,n【答案】(1,【详解】试题分析：函数y=ax(a>1)的定义域和值域均为[m,n]，则y=ax(a>1)与y=x的图象必有两个不同的交点，这两个交点的坐标就分别为(m,m),(n,n).设f(x)=a由题意得f(x因为ax0=又因为x0lna=所以lna<1e考点：1、指数函数；2、指数与对数运算；3、不等式.【变式2-2】2．（2022·全国·高三专题练习）若函数f(x)=ax(a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是．【答案】(1，e2【解析】f(x)=ax在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2]，等价转化为f(x)=ax与y=x2的图像在(1，+∞)上恰有两个交点，考虑相切状态可求a的取值范围.【详解】由题意知：f(x)=ax与y=x2的图像在(1，+∞)上恰有两个交点考查临界情形：y=ax0与y=x2切于x0，ax0=x02a故答案为：(1，e2e【点睛】本题主要考查导数的几何意义，把已知条件进行等价转化是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.【变式2-2】3．（2023春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知f(x)=x3-3x，函数y=f(x)的定义域为a,bA．1 B．2 C．3 D．无数个【答案】A【分析】求导得到单调区间，计算极值，画出函数图像，根据则fa≥a，解得a≥2或-2≤a≤0，fb≤b，解得b≤-2或0≤b≤2，得到【详解】f(x)=x3-3x当x∈-∞,-1和x∈当x∈-1,1时，ff1=-2为函数的极小值，画出函数图像，如图所示：fx的值域为a,b则fa≥a，解得a≥2或-2≤a≤0；fb≤b，解得a<b，故-2≤a≤0且0≤b≤2，a,b∈Z，a∈-2,-1,0，当b=2，fxmax=fb=2当b=1，fxmin=f1=-2当b=0，fx综上所述：b=2，a=-2故选：A【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用fa≥a，fb≤b得到【变式2-2】4．（2023·全国·高三专题练习）对于区间a,ba<b，若函数y=fx同时满足：①fx在a,b上是单调函数；②函数y=fx,x∈a,b的值域是a,b，则称区间a,b【答案】[-1,-【分析】由二次函数的性质可得fx=x2+mm≠0的单调递增区间为(0,+∞【详解】因为函数fx=x2+m所以当a,b⊆(0,+则有a2+m=ab所以1-4m>0m>0，解得0<m<当a,b⊆(-则有a2则a+b=-1，a2即方程x2所以1-4(m+1)>0m+1>0，解得-1<m<-当a=0时，此时f(0)=0，则m=0，与题设矛盾；当b=0时，则f(a)=a即m2+m=0，解得m=-1或综上所述：实数m的取值范围为：[-1,-3故答案为：[-1,-【点睛】关键点晴：对于新概念题，理解概念的定义是关键，本题的关键是从题意中得出a,b⊆(0,+∞)◆类型3由函数奇偶性求解析式【例题2-3】（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考三模）已知fx，gx分别为定义域为R的偶函数和奇函数，且fx+gxA．158,+∞ B．0,+∞【答案】D【分析】由奇偶性求得f(x),g(x)的解析式，化简不等式，并用分离参数法变形为a≤4(ex+e【详解】因为fx，gx分别为R上的偶函数和奇函数，所以f-x+g-x联立①②可解得fx=e所以不等式2fx-ag因为x∈0,ln3，则e设ex+e-x=t因为t=ex+e-x故t=ex+e-x又因为y=t-4t在t∈2,103因为a≤4(ex+e所以正实数a的取值范围是0,15故选：D．【变式2-3】（2022春·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知定义域为R的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足：f(x)+g(x)=2x．若存在实数a，使得关于x的不等式(nf(x)-a)(g(x)-a)≤0在区间A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据奇偶性列方程组求得f(x)=2x-1+2-x-1，g(x)=2x-1-【详解】由题设，f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=2-x，又联立可得：f(x)=2x-1+又f(x)≥22x-1⋅2-x-1=1当且仅当x=0时等号成立，即所以，在[1,2]上f(x)∈[5而g(x)=2x-1-2-x-1若{f(x)≥ang(x)≤a，则若{f(x)≤an综上，正整数n的最小值为2.故选：B【点睛】关键点点睛：利用奇偶性列方程组求f(x)、g(x)解析式，并根据单调性求闭区间上的值域，最后由不等式恒成立求参数a的范围，即可得n的范围.题型3对数函数值域问题对数函数画图规律：1.对数函数中要注意f（b）=f（c）时.bc=1这个特征，.2.对数函数源于指数函数，所以和指数函数互为反函数.◆类型1值域相关问题【例题3-1】（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）定义域为R的函数fx满足：当x∈0,1时，fx=2x-xA．-32 B．32 C．【答案】C【分析】根据已知条件求得fa,f2a【详解】1=log22<4=log所以a=log23∈(1,2)3a=3log所以a-1=log23-1=log2又对任意的实数x，均有f(x)+f(x+1)=1，所以f(x+1)+f(x+2)=1，则有f(x)=f(x+2)，所以f(a)=1-f(a-1)=1-flogf(2a)=1-f(2a-3)=1-flogf(3a)=f(3a-4)=flogf(a)+f(2a)+f(3a)=17故选:C【点睛】由于本题的fx已知的解析式对应的定义域是0,1，所以本题解题关键点在于，利用对数的运算、抽象函数运算，将fa,f【变式3-1】1．（2021秋·湖南益阳·高三益阳市箴言中学校考阶段练习）设函数f(x)=logax(a>0且a≠1)的定义域为[m,n]（m<n)【答案】32或【分析】根据题意f(x)=logax，利用函数图像的变换，作出f(x)=loga【详解】如图所示，做出f(x)=若0<a<1，当n=1时，logam=1时，若a>1时，当n=1时，logam=-1，综上所述，a=32或【点睛】本题主要考查了对数函数的图像以及性质，在画对数函数图像时要注意强化讨论意识，对底数是a>1还是0<a<1进行讨．作y=f(x)的图像，应先作出y=f(x)的图像，x轴上方的图像保留，x【变式3-1】2．（2019秋·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知y=log2(x2-2x+17)的值域为[m,+∞)，当正数A．94 B．1 C．5+22【答案】A【分析】根据值域计算m=4，变换7a+4b=1【详解】y=log2(x2-2x+17)=log即23a+b+=1当2a+2b3a+b=23a+b故选：A.【点睛】本题考查了函数值域，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.【变式3-1】3．（2019秋·江苏盐城·高三校考阶段练习）已知fx=lnx+82-x定义域为D，对于任意x1，【答案】2【分析】先求出函数fx=lnx+82-x的定义域-8,2,根据函数的性质设x1<x2，因x1-【详解】解：由题意，由x+82-x>0，即x+8x-2∴函数fx定义域为-8,2，不妨设x∵x∴x2=x∴f=ln∵x1∈-8,0，则x∴ln1-20x根据对数函数性质可知，当x12+8x1∴fx故答案为:2【点睛】本题考查对数运算以及对数函数单调性的判断,属于中档题.【变式3-1】4．（2023·高三课时练习）已知函数fx=logax-3x+3的定义域为α,β，值域为【答案】0,【分析】由函数的单调性得出底数a的范围，根据值域列出关于α，β的方程，再转化为对应二次方程有两个不同的根，由根的分布列出关于【详解】由题意有x-3x+3>0，得x>3或由aα-1>0且a>0，则又∵已知函数fx=logax-3fx为α,β上的严格减函数，函数t=x-3x+3则函数y=logat函数fx的定义域为α,β，值域为log则有logaα-3α+3说明α，β是方程x-3x+3即方程ax设hx则有Δ=2a-12又因为0<a<1，综上可得：0<a<2-34◆类型2定义域与值域为R问题【例题3-2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝log3mx【答案】m=n=5【详解】试题分析：由f(x)=log3mx∵x∈R,∴Δ=64-4(3y由0≤y≤2，得1≤3y≤9，由根与系数的关系得考点：本题主要考查对数函数的图象和性质，复合函数．【点睛】点评：已知函数定义域、值域，求参数问题，往往从求值域方法入手．【变式3-2】1．（2019·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=1g[(m2-3m+2)(1)若函数f(x)的定义域为R求实数m的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R求实数m的取值范围．【答案】(1)mm⩽1或【分析】（1）若函数的定义域为R，即对任意的x，(m（2）若函数f(x)的值域为R，则对数的真数(m2【详解】解：(1)若函数的定义域为R，即对任意的x，(m令g(x)=(m1°，当m2-3m+2=0时，解得m=2经验证，当m=2时，g(x)=2x+5，不满足题意，舍去；当m=1时，g(x)=5，满足题意．2°，当mg(x)为二次函数，只需m解得m<1或m>9综上可知，实数m的取值范围为mm⩽1(2)若函数f(x)的值域为R，则对数的真数(m令h(x)=(m1°当m2-3m+2=0时，解得m=2或m=1不合题意舍去，当m=2时满足题意．2°当m由二次函数知识知m解得2<m⩽9综上可知，实数m的取值范围为2⩽m⩽9【点睛】本题考查了函数的定义域与值域为R的问题，解决问题的方法是将其转化为函数的最值问题进行研究，同时考查了数形结合的思想．【变式3-2】2．（2022·全国·高三专题练习）若函数fx【答案】[0,【分析】将问题转化为kx2+2k-1x+【详解】∵函数fx∴gx①当k=0时，gx②当k≠0时，要使gx则需满足k>0△=2k-12-k=4k综上可得0≤k≤14或∴实数k的取值范围为0,1【点睛】解答本题的关键是深刻理解题意，解题中容易出现的错误是将“函数fx=log【变式3-2】3．（2020·全国·高三专题练习）设函数y=logA．M⊇N B．M∪N=R C．M∩N=∅ D．M=N【答案】C【详解】由题意得a>0,a≠1,由函数y=logaax2由函数y=logaax2+x+a的值域是R得u=ax◆类型3新定义相关问题【例题3-3】（2022·全国·高三专题练习）设函数fx的定义域为I，若存在a,b⊆I，使得fx在区间a,b上的值域为ka,kbk∈N*，则称fxA．0,239 B．-2【答案】A【解析】问题转化为33x-3x+m=0有两个不等的实数根，设t=3x【详解】解：由函数fx=log33x-m∴33x-则问题转化为关于t的方程t3记gt=t令g't<0∴当t>0时，gt故可画出函数y=gt与y=-m由图可知，-m∈-23即33x故选：A.【点睛】本题考查函数的值域，涉及导数的应用，考查转化的思想以及新定义，属于难题.【变式3-3】1．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)的定义域为D，若满足：（1）f(x)在D内是单调函数；（2）存在m2,n2⊆D，使得f(x)在m2,n2【答案】-【分析】根据复合函数单调性关系先判断函数f(x)为单调增函数，再根据值域关系建立方程，然后转化为一元二次方程根的个数问题求解．【详解】依题意，函数f(x)=log（1）设y=loga当a>1时，U(x)=ax+t为增函数，y=当0<a<1时，U(x)=ax+t为减函数，y=综上，函数f(x)=logaax+t（2）∵f(x)在D内是单调增函数，若f(x)为“梦想函数”设存在m2,n2⊆D，使得f(x)则有fm2∴ m, 设y=ax2，则y>0则有Δ=1+4t>0y1y2=-t>0故答案为：-1【点睛】关键点点睛：本题主要考查对数的基本运算，准确把握“梦想函数”的概念，合理运用对数函数的性质和一元二次方程根的判别式是解决本题的关键，考查学生的转化与化归思想，运算求解能力，属于中档题.【变式3-3】2．（2022·全国·高三专题练习）函数f(x)定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a,b]⊆D使f(x)在[a,b]上的值域为[na,nb](n∈N+,n>1)，那么就称y=f(x)为“域n倍函数”，若函数f(x)=【答案】-【分析】根据“域n倍函数”的定义列方程组，转化为方程u2-u-t=0u>0【详解】根据复合函数单调性同增异减可知函数f(x)=loga(ax+t),(a>0,a≠1)为增函数，由“域n倍函数”的定义可知fa=2afb=2b，即方程故答案为-1【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查函数的单调性，考查一元二次方程有两个不同正实根的条件，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.题型4分式型函数值域问题分式型函数值域问题：1.分离常数，通过“左加右减上加下减”可求得分式函数的对称中心.2.特殊的，形如(内反表对称可以证明)3.注意“水平渐近线和竖直渐近线”4.分式型函数值域的方法：分离常数法，换元法，判别式法【例题4】（2023秋·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知函数fxA．fx在0,6上单调递减 B．fx的图象关于点C．曲线y=fx与x轴相切 D．fx【答案】BCD【分析】求导，利用导函数的性质判断ACD，利用对称中心的概念判断B即可.【详解】由题意可得f'x=令f'x<0，解得0<x<3或3<x<6，令f'x所以fx在0,3，3,6上单调递减，在-∞,0因为f3-x+f3+x=12，所以因为f0=0，f'0=0，所以曲线y=fx在x=0处的切线方程为由单调性可得fx

又f0=0，f6=12，所以故选：BCD【变式4-1】1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=1-4xx2+4的定义域是a,b（aA．-2,0 B．-1,1C．0,2 D．-1,2【答案】ACD【分析】由fx【详解】显然fx要使值域为0,1，且a，b∈Z,则a=-2，b=0,1,2；a=-1，b=2；a=0，b=2.故选：ACD.【变式4-1】2．（多选）（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数fxA．fx的定义域为B．fx在-1,0上的值域为C．若fx在-∞D．若a>1，则fx【答案】AC【分析】求得fx的定义域判断选项A；求得fx在-1,0上的值域判断选项B；求得a的取值范围判断选项C；求得a>1时【详解】选项A：由x+2≠0得x≠-2，则fx的定义域为-选项B：fx由x∈-1,0，可得x+2∈1,2，则当a=1时，fx=a，则fx在-1,0当a<1时，2-2ax+2∈1-a,2-2a即fx在-1,0上的值域为1,2-a当a>1时，2-2ax+2∈2-2a,1-a即fx在-1,0上的值域为2-a,1综上，当a=1时，fx在-1,0上的值域为1当a<1时，fx在-1,0上的值域为1,2-a当a>1时，fx在-1,0上的值域为2-a,1选项C：fx若fx在-∞,-2上单调递减，则2-2a>0选项D：fx则a>1时，fx在-∞,-2故选：AC【变式4-1】3．（2022·全国·高三专题练习）定义区间x1,x2长度x2-x1x【答案】3【分析】先分析函数单调性，根据单调性结合值域列方程，转化为对应一元二次方程根的情况，再根据求根公式求m,n长度，根据二次函数性质求其最大值，即得a的值.【详解】因为fx=a2+ax-1a2x=因为值域是m,n，所以m=即m，n为方程所以Δ=(am,n长度为Δ所以当1a=1故答案为：3【点睛】本题考查函数新定义、函数单调性以及利用二次函数性质求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.【变式4-1】4．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）设x∈R，用x表示不超过x的最大整数，则y=x称取整函数，例如：[-3.7]=-4，[2.3]=2.已知f(x)=3A．-12,1 B．-1【答案】D【分析】分离常数得f(x)=1-33x【详解】f(x)=∵3x+2>2，∴0<13x+2<12当-当0≤f(x)<1时故选:D【变式4-1】5．（2020·全国·高三对口高考）已知函数gx=ax2【答案】函数fx的定义域为R，值域是3【分析】先将函数gx变形，利用判别式法可得y2-a+by+ab-16≤0，再与y【详解】gx的定义域为R，令y=gx，有y-ax2-8x+y-b=0，由Δ≥0，得64-4y-a由此得fx根据5x2+8x+5>0，解得x∈R，又5x【变式4-1】6.已知a,b,c为非零实数，f(x)=ax+bcx+d,x∈R，且f(2)=2,f(3)=3.若当x≠-d【答案】5解：试题分析：因为当x≠-dc时，对于任意实数x，均有ffx=x，所以a×ax+bcx+d+bc×ax+bcx+d+d=x，即a+dcx2+d2-a2x-ba+d=0，因为a+dcx2+d2-a2x-ba+d=0对【变式4-1】7.（多选）（2023·广东深圳·红岭中学校考模拟预测）已知函数fxA．函数fxB．曲线y=fx关于0C．函数fx的值域为D．曲线y=fx有且仅有两条斜率为1【答案】AB【分析】由fx=2x2x+1=1-12x+1可得fx是增函数，且对于任意x∈R，满足f-x+fx=1，所以y=fx关于0【详解】根据题意可得fx=2所以fx由题意可得f-x=2即对于任意x∈R，满足f-x+fx=1由指数函数值域可得2x+1∈1,+∞，所以所以函数fx的值域为0易知f'x=2x令2x=t∈0,+易知Δ=5ln2-22所以5ln2<4，即0<5ln即关于t的一元二次方程t2所以2x2-5ln故选：AB题型5对钩与双刀函数值域问题1.对勾函数图像的特征：(1)渐近线；（2）拐点.2.双刀函数，可用或者简单判断，要注意“渐近线”.【例题5】（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=x+kx具有以下性质：如果常数k>0，那么函数f(x)在区间(0,k)上单调递减，在区间[k【答案】(-【分析】当a≤1判断单调性，进而确定最值即可求范围，当a>1再讨论a-1,1的大小关系，结合f(x)=x+kx【详解】1、当a-1≤0时，y=x+a-1x在[1,+∞2、当a-1>0，即a>1，若a-1≥1，即a≥2时，函数在[1,a-1)上递减，在(a-1,+若a-1<1，即1<a<2时，函数在[1,+∞)综上，a∈(-∞故答案为：(-∞【点睛】关键点点睛：应用分类讨论，并根据f(x)=x+k【变式5-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx【答案】0,3-2【分析】将解析式变形为f(x)=1【详解】因为fx因为x>1，所以x-1>0，则有(x-1)+2当且仅当x-1=2x-1，即所以fx因为x>1，所以f(x)>0，则函数的值域为0,3-22故答案为：0,3-22【变式5-1】2.（2023·全国·高三专题练习）对于定义在R上的奇函数y=fx，当x>0时，f【答案】-【分析】根据奇函数的性质求得f0=0，再结合基本不等式求x>0时其y=fx【详解】因为y=fx为R所以f-x=-fx又当x>0时，2x所以fx当且仅当x=1时等号成立，即当x>0时，fx因为y=fx为R所以函数y=fx所以x<0时，fx所以函数y=fx的值域为-故答案为：-∞【变式5-1】3．（2023秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）下列函数f1x=A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】利用对勾函数的性质，求各函数的值域，比较即可，【详解】对勾函数y=x+1x，y'=1-1x2=x2-1所以对勾函数y=x+1x在0,1上单调递减，在x=1时，函数有最小值2，x趋近于0时，函数值趋近于+∞函数fx=x+1当x=1时fx=x+1函数f1x=当sin2x=1时f1x=f3x=ex+1ex，有ef2x=x+1x，当x<0时，ff4x=lnx+1lnx，当所以f1x=故选：B【变式5-1】4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数fx【答案】0,【分析】当x=0时，f(0)=0，当x=1时，f(1)=0，当0<x<1时，将f(x)化为1(1x-x)2+3+161x-x，再换元，令【详解】当x=0时，f(0)=0，当x=1时，f(1)=0，当0<x<1时，f(x)=x2=1x=1令t=1x-x，因为t=1x设g(t)=t2+则g'当0<t<2时，g'(t)<0，当t>2时，所以g(t)在(0,2)上递减，在(2,+∞)上递增，所以当t=2时，g(t)取得最小值，最小值为g(2)=2所以g(t)∈[15,+∞)，所以(1所以当x∈(0,1)时，f(x)∈(0,1综上所述：当x∈[0,1]时，f(x)∈[0,1故答案为：0,【点睛】关键点点睛：将函数f(x)化为1(【变式5-1】5.函数f(x)=4A．[5,+∞) B．[4,+∞)【答案】B【分析】把2x【详解】由已知f(x)=(2x+1)2当且仅当2x+1=4所以f(x)的值域是[4,+∞故选：B．题型6分段函数值域问题分段函数的值域等于各段函数值域的并集，同时要注意两段交接处，函数的变化【例题6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=-x2+2x+3,x≤26+logax,A．22,1C．1,2 D．【答案】B【分析】首先求出fx在-∞,2上的取值范围，依题意需当x>2时，6+loga【详解】当x≤2时，fx=-x在1,2上单调递减，所以fx≤f1若函数f(x)的值域是-∞,4，则需当x>2时，当a>1时，f(x)=6+logax此时fx当0<a<1时，f(x)=6+logax此时fx<f2=6+log所以a-2≤2，显然a>0，解得a≥22，又综上所述，实数a的取值范围是22故选：B【变式6-1】1.（2023·全国·高三专题练习）设函数y=fx由关系式xx+yA．gx为增函数 B．gC．gx值域为[-1,+∞)【答案】D【分析】化简已知函数并作出图像，即可得出结论【详解】由题意，在函数y=fx中，x可知fxy2-x2=1(x<0,y>0)这些曲线合并组成fx图象，是两段以y=-x因为gx=-fx,x≥0,得到曲线C1，再作C1关于坐标原点对称，去掉点0，1得到曲线C2，C由gx图象可知，gx不是奇函数，gx当x>0时，f-x图象与gx图象没有公共点，从而函数故选：D.【变式6-1】2.（2023·北京·高三专题练习）设函数f(x)=lnx,x>0,x2+4x+1,x≤0.给出下列四个结论：①函数f(x)的值域是R；②∀a>1，方程f(x)=a恰有3个实数根；③∃x0∈【答案】②③④【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论.【详解】因为函数f(x)=ln对于①，由图可知，函数f(x)的值域不是R，故①不正确；对于②，由图可知，∀a>1，方程f(x)=a恰有3个实数根，故②正确；对于③，当∃x0∈R+时，使得有f(-对于④，不妨设互不相等的实数x1,x2,由图可知x1+xlnx3=所以x1+x而y=1x-x在x∈所以x1则x1+x故答案为：②③④.【变式6-1】3.（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）已知函数sgn(x)=-1,x<00,x=0①fx在π2，③fx的值域为-1，1；

④fx其中所有真命题的序号是.【答案】②③④【分析】根据函数的概念求出f(x)=sgn【详解】依题意可得f(x)=sgn(x-π)sinx=-sinx,x<π0,x=πsinx,x>π，作出fx故答案为：②③④.【变式6-1】4.（2023·北京·高三专题练习）设函数f(x)=e-x,x<0x,x≥0，f(x)的值域是，设g(x)=f(x)-a(x-1)【答案】[0,+∞)【分析】求x<0时的值域及x≥0的值域，最后求并集即可（或者利用图象法观察）值域；数形结合即可求出参数a的范围【详解】当x<0时，f(x)=e-x∈1,+∞所以函数f(x)的值域为[0,+∞作出函数图象从图象上可以看出函数f(x)的值域为[0,+∞因为g(x)=f(x)-a(x-1)恰有两个零点，则方程f(x)=a(x-1)恰有两个解，从而函数f(x)=e-x,x<0x,x≥0如图当a≥0时，函数f(x)=e-x,x<0x,x≥0函数f(x)=e-x,x<0x,x≥0与y=a(x-1)有一个交点，又当x<0所以f'(0)=-1，故在点(0,1)处的切线为y-1=-1(x-0)，即故当a=-1时，函数f(x)=e-x,x<0所以要使函数f(x)=e-x,x<0x,x≥0与y=a(x-1)有两个交点，则a<-1，即故答案为：[0,+∞)；题型7绝对值函数值域问题绝对值函数，主要是分类讨论.1.一元一次函数加绝对值，是折线2.一元二次函数加绝对值，要注意与轴的交点3.指数函数上下平移后加绝对值，要注意“一点一线”的位置【例题7】（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设0<a<b，若函数y=log2x-1,x∈a,b【答案】3,6【分析】根据函数图像，分析函数的单调性，结合题目中函数的值域为0,1，分析特殊点的横坐标，分类讨论即可得解.【详解】作出函数图像，根据题意y=f(x)=log得x=2，令y=f(x)=log解得x=1或x=4，所以结合0<a<b①若a>2，则不合题意，舍去，②若a=2，则b=4，此时a+b=6；③若1<a<2，则b=4，此时5<a+b<6；④若a=1，则2≤b≤4，3≤a+b≤5综上所述，3≤a+b≤6，故答案为：3,6【变式7-1】1.（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)=2x-1的定义域和值域都是[a,b]，则a+b=【答案】1【分析】先通过函数的值域求出a、b的范围，再根据函数f(x)在[0,+∞【详解】解：因为f(x)=|2x-1|所以b>a≥0，而函数f(x)=|2x-1|即f(x)=2x-1因为函数f(x)=|2x-1|所以f(a)=2令gx=2x-1-x，x∈[0,+∞)，则g'x所以gx在0,log2又g0=2所以a=0b=1，所以有a+b=1故答案为：1【变式7-1】2.（2022秋·上海嘉定·高三校考期中）已知f(x)=(x-a)⋅(x-3a)，若函数y=f(x),x∈[0,1]的值域为[0,f(1)]【答案】0,【分析】分a<0，a=0，a>0讨论，结合二次函数的图像及性质即可得解.【详解】因为fx当a<0时，x∈[0,1]，fx若a=0时，则fx=x当a>0，f0=3a2≥ffx在0,1上的最大值为f1，则解得a≤1综上，a∈0,故答案为：0,1【变式7-1】3.（2022·全国·高三专题练习）已知fx是定义在R上的奇函数，且fx+1=2fx-1.若当x∈0,1时，fx=1-2x-1，则fx【答案】[-2,2]5【分析】第一空先求出函数fx在0,1上的解析式，结合奇函数画出-1,1的图像，再由fx+1进而得到函数在-1,3上的图像，即可求得值域；第二空画出将零点转化为y=f(x),y=45x【详解】由当x∈0,1时，fx=1-2x-1，可得当x∈0,12又fxx∈0,1时，fx+1=2f即函数右移两个单位，函数值变为原来的2倍，由此可得函数在-1,3上的图像如图所示：结合图像可知fx在区间-1,3上的值域为[-2,2]；gx=fx-画出y=45x的图像，由图像可知4个交点的横坐标依次为x1,0,故x1故答案为：[-2,2]；52【变式7-1】4.（2020秋·河南·高三校联考阶段练习）已知函数fx＝-13x3A．(-∞,3) B．C．(0,+∞) D．【答案】C【分析】利用导数求出函数f(x)的极值，将原问题转化为函数y=f(x)和y=k±1的图象有2个交点的问题，结合图形列出不等式组，求得k2【详解】由f(x)=-13x令f'(x)>0，得-2<x<2；令f'(x)<0，得所以函数f(x)在(-2,2)上单调递增，在(-∞,-2)和则函数f(x)的极大值为f(2)=163，极小值为因为函数g(x)=f(x)-k所以方程f(x)-k-1=0有2个根，即方程f(x)=k±1作出函数y=f(x)和y=k±1的图象，如图，又k+1>k-1，由函数图象可得k-1<-163k+1<-163解得k<-193或k>193，所以因为h(k)=lg(9k故函数h(k)的值域为(0,+∞故选：C【变式7-1】5.（2023·北京·高三专题练习）设函数f(x)=lnx,x>0,x2+4x+1,x≤0.给出下列四个结论：①函数f(x)的值域是R；②∀a>1，方程f(x)=a恰有3个实数根；③∃x0∈R+【答案】②③④【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论.【详解】因为函数f(x)=ln对于①，由图可知，函数f(x)的值域不是R，故①不正确；对于②，由图可知，∀a>1，方程f(x)=a恰有3个实数根，故②正确；对于③，当∃x0∈R+时，使得有f(-x0对于④，不妨设互不相等的实数x1,x2,由图可知x1+xlnx3=所以x1+x而y=1x-x在x∈所以x1则x1+x2x故答案为：②③④.题型8高斯函数值域问题取整函数（高斯函数）1.具有“周期性”2.一端是“空心头”，一端是“实心头”3.还可以引入“四舍五入”函数作对比因为它具有“类周期性”，所以考查函数值域多与数列关联..【例题8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)=ex-e-xex+e-x，g(x)=[f(x)]（[x]表示不超过A．f(x)是R上的增函数 B．f(x)是奇函数C．g(x)是非奇非偶函数 D．g(x)的值域是{-1,0,1}【答案】D【分析】根据函数的奇偶性定义可判断选项B，C，再通过求导判断选项A，通过f(x)的值域求得g(x)的值域.【详解】由f(x)=ex-e-xexf(-x)=e-x-由题意f(1)=1-2e2+1∈(0,1)，f(-1)=-1+2e又f(x)=ex-e-xex故选：D.【变式8-1】1.（2023·全国·高三对口高考）给定集合A=a1,a2,①若A=0,1,2,3，则L②定义函数fx=x⋅x其中x表示不超过x的最大整数，如1.5=1，-1.3=-2，当x∈n,n+1【答案】51008【分析】①根据LA的定义计算即可；②根据高斯函数的定义，得到n2≤x[x]<n2【详解】空1：0+1=1,0+2=2,0+3=3,1+2=3,1+3=4,2+3=5,其中不同值的个数为5，故LA空2：n≤x<n+1，则[x]=n，所以n2则fx的值域为=任取两个元素相加，不同的结果有(n-1)+(n-2)=2n-3（个），则2n-3=2013，解得n=1008.故答案为：5；1008.【点睛】关键点睛：本题的关键是对LA的定义以及高斯函数的定义理解通彻，从而得到关于n【变式8-1】2.（2023春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）已知x∈R，符号x表示不超过x的最大整数，若函数fx①函数fx的值域为0,1②函数fx③函数fx是(0,+④方程fx=a有且仅有3个根时，其中正确的序号为．【答案】④【分析】对于①②，通过分析x∈(0,1)，x∈[1,2)，x∈[2,3)等区间依次分析fx的解析式与值域，从而得以判断；对于③，利用特殊值排除即可；对于④，作出f【详解】对于①②，因为符号x表示不超过x的最大整数，若函数fx所以当x∈(0,1)时，x=0，则f(x)=0当x∈[1,2)时，x=1，则f(x)=当x∈[2,3)时，x=2，则f(x)=当x∈[3,4)时，x=3，则f(x)=依此类推，可知函数fx=xxx>0对于③，因为f32=所以函数fx=x对于④，结合选项AB中的分析，作出f(x)=[x]x(x>0)因为方程fx=a有且仅有3个根，等价于fx与y=a结合图像可知，当34<a≤45时，fx与y=a故答案为：④..【点睛】关键点睛：本题解决的关键点在于理解符号x的意义，从而分区间讨论fx【变式8-1】3.（2022秋·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考开学考试）定义函数f(x)=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.3]=1，[-1.5]=-2，[2]=2，当x∈[0,n)时，f(x)的值域为An，记集合An中元素的个数为an，则1【答案】4040【分析】根据函数的定义判断f(x)在x∈[0,n)上值域中元素的个数an，进而可得1【详解】由题设，x[x]={0,0≤x<1所以f(x)在各区间上值域中元素个数为1、1、2、…、n-1，所以an=1+1+2+3+...所以1a故答案为：40402021【点睛】关键点点睛：利用[x]的定义判断f(x)在[n-1,n)上值域元素的个数，再应用分组、等差数列前n项和公式求an【变式8-1】4.（多选）（2022·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，例如：[-3.5]=-4，[2.1]=2．下列命题是真命题的是（

）A．∃x∈R，B．∀x,y∈R，[x]+[y]⩽[x+y]C．函数y=x-[x](x∈R)D．若∃t∈R，使得[t3]=1，[t4]=2，[【答案】BCD【分析】利用取整函数的定义判定选项A错误；构造x=[x]+a，利用取整函数的定义判定选项B正确；利用取整函数的定义求y=x-[x](x∈R【详解】对于A:因为[x]是整数，若x⩾[x]+1，[x]+1是整数，所以[x]⩾[x]+1，矛盾，即选项A错误；对于B：∀x,y∈R，设x=[x]+a，y=[y]+b，a,b∈[0,1)，所以x+y=[x]+a+[y]+b，[x+y]=[x]+[y]+[a+b]，所以[x]+[y]⩽[x+y]，即选项B正确；对于C：由定义，得x-1<[x]⩽x，所以0⩽x-[x]<1，所以函数f(x)=x-[x]的值域为[0,1)，即选项C正确；对于D：若∃t∈R，使得[t3]=1，[t则1⩽t<32，42⩽t<43，53因为64若n⩾6，则不存在t满足1⩽t<32，所以只有n⩽5时，存在t∈[5即选项D正确．故选：BCD．题型9“倍缩”函数值域问题当函数的定义域与值域成倍数时，可以将问题转化为图像有两个交点的问题.【例题9】（2023春·浙江宁波·高三宁波市北仑中学校考期中）已知函数fx=x+1+m，若存在区间a,b(b>a≥-1)，使得函数fx在A．m>-178C．m≤-2 D．-【答案】D【分析】根据函数单调性，建立方程组，等价转化为二次方程求根，建立不等式组，可得答案.【详解】由函数fx=x+1由函数fx在a,b上的值域为2a,2b，则f等价于4x2-4m+1x+m2-1=0存在两个不相等且大于等于解得-17故选：D.【变式9-1】1.（2023·全国·高三专题练习）对于函数y=f(x)，若存在区间[a,b]，当x∈[a,b]时，f(x)的值域为[ka,kb]，则称y=f(x)为kf(x)=ex是k倍值函数，则A．(0,1e) B．(1,e) C．【答案】C【分析】可看出y=f(x)在定义域R内单调递增，可得出a,b是方程ex=kx的两个不同根，从而得出k=exx【详解】解：y=f(x)在定义域R内单调递增，∴f(a)=ka,f(b)=kb，即ea即a,b是方程ex∴k=e设g(x)=e∴当x<0时g'(x)<0,函数g(x)=e0<x<1时，g'(x)<0；x>1时，∴x=1是g(x)的极小值点，∴g(x)的极小值为：g(1)=e，又x趋向0时，g(x)趋向+∞；x趋向+∞时，g(x)趋向+∞，∴k>e时，y=k和y=g(x)的图象有两个交点，方程k=e∴实数k的取值范围是(e,+∞)．故选:C．【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点，一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．【变式9-1】2.(多选)（2023·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）函数f(x)的定义域为D，若存在闭区间[a,b]⊆D，使得函数f(x)同时满足①f(x)在[a,b]上是单调函数；②f(x)在[a,b]上的值域为[ka,kb](k>0)，则称区间[a,b]为f(x)的“k倍值区间”．下列函数存在“3倍值区间”的有（

）A．f(x)=lnxC．f(x)=x2【答案】BC【分析】根据函数新定义，结合各选项中函数的单调性判断a、b的存在性，即可得答案.【详解】A：f(x)=ln若f(x)=lnx存在“3倍值区间”[a,b]，则结合y=lnx及y=3x的图象知，方程故f(x)=lnB：f(x)=1若存在“3倍值区间”[a,b]，则有{f(a)=1a=3bf(b)=1b所以可取a=13，所以f(x)=1C：f(x)=x若f(x)=x2(x≥0)存在“3倍值区间”[a,b]，则{所以f(x)=xD：当x=0时，f(x)=0；当0<x≤1时，f(x)=1x+1x，从而可得若f(x)=x1+x2存在“3倍值区间”[a,b]且[a,b]⊆[0,1]，则有所以f(x)=x故选：BC【变式9-1】3.（2022·全国·高三专题练习）设函数f(x)=xlnx+2，若存在区间[a,b]⊆1e,e，使【答案】1,【分析】根据导数判断f(x)在1e,e【详解】∵f'∴x⩾1e,∵a,b⊆1e,e，∵fx在a,b的值域为ka+1,kb+1即方程fx=kx+1在1即k=fxx+1=x令gx=x∵g'1=0且∴1e⩽x<1时，g'x<0，gx单调递减；又g1∴要使k=fxx+1=xlnx+2故答案为：1,2【点睛】本题关键是根据fa=ka+1fb=kb+1得到方程f【变式9-1】4.（2022秋·江苏宿迁·高三校考开学考试）已知二次函数f(x)=ax2+bx(a≠0)，满足f(x+1)为偶函数，且方程f(x)=x有两个相等的实数根，若存在区间[m,n]使得f(x)的值域为[3m,3n]【答案】-4【分析】由f(x+1)为偶函数可以得到函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的对称轴为x=1，可以结合题意得到f(x)在[m,n]【详解】∵f(x+1)为偶函数

∴f(x)的对称轴是x=1

∴-又f(x)=x有两个相等的实数根，即a∴f(x)=-1∴f(x)∴3n≤∵f(x)在[m,n]上单调递增，∴f∴m,n为方程f(x)=3x的两根-1∴m+n=-故答案为：-4【变式9-1】5.（2022秋·重庆北碚·高三统考阶段练习）已知0≤m<n，若函数f(x)在x∈[m,n]上的值域是[km,kn]，则称f(x)是第k类函数.(1)若f(x)=1-1x是第k类函数，求(2)若f(x)=4x-x2是第2类函数，求【答案】(1)0,(2)m=0,n=2【分析】（1）根据题意，得到1m-1m2（2）由f(x)=-x-22+4，分0≤m<n≤2、0≤m<n≤2【详解】（1）解：因为f(x)=1-1x在x∈[m,n]是增函数，且函数f(x)在x∈[m,n]上的值域是可得1-1m=km所以问题转化为函数y=k与函数y=-x因为y=-x2+x=-(x-1将x=0代入y=-x2+x将x=12代入y=-x所以函数y=k与函数y=-x2+x(x>0)所以k的取值范围是0,1（2）解：因为f(x)=4x-x当0≤m<n≤2时，f(x)在x∈[m,n]单调递增，因为f(x)=4x-x2是第2类函数，所以fm因为0≤m<n≤2，所以m=0,n=2；当2≤m<n时，f(x)在x∈[m,n]单调递减，因为f(x)=4x-x2是第2类函数，所以则4m-m2-4n-n将m=6-n代入4n-n2=2m因为Δ=36-4×12<0，所以n当0≤m<2<n时，可得当x∈[m,n]，f(x)因为f(x)=4x-x2是第2类函数，所以2n=4，解得综上所述，m=0,n=2.题型10“类周期函数”值域问题“似周期函数”或者“类周期函数”，俗称放大镜函数，要注意以下几点辨析：1.是从左往右放大，还是从右往左放大.2.放大（缩小）时，要注意是否函数值有0.3.放大（缩小）时，是否发生了上下平移.【例题10】（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的函数f(x)，当x∈[-1,1]时，f(x)=x2+x，且对任意x，满足f(x+3)=2f(x)，则f(x)【答案】[-1,8]【解析】由f(x+3)=2f(x)得f(x)=4f(x-6)，当x∈[5,7]时，x-6∈[-1,1]，代入可得【详解】∵f(x+3)=2f(x)∴f(x)=2f(x-3)=4f(x-6)当x∈[5,7]时，x-6∈[-1,1]∴f(x)=4f(x-6)=4对称轴为x=11∴当x=112当x=7时，f∴f(x)在区间[5,7]上的值域是[-1,8]故答案为：[-1,8].【变式10-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=1-1-x,0≤x≤2①f92=2②当x∈0,8时，函数fx值域为0,8③当k∈45,1时方程fxA．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由题可画函数图象，结合图象可解.【详解】当x∈0,2时，fx=x,0≤x≤12-x,1<x≤2，2f(x-2)是把f∵f92=2f由题知函数fx在0,2上函数fx值域为0,1，在2,4上函数fx值域为0,2，在4,6上函数fx值域为0,4，在6,8上函数fx值域为0,8，故当x∈0,8时，函数当k=1时有无数个实数根，故③错误；当a=1-2时，函数fx的图象与y=2x2+a的图象交于(1,1)点，结合图象故选：C【变式10-1】2.（多选）（2023春·辽宁朝阳·高三校联考开学考试）已知函数fxA．fB．当x∈2,6时，函数fxC．当k∈17,D．若fx≥2【答案】ABD【分析】对于A：根据fx解析式代入即可求解；对于BCD：画出f【详解】依题意，根据分段函数fx因为f11由题知函数fx在2,4上的值域为0,4，在4,6上函数fx值域为故当x∈2,6时，函数fx值域为当k=25时有5个实数根，当当a=-1时，函数fx的图象与y=2-x结合图象20+a≤0，即故选：ABD.【变式10-1】3.（多选）（2022秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）已知函数fx的定义域为0,+∞，且满fx=2A．当λ=-1时，fB．当λ>0时，fx在10,11C．当λ<-1时，fx在0,4nn∈D．当λ>0时，且λ≠1时，若将函数gx=λx-12与fx的图象在0,2n【答案】BC【分析】理解函数fx的性质：fx=λfx-2，即fx+2【详解】不妨令px=2由函数的性质可得：当x≥0时，ffx+2+2+2=λ∴当x∈2n-2,2nn∈N*时，f对于A，当λ＝﹣1，x≥0fx+2=-fx，fx+4=-f由于log25>log24=2，0<对于B，当λ＞0时，10,11⊂10,12=2×5,2×6

，∴在x∈10,11上，由①知f对于C，由fx=λfx-2得，f因为λ<-1，如图可知，fx在0,1和4n-1,4n+1在4n-3,4n-1n∈当x∈0,4nfxfx所以fx在0,4nn∈N对D：由图像可知，gx=λx-12与fx的图象在0,2nn∈N*有n个交点，且xi=2i-1，y故选：BC．【变式10-1】4.（2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)的定义域为R，满足f(x-2)=2f(x)，且当x∈(0,2]时，f(x)=x(2-x).若对任意x∈[a,+∞)，都有f(x)≤3A．72,+C．-∞,-【答案】A【分析】由题设条件画出函数的图象，由图象分析得出m的取值范围.【详解】因为当x∈(0,2]时，f(x)=x(2-x)；f(x-2)=2f(x)，所以f(x)=12f(x-2)，即若f(x)在(0,2]上的点的横坐标增加2，则对应y值变为原来的1当x∈(0,2]时，f(x)=x(2-x)=-(x-1)2+1故当a<0时，对任意x∈[a,+∞)，当x∈(2,4]时，f(x)=1同理当x∈4,6时，f(x)=-以此类推，当x>4时，必有f(x)≤3函数fx和函数y=因为当x∈(2,4]时，f(x)=-1令-12(x-3)2+因为当x∈a,+∞时，f(x)≤3故选：A.【点睛】思路点睛：此类问题考虑函数的“类周期性”，注意根据已知区间上函数的性质推证函数在其他区间上的性质，必要时应根据性质绘制函数的图象，借助形来寻找临界点.【变式10-1】5.（2022秋·广东深圳·高三北师大南山附属学校校考阶段练习）设函数fx的定义域为R，满足f(x-2)=2f(x)，且当x∈-2,0时，f(x)=-2x(x+2)．若对任意x∈m,+∞，都有【答案】[【分析】由f(x-2)=2f(x)，判断函数值的变化情况，作出函数f(x)的图象，再确定m所在的区间，求出临界点即可求出结果．【详解】当x∈[-2,0)时，函数f(x)在(-2,-1)上递增，在(-1,0)上递减，所以f(x)

由f(x-2)=2f(x)得到12最大值变为原来的12由f(x-2)=2f(x)得到f(x)=2f(x+2)，可得当图象向左平移2个单位时，最大值变为原来的2倍，最大值不断变大，当x∈[0,2)时，f(x)max=f(1)当x∈[2,4)时，f(x)max=f(3)设x∈[0,2)，x-2∈[-2,0)，f(x-2)=-2x(x-2)=2f(x)，即f(x)=-x(x-2)，由-x(x-2)=34，解得x=1根据题意，当m≥32时，故答案为：[3题型11抽象函数值域问题【例题11】（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）已知函数fx的定义域为R，值域为0,+∞，且fx-yfx+yA．12 B．24 C．42 D．126【答案】D【分析】方法一：采用赋值法及基本不等式可得f02=f方法二：特殊函数法由题意不妨设fx【详解】解：方法一令x=0，有f-yfy=f又因为fx所以f0因为fx-y所以fx+y所以2=f所以k=16方法二：抽象出特殊函数fxk=16故选：D【变式11-1】1.（2023·全国·模拟预测）已知函数fx的定义域为R，值域为0,+∞，若fx+1fx-1=4，函数A．4050 B．4553 C．4556 D．4559【答案】B【分析】推导出函数fx为周期函数，确定该函数的周期，求出f1、f2、f3、【详解】由fx+1fx-1=4对任意的x∈R，fx>0，所以，f由①②可得fx+4=fx，所以函数f因为fx-2为偶函数，则f因为f2024=f4×506=f0=1，由由fx-2fx因为f-x-2=fx-2，所以，f因为fx+2fx=4，则由f1f3因为2023=4×505+3，所以，n=1=505×2+4+2+1故选：B.【变式11-1】2.（2022秋·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）设定义在R上的函数fx满足f0=1，且对任意的x、y∈R，都有2fxy+1=fA．1,+∞ B．C．0,+∞ D．【答案】B【分析】通过特殊法，代值法代入题目中的函数式即可求得fx=2x+1，从而求出【详解】令x=y=0，得2f1=f0令y=0，则2f1=fx∵g∴令2x+1=t≥0，则y=所以gx=x-f故选：B.题型12复合函数值域问题【例题12】（2022·全国·高三专题练习）已知f(x)={-x+1,(x≤1)【答案】-2,1【分析】先求出f(x)的值域，并以此为定义域求函数F(t)=f(t)-2t的值域.【详解】由题：f(x)={-x+1x∈(-∞,1],f(x)∈[0,+∞)，x∈(1,+∞),f(x)∈(1,+∞)，所以f(x)的值域[0,+∞)，令t=f(x)∈[0,+∞)，函数F(x)=f(f(x))-2f(x)的值域即F(t)=f(t)-2t，t∈[0,+∞)的值域，F(t)={-3t+1,0≤t≤1当0≤t≤1时，F(t)∈[-2,1]，当t>1时，F(t)=-1，所以其值域为[-2,1].综上所述：函数F(x)=f(f(x))-2f(x)的值域为[-2,1].故答案为：[-2,1]【点睛】此题考查根据分段函数求复合函数值域问题，关键在于弄清函数的复合关系，利用换元法求值域.【变式12-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx是0,+∞上的单调函数，且ffx-x-A．2,10 B．3,10 C．2,13 D．3,13【答案】D【分析】根据函数的单调性，建立方程，可得答案.【详解】因为fx是0,+∞上的单调函数，所以存在唯一的t∈0,+则fx因为y=2t+log2t为0,+∞上的增函数，且所以fx=x+log2x+2．因为fx在故选：D.【变式12-1】2.（2022秋·福建福州·高三福州三中校考阶段练习）定义在R上的函数fx的值域为0,π2，且sinA．f1=π2 B．f【答案】D【分析】根据正余弦的关系可得fx【详解】由sinfx=因为fx∈令x=1，则2f1=又f2=1，取x=2得f则f3取x=3得f取x=7得f所以f127=f所以选项C错误，选项D正确.故选：D【变式12-1】3.（2022秋·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）（2022秋·上海浦东新·高三上海南汇中学校考期中）已知定义在R上的偶函数f(x)，满足[f(x)]3-[f(x)]2-x2f(x)+x2=0对任意的实数x都成立，且值域为[0,1].设函数g(x)=【答案】-【分析】对[f(x)]3-[f(x)]2-x2则对任意的x1∈(-2,12)，存在x2>x1，使得g(x2【详解】由[f(x)]3-[f(x)]2-x2f(x)+∵f(x)是偶函数，且值域为[0,1]，∴fx∵m<1，∴g(x)=x-m画出两者图像如下图，若对任意的x1∈(-2,12)，存在x2>x1且x∈-∞,12时，gx的图像要位于fx综上，实数m的取值范围为-1故答案为：-题型13三角函数值域问题【例题13】（2022秋·福建福州·高三校联考期中）函数fx【答案】[-【分析】化简得f(x)=cosx-π6-cos3(x-π6)，令t=x-π6，则有g(t)=4cos【详解】解：因为fx设t=x-π6，因为x∈R则有g(t)=cost-=4(1-cos设m=cos则有h(m)=4m-4m因为h'令h'(m)=0，得所以当-1≤m≤-33或33≤m≤1时，当-33<m<33又因为h(-1)=0，h(-33)=-83所以h(m)的值域为[-8故答案为：[-8【变式13-1】1.（多选）（2022·江苏常州·统考模拟预测）已知函数f(x)=|sinA．函数f(x)的值域为[-B．函数f(x)是一个偶函数，也是一个周期函数C．直线x=3π4是函数D．方程f(x)=log【答案】ABD【分析】利用函数f(x)的奇偶性、周期性分析判断A，B；利用对称的性质验证判断C；利用零点存在性定理分析判断D作答.【详解】显然，f(-x)=|sin(-x)|cos又f(x+2π)=|sin(x+2π)|cos(x+2π)=|sin当0≤x≤π时，0≤2x≤2π，f(x)=sinxcosx=即当0≤x≤π时，f(x)的取值集合是[-12,12]，因f(x)是偶函数，则当因此，当-π≤x≤π时，f(x)的取值集合是[-12,12]，而2π是f(x)的周期，所以因f(π4)=12，f(5π4)=-1因当x>2时，恒有log4x>12成立，而f(x)的值域为[-1又当0<x<1或π2<x<2时，f(x)的值与log4x的值异号，即方程f(x)=log令g(x)=f(x)-log4x=12sin2x-而g(1)=12sin2>0，g(π因此，方程f(x)=log4x在[1,π2]上有唯一实根，则方程f(x)=log所以方程f(x)=log故选：ABD【点睛】结论点睛：函数y=f(x)的定义域为D，∀x∈D，存在常数a使得f(x)=f(2a-x)⇔f(a+x)=f(a-x)，则函数y=f(x)图象关于直线x=a对称.【变式13-1】2.（2022·四川泸州·统考一模）已知函数f(x)=sinπ2x，任取t∈R，记函数f(x)在[t,t+1]上的最大值为Mt，最小值为mA．1-22C．1-22【答案】C【分析】考虑一个周期内ht的情况，根据t的取值，求得h【详解】因为ht+4=Mt+4-mt+4因为fx的周期T=2ππ2=4，故f故Mt+4=Mt,mt+4=mt，故又fx在-2,-1单调递减，-1,1单调递增，在1,2故当t∈-2,-32时，fx在区间t,t+1上的最大值为ft当t∈-32,-1时，fx在区间t,t+1上的最大值为f当t∈-1,0时，fx在区间t,t+1上的最大值为ft+1=cosπ2当t∈0,12时，fx在区间t,t+1上的最大值为1，最小值为当t∈12,1时，fx在区间t,t+1上的最大值为1，最小值为当t∈1,2时，fx在区间t,t+1上的最大值为ft=sinπ2故ht在-2,2数形结合可知，ht的值域为1-故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数值域的求解，涉及三角函数值域的求解；处理问题的关键是能够根据题意，找到ht的周期，同时要对t进行分类讨论求h【变式13-1】3.（2023·北京海淀·高三专题练习）设函数fx（1）当a=1时，fx（2）若fx=a恰有2个解，则【答案】-2,22【分析】（1）当0≤x≤π2时，利用倍角公式得到fx=-2cos3x，从而得到（2）先分析得当0≤x≤π2时，fx=a无解；再讨论当π2【详解】（1）因为fx=-a所以当0≤x≤π2时，0≤cos所以fx=-cosx1+当π2<x≤π时，-1≤cosx<0所以fx因为y=2m2-m-1所以y=2m2-m-1在-1,0单调递减，故y=2综上：当a=1时，fx的值域为-2,2（2）当a=0时，fx=0,0≤x≤π2当0≤x≤π2时，0≤cosx≤1，由fx故1+cosx1+因为0≤cosx≤1，所以cos3x≥0，故1+2cos当π2<x≤π时，-1≤cosx<0，由f若1+cosx=0，即cosx=-1，此时显然此时a1+cosx=所以a=cos2x1+cosx，令故a=cos则fx=a恰有2个解转化为y=a与因为t∈0,1，所以对勾函数y=2t+1t-4在且当t=22时，y=2×22+2-4=2

所以a∈2故答案为：-2,2；22【点睛】关键点睛：第2小问的关键在于先分析得当0≤x≤π2时，fx=a无解，从而只需分析π2【变式13-1】4.（2023秋·江苏南通