江苏省无锡市宜兴市2024届数学九上期末检测试题含解析

江苏省无锡市宜兴市2024届数学九上期末检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列函数是二次函数的是().A．y＝2x B．y=+xC．y＝x+5 D．y＝(x+1)(x﹣3)2．如图，点在线段上，在的同侧作角的直角三角形和角的直角三角形，与，分别交于点，，连接.对于下列结论：①；②；③图中有5对相似三角形；④．其中结论正确的个数是()A．1个 B．2个 C．4个 D．3个3．如图为二次函数的图象，则下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为()A．(2，2)，(3，2) B．(2，4)，(3，1)C．(2，2)，(3，1) D．(3，1)，(2，2)5．通过对《一元二次方程》全章的学习，同学们掌握了一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、因式分解法，其实，每种解法都是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，体现的基本思想是（）A．转化 B．整体思想 C．降次 D．消元6．关于x的方程3x2﹣2x+1=0的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．不能确定7．在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（）A．（4n﹣1，） B．（2n﹣1，） C．（4n+1，） D．（2n+1，）8．对于二次函数,下列说法正确的是（）A．当x>0，y随x的增大而增大B．当x=2时，y有最大值－3C．图像的顶点坐标为（－2，－7）D．图像与x轴有两个交点9．方程5x2﹣2＝﹣3x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．5、3、﹣2 B．5、﹣3、﹣2 C．5、3、2 D．5、﹣3、210．下列说法正确的是()．A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次．其中，抛掷出5点的次数最多，则第2001次一定抛掷出5点.B．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖C．天气预报说：明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半时间在下雨D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为__________．12．如图，已知，，，若，，则四边形的面积为______．13．不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____．14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是_____．15．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是_________．（把所有正确结论的序号都填在横线上）16．用配方法解一元二次方程，配方后的方程为，则n的值为______.17．关于的方程的一个根是1，则方程的另一个根是____．18．将半径为12，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径为____．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是射线上一动点（点不与点，重合），过点作垂直于轴，交直线于点，以直线为对称轴，将翻折，点的对称点落在轴上，以，为邻边作平行四边形．设点，与重叠部分的面积为．（1）的长是__________，的长是___________（用含的式子表示）；（2）求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．20．（6分）如图，已知抛物线（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，且OC=OB．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）点P在抛物线的对称轴上，若线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标．21．（6分）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象的一个交点为，求的值．22．（8分）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．

23．（8分）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC、DC（或它们的延长线）于点M，N.（1）当∠MAN绕点A旋转到（如图1）时，求证：BM+DN=MN；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图2的位置时，猜想线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系呢？请直接写出你的猜想。（不需要证明）24．（8分）为了提高教学质量，促进学生全面发展，某中学计划投入99000元购进一批多媒体设备和电脑显示屏，且准备购进电脑显示屏的数量是多媒体设备数量的6倍.现从商家了解到，一套多媒体设备和一个电脑显示屏的售价分别为3000元和600元.（1）求最多能购进多媒体设备多少套？（2）恰逢“双十一”活动，每套多媒体设备的售价下降，每个电脑显示屏的售价下降元，学校决定多媒体设备和电脑显示屏的数量在（1）中购进最多量的基础上都增加，实际投入资金与计划投入资金相同，求的值.25．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发以lcm/s的速度沿折线AC﹣CB运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，当点P不与点A、B重合时，以线段PQ为边向右作正方形PQRS，设正方形PQRS与△ABC的重叠部分面积为S，点P的运动时间为t（s）．（1）用含t的代数式表示CP的长度；（2）当点S落在BC边上时，求t的值；（3）当正方形PQRS与△ABC的重叠部分不是五边形时，求S与t之间的函数关系式；（4）连结CS，当直线CS分△ABC两部分的面积比为1：2时，直接写出t的值．26．（10分）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：米）与飞行时间t（单位：秒）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题：（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15米时，需要多少飞行时间？（2）在飞行过程中，小球飞行高度何时达到最大？最大高度是多少？

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】直接利用二次函数的定义进而分析得出答案．【题目详解】解：A、y＝2x，是一次函数，故此选项错误；B、y＝+x，不是整式，故此选项错误；C、y＝x+5，是一次函数，故此选项错误；D、y＝(x+1)(x﹣3)，是二次函数，故此选项正确．故选D．【题目点拨】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握函数的定义是解题关键．2、D【分析】如图，设AC与PB的交点为N，根据直角三角形的性质得到，根据相似三角形的判定定理得到△BAE∽△CAD，故①正确；根据相似三角形的性质得到∠BEA＝∠CDA，推出△PME∽△AMD，根据相似三角形的性质得到MP•MD＝MA•ME，故②正确；由相似三角形的性质得到∠APM＝∠DEM＝90，根据垂直的定义得到AP⊥CD，故④正确；同理：△APN∽△BCN，△PNC∽△ANB，于是得到图中相似三角形有6对，故③不正确．【题目详解】如图，设AC与PB的交点为N，∵∠ABC＝∠AED＝90，∠BAC＝∠DAE＝30，∴，∠BAE＝30＋∠CAE，∠CAD＝30＋∠CAE，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，故①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∵∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴，∴MP•MD＝MA•ME，故②正确；∴，∵∠PMA＝∠EMD，∴△APM∽△DEM，∴∠APM＝∠DEM＝90，∴AP⊥CD，故④正确；同理：△APN∽△BCN，△PNC∽△ANB，∵△ABC∽△AED，∴图中相似三角形有6对，故③不正确；故选：D．【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．3、D【分析】根据抛物线的开口向下可知a<0，由此可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；根据x=1时y的值可判断③；根据抛物线与x轴交点的个数可判断④；根据x=-2时，y的值可判断⑤.【题目详解】抛物线开口向下，∴a<0，故①错误；∵抛物线与x轴两交点坐标为（-1，0）、（3，0），∴抛物线的对称轴为x==1，∴2a+b=0，故②正确；观察可知当x=1时，函数有最大值，a+b+c>0，故③正确；∵抛物线与x轴有两交点坐标，∴△>0，故④正确；观察图形可知当x=-2时，函数值为负数，即4a-2b+c<0，故⑤正确，故选D.【题目点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．4、C【解题分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以得出即可．【题目详解】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，∴端点的坐标为：（2，2），（3，1）．故选C．【题目点拨】本题考查位似变换；坐标与图形性质，数形结合思想解题是本题的解题关键．5、C【分析】根据“每种解法都是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解”进行判断即可.【题目详解】每种解法都是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，也就是“降次”，故选：C.【题目点拨】本题考查一元二次方程解法的理解，读懂题意是关键.6、C【解题分析】试题分析：先求一元二次方程的判别式，由△与0的大小关系来判断方程根的情况．解：∵a=3，b=﹣2，c=1，∴△=b2﹣4ac=4﹣12=﹣8＜0，∴关于x的方程3x2﹣2x+1=0没有实数根．故选：C．考点：根的判别式．7、C【解题分析】试题分析：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，∴A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0），∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，∵2×2﹣1=3，2×0﹣=﹣，∴点A2的坐标是（3，﹣），∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，∵2×4﹣3=5，2×0﹣（﹣）=，∴点A3的坐标是（5，），∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，∵2×6﹣5=7，2×0﹣=﹣，∴点A4的坐标是（7，﹣），…，∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1，∵当n为奇数时，An的纵坐标是，当n为偶数时，An的纵坐标是﹣，∴顶点A2n+1的纵坐标是，∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是（4n+1，）．故选C．考点：坐标与图形变化-旋转．8、B【题目详解】二次函数,所以二次函数的开口向下，当x＜2，y随x的增大而增大，选项A错误；当x=2时，取得最大值，最大值为－3,选项B正确；顶点坐标为（2，-3），选项C错误；顶点坐标为（2，-3），抛物线开口向下可得抛物线与x轴没有交点，选项D错误，故答案选B.考点：二次函数的性质.9、A【分析】直接利用一元二次方程中各部分的名称分析得出答案．【题目详解】解：5x1﹣1＝﹣3x整理得：5x1+3x﹣1＝0，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是：5、3、﹣1．故选：A．【题目点拨】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确认识各部分是解题关键．10、D【解题分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．【题目详解】A.

是随机事件，错误；

B.

中奖的概率是1%，买100张该种彩票不一定会中奖，错误；

C.

明天下雨的概率是50%，是说明天下雨的可能性是50%，而不是明天将有一半时间在下雨，错误；

D.

正确。

故选D.【题目点拨】本题考查概率的意义，解题的关键是掌握概率的意义.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【题目详解】设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有：，解得所以12、1【分析】过点D作DE⊥AC于E，利用AAS证出ABC≌DAE，从而得出BC=AE，AC=DE，∠BAC=∠ADE，根据锐角三角函数可得，设BC=AE=x，则AC=DE=4x，从而求出CE，利用勾股定理列出方程即可求出x的值，从而求出BC、AC和DE，再根据四边形的面积=即可求出结论．【题目详解】解：过点D作DE⊥AC于E∴∠EAD＋∠ADE=90°∵∴∠BAC＋∠EAD=90°∴∠BAC=∠ADE∵∠BCA=∠AED=90°，∴ABC≌DAE∴BC=AE，AC=DE，∠BAC=∠ADE∴∴设BC=AE=x，则AC=DE=4x∴EC=AC－AE=3x在RtCDE中，CE2＋DE2=CD2即（3x）2＋（4x）2=52解得：x=1或-1（不符合题意舍去）∴BC=1，AC=DE=4∴四边形的面积==BC·AC＋AC·DE=×1×4＋×4×4=1故答案为：1．【题目点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握全等三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理是解题关键．13、【解题分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【题目详解】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是，故答案为：．【题目点拨】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．14、（2，1）【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．【题目详解】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为：（2，1）．【题目点拨】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于弦的直径平分弦”．15、①②③【分析】由图形先得到a，b，c和b2-4ac正负性，再来观察对称轴和x=-1时y的值，综合得出答案.【题目详解】解：开口向上的，与轴的交点得出，，，，①对，，，，②对抛物线与轴有两个交点，，③对从图可以看出当时，对应的值大于0，，④错故答案：①②③【题目点拨】此题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键在于掌握其函数图象与关系.16、7【分析】根据配方法，先移项，然后两边同时加上4，即可求出n的值.【题目详解】解：∵，∴，∴，∴，∴；故答案为：7.【题目点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤.17、【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【题目详解】设方程的另一个根为x1，∵方程的一个根是1，∴x1·1=1，即x1=1，故答案为：1．【题目点拨】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理），掌握知识点是解题关键．18、1【分析】设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式可得到关于r的方程，然后解方程即可．【题目详解】设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得解得r=1，即这个圆锥的底面圆的半径为1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握弧长公式，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长建立方程是解题的关键.三、解答题(共66分)19、（1），；（2）【分析】（1）将y=0代入一次函数解析式中即可求出点A的坐标，从而求出结论；（2）先求出点B的坐标，然后根据锐角三角函数求出，，然后根据m的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，利用相似三角形的判定及性质和各个图形的面积公式计算即可．【题目详解】解：（1）将y=0代入中，得解得：x=4∴点A的坐标为（4,0）∴OA=4，AP=故答案为：；．（2）令，，即∵垂直于轴，∴∴∵当时，∴当时，如图2，过点作于点，由题意知，∴四边形是平行四边形，∴∴，∴∴，，∵，∴∴∵，∴∴当时，如图3，由②知，xE=2综上【题目点拨】此题考查的是一次函数与几何图形的综合大题，掌握求一次函数与坐标轴的交点坐标、锐角三角函数、图形的面积公式和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键．20、（1）y=-x2-2x+3（2）（-，）（3）满足条件的点P的坐标为P（-1，1）或（-1，-2）【题目详解】（1）∵抛物线（）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），∴OB=3，∵OC=OB，∴OC=3，∴c=3，∴，解得：，∴所求抛物线解析式为：；（2）如图2，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，）（﹣3＜a＜0），∴EF=，BF=a+3，OF=﹣a，∴S四边形BOCE==BF•EF+（OC+EF）•OF===，∴当a=时，S四边形BOCE最大，且最大值为．此时，点E坐标为（，）；（3）∵抛物线的对称轴为x=﹣1，点P在抛物线的对称轴上，∴设P（﹣1，m），∵线段PA绕点P逆时针旋转90°后，点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，如图，∴PA=PA′，∠APA′=90°，如图3，过A′作A′N⊥对称轴于N，设对称轴与x轴交于点M，∴∠NPA′+∠MPA=∠NA′P+∠NPA′=90°，∴∠NA′P=∠MPA，在△A′NP与△APM中，∵∠A′NP=∠AMP=90°，∠NA′P=∠MPA，PA′=AP，∴△A′NP≌△PMA，∴A′N=PM=|m|，PN=AM=2，∴A′（m﹣1，m+2），代入得：，解得：m=1，m=﹣2，∴P（﹣1，1），（﹣1，﹣2）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．旋转的性质；5．综合题；6．压轴题．21、【分析】把点A代入直线解析式求出点A的坐标，然后再代入反比例函数解析式求出k值即可.【题目详解】解：∵直线与反比例函数的图象的一个交点为∴2=-a+4，即a=2∴点A坐标为（2，2）∴，即k=4.【题目点拨】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，即点A即在直线上又在双曲线上，代入求值即可.22、河宽为17米．【解题分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长.【题目详解】∵CB⊥AD，ED⊥AD，∴∠CBA＝∠EDA＝90°，∵∠CAB＝∠EAD，∴∆ABC∽∆ADE，∴，又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，∴，∴AB＝17，即河宽为17米．【题目点拨】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.23、（1）见解析；（2）DN-BM=MN【分析】（1）根据题意延长CB至E使得BE=DN，连接AE，利用全等三角形判定证明△ABE≌△AND和△EAM≌△NAM，等量代换即可求证BM+DN=MN；（2）由题意在DN上截取DE=MB，连接AE，证△ABM≌△ADE，推出AM=AE；∠MAB=∠EAD，求出∠EAN=∠MAN，根据SAS证△AMN≌△AEN，推出MN=EN即可．【题目详解】解：（1）证明：如图1，延长CB至E使得BE=DN，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABC=90°=∠ABE，在△ADN和△ABE中∵AD=AB∠D=∠ABEDN=BE，△ABE≌△ADN（SAS），∴∠BAE=∠DAN，AE=AN，∴∠EAN=∠BAE+∠BAN=∠DAN+∠BAN=90°，∵∠MAN=45°，∴∠EAM=∠MAN，∵在△EAM和△NAM中AE=AN∠EAM=∠NAMAM=AM，∴△EAM≌△NAM，∴MN=ME，∵ME=BM+BE=BM+DN，∴BM+DN=MN；（2）猜想：线段BM，DN和MN之间的等量关系为：DN-BM=MN．证明：如图2，在DN上截取DE=MB，连接AE，∵AD=AB，∠D=∠ABM=90°，BM=DE，∴△ABM≌△ADE（SAS）．∴AM=AE；∠MAB=∠EAD，∵∠MAN=45°=∠MAB+∠BAN，∴∠DAE+∠BAN=45°，∴∠EAN=90°-45°=45°=∠MAN，∵在△AMN和△AEN中，AM＝AE，∠MAN＝∠EAN，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN（SAS），∴MN=EN，∵DN-DE=EN，∴DN-BM=MN．【题目点拨】本题为四边形的综合题，考查知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等，熟练利用全等三角形判定定理以及作辅助线技巧构造三角形全等是解题的关键．24、（1）15套；（2）37.5【分析】（1）设购买A种设备x套，则购买B种设备6x套，根据总价=单价×数量结合计划投入99000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；（2）根据总价=单价×数量结合实际投入资金与计划投入资金相同，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【题目详解】（1）设能购买多媒体设备套，则购买显示屏6x套，根据题意得：解得：答：最多能购买多媒体设备15套.（