郑州市金水区2024届数学九上期末学业水平测试试题含解析

郑州市金水区2024届数学九上期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A’CB’，若AC⊥A’B’，则∠BAC等于（）A．50° B．60° C．70° D．80°2．已知（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y23．抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A． B． C． D．4．若抛物线y＝x2﹣3x+c与y轴的交点为（0，2），则下列说法正确的是（）A．抛物线开口向下B．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）C．当x＝1时，y有最大值为0D．抛物线的对称轴是直线x＝5．我们知道，一元二次方程可以用配方法、因式分解法或求根公式进行求解．对于一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a，b，c，d为常数，且a≠0）也可以通过因式分解、换元等方法，使三次方程“降次”为二次方程或一次程，进而求解．这儿的“降次”所体现的数学思想是（）A．转化思想 B．分类讨论思想C．数形结合思想 D．公理化思想6．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字-2、1、4随机摸出一个小球（不放回）其数字记为p，再随机摸出另一个小球其数字记为q，则满足关于x的方程有实数根的概率是()A． B． C． D．7．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（）A．1 B． C．3 D．8．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是（）A．（0，0） B．（﹣2，1） C．（﹣2，﹣1） D．（0，﹣1）9．河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：，则AC的长是()A．10米 B．米 C．15米 D．米10．如图，平行四边形ABCD中，EF∥BC，AE：EB=2：3，EF=4，则AD的长为（）A． B．8 C．10 D．1611．如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图，按时间先后顺序排列正确的是（）A．①②③④ B．④③②① C．④③①② D．②③④①12．若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套，他再任意摸取一只，恰好两只手套凑成同一双的概率为__________.14．若，则=_____．15．若反比例函数为常数）的图象在第二、四象限，则的取值范围是_____．16．如图，在□ABCD中，AC与BD交于点M，点F在AD上，AF＝6cm，BF＝12cm，∠FBM＝∠CBM，点E是BC的中点，若点P以1cm/秒的速度从点A出发，沿AD向点F运动；点Q同时以2cm/秒的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P运动到F点时停止运动，点Q也同时停止运动．当点P运动_____秒时，以点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形．17．为了估计一个不透明的袋子中白球的数量袋中只有白球，现将5个红球放进去这些球除颜色外均相同随机摸出一个球记下颜色后放回每次摸球前先将袋中的球摇匀，通过多次重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中白球的个数大约为______．18．如图所示，中，，是中点，，垂足为点，与交于点，如果，那么______.三、解答题（共78分）19．（8分）某店以每件60元的进价购进某种商品，原来按每件100元的售价出售，一天可售出50件；后经市场调查，发现这种商品每件售价每降低1元，其销量可增加5件．（1）该店销售该商品原来一天可获利润元．（2）设后来该商品每件售价降价元，此店一天可获利润元．①若此店为了尽量多地增加该商品的销售量，且一天仍能获利2625元，则每件商品的售价应降价多少元？②求与之间的函数关系式，当该商品每件售价为多少元时，该店一天所获利润最大？并求最大利润值．20．（8分）解方程：(1)x2+3＝4x(2)3x（x-3）＝-421．（8分）为了测量山坡上的电线杆PQ的高度，某数学活动小组的同学们带上自制的测倾器和皮尺来到山脚下，他们在A处测得信号塔顶端P的仰角是45°，信号塔底端点Q的仰角为30°，沿水平地面向前走100米到B处，测得信号塔顶端P的仰角是60°，求信号塔PQ得高度．22．（10分）如图，BD为⊙O的直径，点A是劣弧BC的中点，AD交BC于点E，连结AB．(1)求证：AB2=AE·AD；(2)若AE=2，ED=4，求图中阴影的面积．23．（10分）已知关于x的不等式组恰有两个整数解,求实数a的取值范围.24．（10分）已知关于的方程（1）判断方程根的情况（2）若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数的值．25．（12分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如16=3+1．（1）若从7，11，19，23中随机抽取1个素数，则抽到的素数是7的概率是_______；（2）若从7，11，19，23中随机抽取1个素数，再从余下的3个数字中随机抽取1个素数，用面树状图或列表的方法求抽到的两个素数之和大于等于30的概率，26．如图所示，在中，点在边上，联结，，交边于点，交延长线于点，且.（1）求证：；（2）求证：.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【解题分析】考点：旋转的性质．分析：已知旋转角度，旋转方向，可求∠A′CA，根据互余关系求∠A′，根据对应角相等求∠BAC．解：依题意旋转角∠A′CA=40°，由于AC⊥A′B′，由互余关系得∠A′=90°-40°=50°，由对应角相等，得∠BAC=∠A′=50°．故选A．2、D【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x=1，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y1，y1，y3的大小关系．【题目详解】∵二次函数y=-x1+4x+c=-（x-1）1+c+4，∴对称轴为x=1，∵a＜0，∴x＜1时，y随x增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，∵（-1，y1），（1，y1），（3，y3）在二次函数y=-x1+4x+c的图象上，且-1＜1＜3，|-1-1|＞|1-3|，∴y1＜y3＜y1．故选D．【题目点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．3、B【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移规律即可解答．【题目详解】解：抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是，故答案为：B．【题目点拨】本题考查了抛物线的平移，解题的关键是熟知“左加右减、上加下减”的平移规律．4、D【解题分析】A、由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，A选项错误；B、由抛物线与y轴的交点坐标可得出c值，进而可得出抛物线的解析式，令y=0求出x值，由此可得出抛物线与x轴的交点为（1，0）、（1，0），B选项错误；C、由抛物线开口向上，可得出y无最大值，C选项错误；D、由抛物线的解析式利用二次函数的性质，即可求出抛物线的对称轴为直线x=-，D选项正确．综上即可得出结论．【题目详解】解：A、∵a=1＞0，∴抛物线开口向上，A选项错误；B、∵抛物线y=x1-3x+c与y轴的交点为（0，1），∴c=1，∴抛物线的解析式为y=x1-3x+1．当y=0时，有x1-3x+1=0，解得：x1=1，x1=1，∴抛物线与x轴的交点为（1，0）、（1，0），B选项错误；C、∵抛物线开口向上，∴y无最大值，C选项错误；D、∵抛物线的解析式为y=x1-3x+1，∴抛物线的对称轴为直线x=-=-=，D选项正确．故选D．【题目点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个选项的正误是解题的关键．5、A【分析】解高次方程的一般思路是逐步降次，所体现的数学思想就是转化思想．【题目详解】由题意可知，解一元三次方程的过程是将三次转化为二次，二次转化为一次，从而解题，在解题技巧上是降次，在解题思想上是转化思想．故选：A．【题目点拨】本题考查高次方程；通过题意，能够从中提取出解高次方程的一般方法，同时结合解题过程分析出所运用的解题思想是解题的关键．6、A【题目详解】解：列表如下：

-214-2---（1，-2）（4，-2）1（-2，1）---（4，1）4（-2，4）（1，4）---所有等可能的情况有6种，其中满足关于x的方程x2+px+q=0有实数根，即满足p2-4q≥0的情况有4种，则P（满足方程的根）=故选：A．7、D【解题分析】∵AB是直径，∴∠ACB＝90°．∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°．∴∠ACD＝∠B．在Rt△ABC中，∵，BC＝4，∴，解得．∴．故选D．8、C【解题分析】如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O，则点O即是该圆弧所在圆的圆心．∵点A的坐标为（﹣3，2），∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）．故选C．9、B【解题分析】Rt△ABC中，已知了坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比，通过解直角三角形即可求出水平宽度AC的长．【题目详解】Rt△ABC中，BC=5米，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=5米；故选：B．【题目点拨】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．10、C【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，可证明△AEF∽△ABC，再根据相似三角形的对应边成比例可解得BC的长，而在▱ABCD中，AD=BC，问题得解．【题目详解】解：∵EF∥BC∴△AEF∽△ABC，∴EF：BC=AE：AB，∵AE：EB=2：3，∴AE：AB=2：5，∵EF=4，∴4：BC=2：5，∴BC=1，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=1．【题目点拨】本题考查(1)、相似三角形的判定与性质；(2)、平行四边形的性质．11、C【分析】太阳光线下的影子是平行投影，就北半球而言，从早到晚物体影子的指向是：西-西北-北-东北-东，于是即可得到答案．【题目详解】根据平行投影的规律以及电线杆从早到晚影子的指向规律，可知：俯视图的顺序为：④③①②，故选C．【题目点拨】本题主要考查平行投影的规律，掌握“就北半球而言，从早到晚物体影子的指向是：西-西北-北-东北-东”，是解题的关键．12、B【解题分析】试题分析：∵函数y=x2的图象的顶点坐标为，将函数y=x2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，∴其顶点也向右平移2个单位，再向上平移3个单位.根据根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加.∴平移后，新图象的顶点坐标是.∴所得抛物线的表达式为.故选B.考点：二次函数图象与平移变换．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】设一双为红色，另一双为绿色，画树状图得出总结果数和恰好两只手套凑成同一双的结果数，利用概率公式即可得答案.【题目详解】画树状图如下：∵共有6种可能情况，恰好两只手套凑成同一双的情况有2种，∴恰好两只手套凑成同一双的概率为，故答案为：【题目点拨】本题考查用列表法或树状图法求概率，熟练掌握概率公式是解题关键.14、【解题分析】根据两内项之积等于两外项之积列式整理即可得解.【题目详解】∵,

∴4(a-b)=3b,

∴4a=7b,

∴,

故答案为:.【题目点拨】本题考查了比例的性质,熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键.15、．【分析】根据反比例函数的性质，当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，即可求解.【题目详解】解：因为反比例函数为常数）的图象在第二、四象限．所以，．故答案为：．【题目点拨】本题考查的知识点是反比例函数的性质，（1）反比例函数y=xk（k≠0）的图象是双曲线；

（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．16、3或1【分析】由四边形ABCD是平行四边形得出：AD∥BC，AD=BC，∠ADB=∠CBD，又由∠FBM=∠CBM，即可证得FB=FD，求出AD的长，得出CE的长，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意列出方程并解方程即可得出结果．【题目详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，∵∠FBM=∠CBM，∴∠FBD=∠FDB，∴FB=FD=12cm，∵AF=6cm，∴AD=18cm，∵点E是BC的中点，∴CE=BC=AD=9cm，要使点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，则PF=EQ即可，设当点P运动t秒时，点P、Q、E、F为顶点的四边形是平行四边形，根据题意得：6-t=9-2t或6-t=2t-9，解得：t=3或t=1．故答案为3或1．【题目点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及一元一次方程的应用等知识．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．17、20个【解题分析】∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率是0.2，口袋中有5个红球，∵假设有x个白球，∴=0.2，解得：x=20，∴口袋中有白球约有20个．故答案为20个．18、4【分析】根据直角三角形中线性质得CM=，根据相似三角形判定得△ABC∽△MBH,△AOC∽△HOM，根据相似三角形性质可得.【题目详解】因为中，，是中点，所以CM=又因为，所以所以△ABC∽△MBH,△AOC∽△HOM,所以所以故答案为：4【题目点拨】考核知识点：相似三角形.理解判定和性质是关键.三、解答题（共78分）19、（1）2000；（2）①售价是75元，②售价为85元，利润最大为3125元．【分析】（1）用每件利润乘以50件即可；

（2）每件售价降价x元，则每件利润为（100-60-x）元，销售量为（50+5x）件，它们的乘积为利润y，

①利用y=2625得到方程（100-60-x）（50+5x）=2625，然后解方程即可；

②由于y=（100-60-x）（50+5x），则可利用二次函数的性质确定最大利润值．【题目详解】解：（1）解：（1）该网店销售该商品原来一天可获利润为（100-60）×50=2000（元），

故答案为2000；（2）①解得或，又因尽量多增加销售量，故.售价是元．答：每件商品的售价应降价25元；②，当时，售价为元，利润最大为3125元．答：答：当该商品每件售价为85元时，该网店一天所获利润最大，最大利润值为3125元．【题目点拨】本题考查了二次函数的应用：在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．20、（1）x＝3，x＝1；（2）x＝，x＝．【分析】(1)根据因式分解法即可求解；(2)根据公式法即可求解．【题目详解】（1）称项得：x2-4x+3＝0∵（x-3）（x-1）=0∴x-3=0，x-1=0∴x＝3，x＝1（2）整理得：3x2-9x+4=0∵a＝3，b＝﹣9，c＝4∴△＝b2﹣4ac＝（﹣9）2﹣4×3×4＝33＞0∴方程有两个不相等的实数根为x＝x＝，x＝．【题目点拨】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知解解法．21、100米【分析】延长PQ交直线AB于点M，连接AQ，设PM的长为x米，利用锐角三角函数即可求出x，再利用锐角三角函数即可求出QM，从而求出结论．【题目详解】解：延长PQ交直线AB于点M，连接AQ，如图所示：则∠PMA＝90°，设PM的长为x米，在RtPAM中，∠PAM＝45°，∴AM＝PM＝x米，∴BM＝x﹣100（米），在RtPBM中，∵tan∠PBM，∴tan60°，解得：x＝50（3），在RtQAM中，∵tan∠QAM，∴QM＝AM•tan∠QAM＝50（3）×tan30°＝50（）（米），∴PQ＝PM﹣QM＝100（米）答：信号塔PQ的高度约为100米．【题目点拨】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握利用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．22、(1)见解析;(2)2π-3.【解题分析】（1）点A是劣弧BC的中点，即可得∠ABC=∠ADB，又由∠BAD=∠EAB，即可证得△ABE∽△ADB，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得AB2=AE•AD.(2)连结OA，由S阴影=S扇形AOB-S△AOB求出即可.【题目详解】(1)证明：∵点A是劣弧BC的中点，∴=∴∠ABC=∠ADB．又∵∠BAD=∠EAB，∴△ABE∽△ADB．∴．∴AB2=AE•AD．(2)解：连结OA∵AE=2，ED=4，由(1)可知∴AB2=AE•AD，∴AB2=AE•AD=AE(AE+ED)=2×6=1．∴AB=(舍负)．∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°．在Rt△ABD中，BD=∴OB=．∴OA=OB=AB=∴△AOB为等边三角形∴∠AOB=60°．S阴影=S扇形AOB-S△AOB=【题目点拨】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质,圆周角定理,切线的性质,解直角三角形，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质,圆周角定理,切线的性质,解直角三角形.23、-4≤a<-3.【解题分析】试题分析：首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．试题解析：解：由5x+2＞3（x﹣2）得：x＞﹣2，由x≤8﹣