江苏省苏州市胥江实验中学2024届数学九年级第一学期期末统考试题含解析

江苏省苏州市胥江实验中学2024届数学九年级第一学期期末统考试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．已知点A、B、C、D、E、F是半径为r的⊙O的六等分点，分别以A、D为圆心，AE和DF长为半径画圆弧交于点P．以下说法正确的是()①∠PAD=∠PDA=60º；②△PAO≌△ADE；③PO=r；④AO∶OP∶PA=1∶∶.A．①④ B．②③ C．③④ D．①③④2．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，1，8，1，9，1．这组数据的中位数和众数分别为（）A．8，1 B．1，9 C．8，9 D．9，13．在RtABC中，∠C=90°，如果，那么的值是（）A．90° B．60° C．45° D．30°4．若不等式组无解，则的取值范围为（）A． B． C． D．5．一元二次方程的根是（）A． B． C． D．6．一元二次方程x（x﹣1）=0的解是（）A．x=0 B．x=1 C．x=0或x=﹣1 D．x=0或x=17．袋中装有5个白球，3个黑球，除颜色外均相同，从中一次任摸出一个球，则摸到黑球的概率是（）A． B． C． D．8．已知是关于的一个完全平方式，则的值是（）．A．6 B． C．12 D．9．如图在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，不一定能使△ADE与△ABC相似的条件是（）A．∠AED=∠B B．∠ADE=∠C C． D．10．如图，正方形中，，为的中点，将沿翻折得到，延长交于，，垂足为，连接、.结论:①；②≌；③∽；④；⑤.其中的正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．511．如图，已知AE与BD相交于点C，连接AB、DE，下列所给的条件不能证明△ABC～△EDC的是（）A．∠A＝∠E B． C．AB∥DE D．12．已知关于的方程（1）（2）（3）（4），其中一元二次方程的个数为（）个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（每题4分，共24分）13．在平面直角坐标系中，点(3，－4)关于原点对称的点的坐标是____________．14．一枚材质均匀的骰子，六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6，投这个骰子，掷的的点数大于4的概率是______________.15．若线段AB=6cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC），则AC的长为cm（结果保留根号）．16．如图，在平行四边形中，是线段上的点，如果，，连接与对角线交于点，则_______．17．如图，在中，，，延长至点，使，则________.18．计算的结果是__________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，点E是四边形ABCD的对角线ＢＤ上一点，且∠BAC＝∠BDC＝∠DAE.①试说明BE·AD＝CD·AE；②根据图形特点，猜想可能等于哪两条线段的比?并证明你的猜想，（只须写出有线段的一组即可）20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．点在第四象限且在抛物线上．（1）如（图1），当四边形面积最大时，在线段上找一点，使得最小，并求出此时点的坐标及的最小值；（2）如（图2），将沿轴向右平移2单位长度得到，再将绕点逆时针旋转度得到，且使经过、的直线与直线平行（其中），直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上．在线段上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（8分）如图，已知AD•AC＝AB•AE．求证：△ADE∽△ABC．22．（10分）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，OB＝OC＝1．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝1：2时，求点D的坐标．（1）如图2，点E的坐标为（0，），在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．（10分）⊙O为△ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将△ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．（1）如图1，AC=BC；（2）如图2，直线l与⊙O相切于点P，且l∥BC．24．（10分）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．（1）求一次函数的表达式；（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．25．（12分）如图，抛物线（，b是常数，且≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．并且A，B两点的坐标分别是A(－1，0)，B(3，0)（1）①求抛物线的解析式；②顶点D的坐标为_______；③直线BD的解析式为______；（2）若P为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求当m为何值时，四边形PQOC的面积最大？（3）若点M是抛物线在第一象限上的一个动点，过点M作MN∥AC交轴于点N．当点M的坐标为_______时，四边形MNAC是平行四边形．26．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．（1）①求出月销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；②求出月销售利润w（元）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；（2）在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？（3）当销售单价定为多少元时，能获得最大利润？最大利润是多少元？

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解题分析】解：∵A、B、C、D、E、F是半径为r的⊙O的六等分点，∴，∴AE=DF＜AD，根据题意得：AP=AE，DP=DF，∴AP=DP＜AD，∴△PAD是等腰三角形，∠PAD=∠PDA≠60°，①错误；连接OP、AE、DE，如图所示，∵AD是⊙O的直径，∴AD＞AE=AP，②△PAO≌△ADE错误，∠AED=90°，∠DAE=30°，∴DE=r，AE=DE=r，∴AP=AE=r，∵OA=OD，AP=DP，∴PO⊥AD，∴PO=r，③正确；∵AO：OP：PA=r：r：r=1：：．∴④正确；说法正确的是③④，故选C．2、D【解题分析】试题分析：把这组数据从小到大排列：7，8，9，9，1，1，1，最中间的数是9，则中位数是9；1出现了3次，出现的次数最多，则众数是1；故选D．考点：众数；中位数．3、C【分析】根据锐角三角函数的定义解得即可．【题目详解】解：由已知，，∵∴∵∠C=90°∴=45°故选：C【题目点拨】本题考查了锐角三角函数的定义，解答关键是根据定义和已知条件构造等式求解．4、A【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小无解了可得关于m的不等式，解之可得．【题目详解】解不等式，得：x＞8，∵不等式组无解，∴4m≤8，解得m≤2，故选A．【题目点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．5、D【解题分析】x2−3x=0，x(x−3)=0，∴x1=0，x2=3.故选：D.6、D【解题分析】试题分析：方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0，因此可由方程x（x﹣1）=0，可得x=0或x﹣1=0，解得：x=0或x=1．故选D．考点：解一元二次方程-因式分解法7、B【解题分析】先求出球的总个数，根据概率公式解答即可．【题目详解】因为白球5个，黑球3个一共是8个球，所以从中随机摸出1个球，则摸出黑球的概率是．故选B．【题目点拨】本题考查了概率公式，明确概率的意义是解答问题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8、B【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3积的2倍，故m=±1．【题目详解】∵（x±3）2=x2±1x+32，∴是关于的一个完全平方式，则m=±1．故选：B．【题目点拨】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．9、C【分析】由题意根据相似三角形的判定定理依次对各选项进行分析判断即可．【题目详解】解：A、∠AED=∠B，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故A选项错误；B、∠ADE=∠C，∠A=∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故B选项错误；C、不能判定△ADE∽△ACB，故C选项正确；D、，且夹角∠A=∠A，能确定△ADE∽△ACB，故D选项错误．故选：C．【题目点拨】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答此题的关键．10、C【分析】根据正方形的性质以及折叠的性质依次对各个选项进行判断即可．【题目详解】解：∵正方形ABCD中，AB=6，E为AB的中点

∴AD=DC=BC=AB=6，AE=BE=3，∠A=∠C=∠ABC=90°

∵△ADE沿DE翻折得到△FDE

∴∠AED=∠FED，AD=FD=6，AE=EF=3，∠A=∠DFE=90°

∴BE=EF=3，∠DFG=∠C=90°

∴∠EBF=∠EFB

∵∠AED+∠FED=∠EBF+∠EFB

∴∠DEF=∠EFB

∴BF∥ED

故结论①正确；

∵AD=DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，DG=DG

∴Rt△DFG≌Rt△DCG

∴结论②正确；

∵FH⊥BC，∠ABC=90°

∴AB∥FH，∠FHB=∠A=90°

∵∠EBF=∠BFH=∠AED

∴△FHB∽△EAD

∴结论③正确；

∵Rt△DFG≌Rt△DCG

∴FG=CG

设FG=CG=x，则BG=6-x，EG=3+x

在Rt△BEG中，由勾股定理得：32+（6-x）2=（3+x）2

解得：x=2

∴BG=4

∴tan∠GEB=，故结论④正确；

∵△FHB∽△EAD，且，∴BH=2FH

设FH=a，则HG=4-2a

在Rt△FHG中，由勾股定理得：a2+（4-2a）2=22

解得：a=2（舍去）或a=，∴S△BFG==2.4

故结论⑤错误；

故选：C．【题目点拨】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的判定、勾股定理、三角函数，综合性较强．11、D【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可求解．【题目详解】A、若∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项A不符合题意；B、若，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项B不符合题意；C、若AB∥DE，可得∠A＝∠E，且∠ACB＝∠DCE，则可证△ABC～△EDC，故选项C不符合题意；D、若，且∠ACB＝∠DCE，则不能证明△ABC～△EDC，故选项D符合题意；故选：D．【题目点拨】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定方法是解题的关键，判定时需注意找对对应线段.12、C【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．【题目详解】解：（1）ax2+x+1=0中a可能为0，故不是一元二次方程；（2）符合一元二次方程的定义，故是一元二次方程；（3），去括号合并后为，是一元二次方程；（4）x2=0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；所以是一元二次方程的有三个，

故选：C．【题目点拨】本题主要考查一元二次方程的定义，即只含有一个未知数且未知数的次数为2的整式方程，注意如果是字母系数的方程必须满足二次项的系数不等于0才可以．二、填空题（每题4分，共24分）13、(－3，4)【题目详解】在平面直角坐标系中，点(3，－4)关于原点对称的点的坐标是(－3，4).故答案为(－3，4).【题目点拨】本题考查关于原点对称的点的坐标，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反.14、【解题分析】先求出点数大于4的数，再根据概率公式求解即可.【题目详解】在这6种情况中，掷的点数大于4的有2种结果，掷的点数大于4的概率为.故答案为：.【题目点拨】本题考查的是概率公式，熟记随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数的商是解答此题的关键.15、3（﹣1）【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（）叫做黄金比．【题目详解】根据黄金分割点的概念和AC＞BC，得：AC=AB=×6=3（﹣1）．故答案为：3（﹣1）．16、【分析】由平行四边形的性质得AB∥DC，AB＝DC；平行直线证明△BEF∽△DCF，其性质线段的和差求得，三角形的面积公式求出两个三角形的面积比为2：1．【题目详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴△BEF∽△DCF，∴，又∵BE＝AB−AE，AB＝1，AE＝3，∴BE＝2，DC＝1，∴，又∵S△BEF＝•EF•BH，S△DCF＝•FC•BH，∴，故答案为2：1．【题目点拨】本题综合考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积公式等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质．17、【分析】过点A作AF⊥BC于点，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，目的得到直角三角形利用三角函数得△AFC三边的关系，再证明△ACF∽△DCE，利用相似三角形性质得出△DCE各边比值，从而得解.【题目详解】解:过点A作AF⊥BC于点，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，∵，∴∠B=∠ACF，sin∠ACF==，设AF=4k，则AC=5k，CD=，由勾股定理得：FC=3k，∵∠ACF=∠DCE，∠AFC=∠DEC=90°，∴△ACF∽△DCE，∴AC：CD=CF：CE=AF：DE，即5k：=3k：CE=4k：DE，解得：CE=，DE=2k，即AE=AC+CE=5k+=，∴在Rt△AED中，DE：AE=2k：=.故答案为：.【题目点拨】本题考查三角函数定义、相似三角形的判定与性质，解题关键是构造直角三角形.18、【分析】先算开方，再算乘法，最后算减法即可．【题目详解】故答案为：．【题目点拨】本题考查了无理数的混合运算，掌握无理数的混合运算法则是解题的关键．三、解答题（共78分）19、（1）证明见解析；（2）猜想=或（理由见解析【解题分析】试题分析：（1）由已知条件易证∠BAE=∠CAD，∠AEB=∠ADC，从而可得△AEB∽△ADC，由此可得，这样就可得到BE·AD=DC·AE；（2）由（1）中所得△AEB∽△ADC可得=，结合∠DAE=∠BAC可得△BAC∽△EAD，从而可得：=或（）.试题解析：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠DAC=∠BAE，∵∠AEB=∠ADB+∠DAE，∠ADC=∠ADB+∠BDC，又∵∠DAE=∠BDC，∴∠AEB=∠ADC，∴△BEA∽△CDA，∴=，即BE·AD=CD·AE；②猜想=或（），由△BEA∽△CDA可知，=，即=，又∵∠DAE=∠BAC，∴△BAC∽△EAD，∴=或（）.20、（1）点，的最小值；（2）存在，点的坐标可以为，，或【分析】（1）设，根据正切函数的定义求出点C，将其代入二次函数的表达式中，求出a，过点E作EH⊥OB，垂足为H，根据四边形面积=梯形OCEH的面积+△BHE的面积得到一个二次函数，进而可求出取最大值时点E的坐标，过点M作MF⊥OB，垂足为F，要使最小，则使最小，进而求解；（2）分两种情况考虑，①线段BC为邻边时，则点N只能取点K，H，②线段BC为对角线时，设点，线段BC与线段PN的交点为点O，分别利用中点坐标公式进行求解．【题目详解】解：（1）设，∵，，∴，即点，将点C代入中，解得，，∴，设点，过点E作EH⊥OB，垂足为H，∴四边形面积=梯形OCEH的面积+△BHE的面积，∴当时，四边形面积最大，∴点，过点M作MF⊥OB，垂足为F，∵，∴要使最小，即使最小，∴过点E作EH⊥OB交BC于点M，垂足为H，此时取得最小值，∴的最小值；（2）存在；由题意知，，线段所在的直线方程为，分两种情况讨论：①线段BC为邻边时，则点N只能取点K，H，∵，解得，点K，H的横坐标分别为，，∵四边形BCPN为平行四边形，设点，当N取点K时，由中点坐标公式知，，解得，，∴，即点，同理可知，当点N取点K时，点；②线段BC为对角线时，设点，线段BC与线段PN的交点为点O，∴点，∴由中点坐标公式得，，∵，∴解得，或，∴点或，综上所述，点的坐标可以为，，或．【题目点拨】本题是二次函数的综合题，考查了正切函数，二次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式，学会运用分类讨论的思想进行解题，是中考压轴题，难度较大．21、证明见解析.【分析】由AD•AC＝AE•AB，可得,从而根据“两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似”可证明结论成立.【题目详解】试题分析：证明：∵AD•AC＝AE•AB，∴＝在△ABC与△ADE中∵＝，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE22、（1）y＝﹣x2+2x+1；（2）点D（1，4）或（2，1）；（1）当点P在x轴上方时，点P（，）；当点P在x轴下方时，点（﹣，﹣）【分析】(1)c=1，点B(1，0)，将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ax2+2x+1，解得a=﹣1即可得出答案；(2)由S△COF：S△CDF=1：2得OF：FD=1：2，由DH∥CO得CO：DM=1：2，求得DM=2，而DM==2，即可求解；(1)分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解即可．【题目详解】(1)∵OB=OC=1，∴点C的坐标为C(0，1)，c=1，点B的坐标为B(1，0)，将点B的坐标代入抛物线表达式：y=ax2+2x+1，解得：a=﹣1，故抛物线的表达式为：y=﹣x2+2x+1；(2)如图，过点D作DH⊥x轴于点H，交BC于点M，∵S△COF：S△CDF=1：2，∴OF：FD=1：2，∵DH∥CO，∴CO：DM=OF：FD=1：2，∴DM=CO=2，设直线BC的表达式为：，将C(0，1)，B(1，0)代入得，解得：，∴直线BC的表达式为：y=﹣x+1，设点D的坐标为(x，﹣x2+2x+1)，则点M(x，﹣x+1)，∴DM==2，解得：x=1或2，故点D的坐标为：(1，4)或(2，1)；(1)①当点P在x轴上方时，取OG=OE，连接BG，过点B作直线PB交抛物线于点P，交y轴于点M，使∠GBM=∠GBO，则∠OBP=2∠OBE，过点G作GH⊥BM，如图，∵点E的坐标为(0，)，∴OE=，∵∠GBM=∠GBO，GH⊥BM，GO⊥OB，∴GH=GO=OE=，BH=BO=1，设MH=x，则MG=，在△OBM中，OB2+OM2=MB2，即，解得：x=2，故MG==，则OM=MG+GO=+，点M的坐标为(0，4)，设直线BM的表达式为：，将点B(1，0)、M(0，4)代入得：，解得：，∴直线BM的表达式为：y=x+4，解方程组解得：x=1(舍去)或，将x=代入y=x+4得y=，故点P的坐标为(，)；②当点P在x轴下方时，如图，过点E作EN⊥BP，直线PB交y轴于点M，∵∠OBP=2∠OBE，∴BE是∠OBP的平分线，∴EN=OE=，BN=OB=1，设MN=x，则ME=，在△OBM中，OB2+OM2=MB2，即，解得：，∴，则OM=ME+EO=+，点M的坐标为(0，-4)，设直线BM的表达式为：，将点B(1，0)、M(0，-4)代入得：，解得：，∴直线BM的表达式为：，解方程组解得：x=1(舍去)或，将x=代入得，故点P的坐标为(，)；综上，点P的坐标为：(，)或(，)．【题目点拨】本题考查的是二次函数的综合运用，涉及到一次函数、平行线分线段成比例定理、勾股定理、角平分线的性质等，其中第(1)问要注意分类求解，避免遗漏．23、（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析．【解题分析】试题分析：（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，弧AC=弧BC，根据垂径定理的推理得CD垂直平分AB，所以CD将△ABC分成面积相等的两部分；（2）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与⊙O相切于点P，根据切线的性质得OP⊥l，而l∥BC，则PE⊥BC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将△ABC分成面积相等的两部分．试题解析：（1）如图1，直径CD为所求；（2）如图2，弦AD为所求．考点：1．作图—复杂作图；2．三角形的外接圆与外心；3．切线的性质；4．作图题．24、解：（3）一次函数的表达式为（4）当销售单价定为4元时，商场可获得最大利润，最大利润是893元（3）销售单价的范围是．【解题分析】（3）列出二元一次方程组解出k与b的值可求出一次函数的表达式．（4）依题意求出W与x的函数表达式可推出当x=4时商场可获得最大利润．（3）由w=500推出x4﹣380x+7700=0解出x的值即可．【题目详解】(3)根据题意得：，解得k=﹣3，b=3．所求一次函数的表达式为；（4）=，∵抛物线的开口向下，∴当x＜90时，W随x的增大而增大，而销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，即60≤x≤60×（3+45%），∴60≤x≤4，∴当x=4时，W==893，∴当销售单价定为4元时，商场可获得最大利润，最大利润是893元．（3）令w=500，解方程，解得，，又∵60≤x≤4，所以当w≥500时，70≤x≤4．考点：3．二次函数的应用；4．应用题．25、（1）①；②(1，4)；③；（2）当时，S最大值=；（3）(