运动路径参考答案

第第#页(共12页).\O2P=O2B=^2,当P［与D重合，则P^=2,则APE=8,.•・0FE=4.~2,ODP上.~2,.•・H□□归BO归.瓦?.O2OD=4~2E=3.瓦故答案为：3.瓦点评：此题主要考查了正方形的性质以及勾股定理等知识,根据已知得出G点移动的路线是解题关键.5.(2014D义乌市)等边三角形ABC的边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P.若AE=CF；求证：AF=BE,并求ZAPB的度数；若AE=2，试求APDAF的值；若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.专题：证明题；压轴题；动点型.分析：(1)①证明△ABE^^CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的长度，再用平行线分线段成比例定理或者三角形相似定理求彳理的比值，即可以AF得到答案.当点F靠近点C的时候点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中

点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，继而求得半径和对应的圆心角的度数，求得答案.点F靠近点B时，点P的路径就是过点B向AC做的垂线段的长度；解答：（1）证明：•「△ABC为等边三角形，.•・AB=AC,ZC=ZCAB=60°,又•.•AE=CF,在厶ABE和厶CAF中，rAB=AC\ZBAE^ZACF，（AE二CF.•.△ABE9ACAF（SAS），AAF=BE，ZABE=ZCAF.又VZAPE=ZBPF=ZABP+ZBAP，••・ZAPE=ZBAP+ZCAF=60°..•・ZAPB=180°-ZAPE=120°.VZC=ZAPE=60°，ZPAE=ZCAF,.・.AAPEsAaCF,...聖里，即聖，所以apAF=12ACAF6AF（2）若AF=BE,有AE=BF或AE=CF两种情况.当AE=CF时，点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候,点P经过弧AB的中点，此时△ABP为等腰三角形，且ZABP=ZBAP=30°,.•・ZAOB=120°,又VAB=6,OA=2.3,ISO■180—3"点P的路径就是过点ISO■180—3"点P的路径就是过点C向AB作的垂线段的长度；因为等边三角形当AE=BF时，ABC的边长为6,所以点P的路径为：二3.去点评：本题考查了等边三角形性质的综合应用以及相似三角形的判定及性质的应用，解答本题的关键是注意转化思想的运用.6.（2014连云港）某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，已知AB=8.

问题思考：如图1,点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF.当点P运动时，这两个正方形的面积之和是定值吗？若是，请求出；若不是，请求出这两个正方形面积之和的最小值.分别连接AD、DF、AF,AF交DP于点K,当点P运动时，在厶APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.问题拓展：如图2,以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿ABCD的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径的长.如图3，在问题思考中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1,点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.考点：四边形综合题.专题：几何综合题；压轴题.分析：(1)设AP=x,则PB=8-x,根据正方形的面积公式得到这两个正方形面积之和=x2+(8-x)2,配方得到2(x-4)2+32，然后根据二次函数的最值问题求解.根据PE〃BF求得PK=，进而求得DK=PD-PK=a-8汨(只一丹)2=，然后根据面积公式即可求得.88本问涉及点的运动轨迹.PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4,圆心角为90。的圆弧，如答图3所示；本问涉及点的运动轨迹.GH中点O的运动路径是与AB平行且距离为3的线段XY上，如答图4-1所示；然后利用轴对称的性质，求出OM+OB的最小值，如答图4-2所示.解答：解:(1)当点P运动时，这两个正方形的面积之和不是定值.设AP=x,贝9PB=8-x,根据题意得这两个正方形面积之和=x2+(8-x)2=2x2-16x+64=2(x-4)2+32,所以当x=4时，这两个正方形面积之和有最小值，最小值为32.(2)存在两个面积始终相等的三角形，它们是△APK与厶DFK.

依题意画出图形，如答图2所示.依题意画出图形，如答图2所示.答图2设AP=a,则PB=BF=8-a.•.•PE〃BF,•FK」P即PK二已.a(8-a).•・PK—8・・・DK=PD_PK=a「上,88•••S"pk=*PKpa冷•••S"pk=*PKpa冷a(8-a)a2(8_aa—，dfk气DKEF十首（8a、a2(8-a)_a)=16APK=»DFK（3）当点P从点A出发，沿ABCD的线路，向点D运动时，不妨设点Q在DA边上，若点P在点A,点Q在点D,此时PQ的中点O即为DA边的中点；若点Q在DA边上，且不在点D，则点P在AB上，且不在点A.此时在RtAAPQ中，O为PQ的中点，所以A0#jPQ=4.■£j所以点O在以A为圆心，半径为4,圆心角为90°的圆弧上.PQ的中点O所经过的路径是三段半径为4,圆心角为90°的圆弧，如答图3所示：所以PQ的中点O所经过的路径的长为：鱼x24=6.点O所经过的路径长为3,OM+OB的最小值为：亍叵.如答图4-1,分别过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点R、S、T,则四边形GRTH为梯形.AMRPSTNBAMRPSTNB答g4-l•・•点O为中点，.•.OS」(GR+HT)=-(AP+PB)=4,即OS为定值.22・••点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上.•••MN=6，点P在线段MN上运动，且点O为GH中点，・••点O的运动路径为线段XY,XY」MN=3,XY〃AB且平行线之间距离为4,点X2与点A、点Y与点B之间的水平距离均为2.5.如答图4-2,作点M关于直线XY的对称点M,连接BM,与XY交于点O.t-答圏4-2答圏4-2由轴对称性质可知，此时OM+OB=BM最小.在RtABMM中，MM=2x4=8,BM=7,由勾股定理得