江苏专版2023-2024学年新教材高中数学第4章指数与对数4.1指数 课件（7份打包）

第第页江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第4章指数与对数4.1指数课件（7份打包）(共17张PPT)

1

要点深化·核心知识提炼

2

题型分析·能力素养提升

【课标要求】1.理解次方根、根式的概念.2.能正确运用根式运算性质化简求值.

01

要点深化·核心知识提炼

知识点1.次方根的概念

1.的次方根的定义

一般地，如果，那么称为的次方根.

2.的次方根的表示

3.根式

式子叫作根式，其中叫作根指数，叫作被开方数.

知识点2.根式的性质

根式的性质是化简根式的重要依据.

（1）负数没有偶次方根.

（2）0的次方根等于0，记作.

（3），且.

（4）（为大于1的奇数）.

（5）（为大于1的偶数）.

名师点睛

（1）对于，若为奇数，则；若为偶数，则.

（2）与意义不同，比如，，而没

有意义，故.

（3）当时，；当且为奇数时，；当且为偶数时，没有意义，对于要注意运算次序.

02

题型分析·能力素养提升

【题型一】次方根的概念

例1（1）若81的平方根为，的立方根为，则_________.

7或

[解析]81的平方根为，

即或9，的立方根为，即，所以或7.

（2）若有意义，求实数的取值范围.

解因为有意义，所以，所以，

即的取值范围是.

题后反思

（1）方根个数：正数的偶次方根有两个,且互为相反数，任意实数的奇次方根只有一个.

（2）根式符号：根式的符号由根指数的奇偶性及被开方数的符号共同确定.

①当为偶数，且时，为非负实数；

②当为奇数时，的符号与的符号一致.

跟踪训练1（1）已知，则等于()

B

A.B.C.D.

[解析]因为7为奇数，故8的7次方根只有一个.

（2）16的4次方根是____，有意义，则的取值范围是___.

[解析]4是偶数，则偶次方根有两个，为；3是奇数，任意实数的奇次方根都有意义.

【题型二】利用根式的性质化简或求值

例2化简下列各式：

（1）;

解原式.

（2）;

解原式.

（3）.

解原式

规律方法正确区分与

（1）已暗含了有意义，根据的奇偶性可知的范围；

（2）中的可以是全体实数，的值取决于的奇偶性.

跟踪训练2若，求的取值范围.

解因为，所以，解得.

故的取值范围是.

【题型三】有限制条件的根式的化简

例3（1）若，则____.

[解析]因为，

所以，，

所以.

（2）若，求的值.

解，

当时，原式.

当时，原式.

故原式

规律方法带条件根式的化简

（1）有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简.

（2）有条件根式的化简经常用到配方的方法.当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负.

跟踪训练3已知，化简.

解原式.

因为，

所以，，

所以原式.(共15张PPT)

1

要点深化·核心知识提炼

2

题型分析·能力素养提升

【课标要求】1.理解有理数指数幂且，，为整数，且、实数指数幂，且，含义.2.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.

01

要点深化·核心知识提炼

知识点1.分数指数幂

分数指数幂的意义

（1）规定正数的正分数指数幂的意义是：（，，均为正整

数）；

（2）规定正数的负分数指数幂的意义是：（，，均

为正整数）；

（3）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

名师点睛

（1）分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种写法.

（2）正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数.

知识点2.有理数指数幂的运算性质

1.整数指数幂的运算性质可以推广到有理数指数幂，即：

；

；

.

2.拓展：.

3.一般地，当且是一个无理数时，也是一个确定的实数.有理数指数幂

的运算性质同样适用于无理数指数幂.

名师点睛

指数幂运算性质的记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘.

02

题型分析·能力素养提升

【题型一】根式与分数指数幂的互化

例1将下列根式化成分数指数幂的形式：

（1）；

解原式.

（2）;

解原式.

（3）

解原式.

规律方法根式与分数指数幂互化的规律

（1）根指数分数指数的分母，

被开方数（式）的指数分数指数的分子.

（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题.

跟踪训练1将下列根式与分数指数幂进行互化.

（1）；

解.

（2）.

解.

【题型二】有理数指数幂的运算

例2计算或化简下列各题：

（1）;

解.

（2）.

解

.

规律方法指数幂运算的常用技巧

跟踪训练2化简求值：

（1）；

解原式.

（2）;

解原式

.

（3）.

解原式

.

【题型三】指数幂运算中的条件求值

例3已知，求下列各式的值：

（1）；

解将两边平方，得，故.

（2）.

解将两边平方，得，故.

规律方法解决条件求值的思路

（1）在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的地变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值.

（2）在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用.

跟踪训练3已知，求值：

（1）；

解令，

两边平方得，

因为，所以，

即.

（2）.

解令,则两边平方再开方得,

又，

所以.(共21张PPT)

1

要点深化·核心知识提炼

2

题型分析·能力素养提升

【课标要求】1.理解对数的概念.2.了解自然对数和常用对数.3.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化.

01

要点深化·核心知识提炼

知识点1.对数的概念

1.对数的概念

如果，那么就称是以为底的对数，记作，

其中，叫作对数的底数，叫作真数.

2.指数式与对数式的互化

3.常用对数与自然对数

通常将以10为底的对数称为常用对数，并把简记为.以无理数

为底数的对数称为自然对数，并把简记为.

名师点睛

（1）对数是由指数转化而来的，底数、指数或对数、幂或真数的范围不变，

只是位置和名称发生了变换，即在对数式中，，且，.

（2）的读法：以为底的对数.

知识点2.对数的性质

1.零和负数没有对数.

2..

3..

4.；

5..

名师点睛

（1）的作用是把任意一个正实数转化为以为底

的指数形式;

（2）的作用是把任意一个实数转化为以为底的对数形

式.

02

题型分析·能力素养提升

【题型一】对数的概念

例1求下列各式中的取值范围：

（1）；

解由题意有，解得，故的取值范围为.

（2）；

解由题意有即

所以,且.

故的取值范围为,且.

（3）.

解由题意有

即故的取值范围为，且，且.

规律方法对数成立的条件

在解决与对数有关的问题时，一定要注意：对数真数大于0，对数的底数大于0且不等于1.

跟踪训练1在中，实数的取值范围是()

B

A.B.

C.D.

[解析]要使式子有意义,

则解得故实数的取值范围是.故选B.

【题型二】指数式与对数式的互化

例2将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式.

（1）；

解由，

可得.

（2）；

解由，

可得.

（3）.

解由，可得.

规律方法指数式与对数式互化的方法

（1）将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；

（2）将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.

跟踪训练2将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

（1）；

解由,可得.

（2）；

解由,可得.

（3）;

解由,可得.

（4）,且.

解由,且,可得.

【题型三】利用对数式与指数式的关系求值

例3求下列各式中的值:

（1）;

解因为,

所以,所以,

所以.

（2）;

解因为,

所以,所以.

（3）.

解由题得,即,

所以.

规律方法利用指数式与对数式互化求值策略

（1）已知底数和指数，用指数式求幂；

（2）已知指数和幂，用根式求底数；

（3）已知底数和幂，用对数式求指数.

跟踪训练3求下列各式中的值:

（1）;

解因为,所以,所以.

（2）;

解因为,所以,所以,所以.

（3）,且；

解因为,所以,即,所以.

（4）.

解因为,所以.

【题型四】利用对数的性质求值

例4（1）设，则的值等于()

B

A.10B.13C.100D.

[解析]由，得，所以，故选B.

（2）若，则的值等于____.

10

[解析]由，得，所以.

规律方法利用对数性质求解两类问题的策略

（1）求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求

的值,先求的值，再求

的值.

（2）已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“”后再求解.

跟踪训练4若本例（2）的条件改为“”，则的值为____.

[解析]由得，解得.(共17张PPT)

1

要点深化·核心知识提炼

2

题型分析·能力素养提升

【课标要求】1.掌握对数的运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.会用对数的运算性质进行一些简单的化简求值.

01

要点深化·核心知识提炼

知识点.对数的运算性质

，

，

，

其中，，，，.

名师点睛

（1）对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数为正”，即，，

，.若去掉此条件，性质不一定成立，如

.

（2）两个正因数积的对数等于同一底数的这两个正因数的对数的和.这个性质可

推广到若干个正因数的积：

，

即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和.

02

题型分析·能力素养提升

【题型一】对数的运算性质

例1（多选题）若，，，，则下列各式中正确的有()

BD

A.B.

C.D.

[解析]根据对数的运算性质知选项正确.

题后反思熟练掌握对数的运算性质是解决此类问题的关键.运用运算性质时，要注意底数是相同的.

跟踪训练1（1）下列各等式正确的为()

D

A.B.

C.D.

[解析]选项A，B显然错误.选项C中，当，均为负数时，等式右边无意义.

（2）已知，且，，则下列结论正确的是()

C

A.B.

C.D.

[解析]，A，B，D错误，故选C.

【题型二】利用对数的运算性质化简、求值

例2计算下列各式的值：

（1）；

解原式

.

（2）；

解原式

.

（3）.

解原式.

规律方法对数运算求值的解题策略

（1）利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系.

（2）对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简的常用方法：①“拆”：将积（商）的对数拆成两对数之和（差）；②“收”：将同底对数的和（差）收成积（商）的对数.

跟踪训练2求下列各式的值：

（1）；

解原式.

（2）.

解.

【题型三】对数运算性质的综合应用

例3已知，，试用，表示下列各对数：

（1）；

解.

（2）；

解.

（3）；

解.

（4）.

解.

题后反思底数相同的对数式的转化

要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，在计算对数值时会经常用到.

跟踪训练3已知，，求（用，表示）.

解因为，所以，

所以

.(共15张PPT)

1

要点深化·核心知识提炼

2

题型分析·能力素养提升

【课标要求】1.掌握对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数.2.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值.

01

要点深化·核心知识提炼

知识点.换底公式

，其中，,，，.这个公式称为对数的换

底公式.

特别地.

拓展：

名师点睛

将对数的底数换成任意大于零，且不等于1的实数，特别是将底数换成10或，即

将任意对数运算统一为常用对数或自然对数运算，就解决了任意底数的对数计算问题.

02

题型分析·能力素养提升

【题型一】换底公式的直接应用

例1（1）[2023南通期中]的值为()

C

A.3B.C.D.

[解析].故选C.

（2）设，，均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是()

B

A.B.

C.D.

[解析]，故A错；

，故B正确；

对选项C，D，由对数的运算性质，容易知，其显然不成立.故选B.

题后反思换底公式的意义在于改变对数式的底数，把不同底数的对数转化为同底数的对数.在应用换底公式时将原对数的底数换成以什么为底数的对数，要由具体已知条件确定，一般换成以10为底的常用对数.

跟踪训练1（人A教材题）已知,，求下列各式的值：

（1）；

解.

（2）.

解.

【题型二】有附加条件的对数式求值问题

例2已知，且，求的值.

解因为，所以,，所以,,

又因为，即，

所以，所以.

题后反思在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化.

跟踪训练2若，求的值.

解由可得,即，

所以,，

所以

，

所以.

【题型三】对数的实际应用

例3[2023临沂月考]1614年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算

而发明了对数方法；1637年法国数学家笛卡尔开始使用指数运算；1770年瑞士数学家

欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数.若

，，则的值约为()

A

A.0.431B.0.430C.0.429D.2.322

[解析]由得.故选A.

规律方法解决对数应用题的一般步骤

跟踪训练3一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的

，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的？（结果保留整数，

，）

解设经过年，该物质的剩余量是原来的.

由题意可知，

所以.

故估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的.(共26张PPT)

01

第4章测评

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.()

B

A.1B.C.D.

[解析].故选B.

2.计算的结果是()

A

A.B.C.D.

[解析].故选A.

3.()

B

A.1B.2C.3D.4

[解析].故选B.

4.方程的解是()

B

A.B.C.D.

[解析]因为，所以，解得.故选B.

5.镜片的厚度是由镜片的折射率决定的，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越

轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验.某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别

制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，，.则这三种镜片中，制作出

最薄镜片和最厚镜片的同学分别为()

C

A.甲同学和乙同学B.丙同学和乙同学C.乙同学和甲同学D.丙同学和甲同学

[解析]，.因为，所以.

又因为，，所以.所以有.

又因为镜片折射率越高，镜片越薄，所以甲同学制作的镜片最厚，乙同学制作的镜片

最薄.故选C.

6.[2023镇江检测]若，则()

A

A.B.C.1D.

[解析]因为，所以，所以

，，

所以.故选A.

7.设,,则的值为()

C

A.B.C.D.

[解析]根据换底公式和对数运算性质得

.故选C.

8.若，是方程的两个根，则的值等于()

A

A.2B.C.4D.

[解析]若，是方程的两个根，则

所以故选A.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知，且，下列说法不正确的是()

ACD

A.若，则B.若，则

C.若，则D.若，则

[解析]若，则,无意义，A错误；

因为，且为单调函数，所以，B正确；

因为，则，所以或，C错误；

若，则,无意义，D错误.故选.

10.下列计算正确的是()

BCD

A.B.

C.D.

[解析]，A错误；，B正确；

，C正确；

，D正确.故选.

11.设,,则下列四个等式中正确的是()

ACD

A.B.

C.D.

[解析]因为,所以.

因为,所以.

,故选项A正确；

,故选项B错误；

,故选项C正确;

,故选项D正确.

故选.

12.设,,都是正数，且，那么()

AD

A.B.C.D.

[解析]由题意,设，则,,.

对于选项A，由,可得,因为

,故A正确，B错误；

对于选项C，,

,则,故C错误;

对于选项D，,,则

,故D正确.故选.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知,，化简：_____（用分数指数幂表示）.

[解析].

14.已知，用表示_____.

[解析].

15.根据对数的定义易知,我们通常将对数的这一性质叫作对数恒等式,请你

以对数恒等式为依据写一个等式_________________________（其中含有无理数,）.

（答案不唯一）

16.已知，则的最小值为____.

20

[解析]因为,所以且,,所以

，当且仅当,即,时等号成立,所以

的最小值为20.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）计算下列各式的值：

（1）；

解原式.

（2）.

解原式.

18.（12分）

（1）已知，，试用，表示；

解因为，

而，，所以.

（2）求值：.

解

.

19.（12分）

（1）用，，表示；

解.

（2）已知正数,,满足，，求,,的值.

解由，得，.

因为，所以，

则，.

20.（12分）计算：

（1）；

解原式

（2）已知,,为正实数,,,求的值.

解因为,,为正实数,,设,

所以,,.

因为,

所以,即.

因为,即，所以,则,所以,即.

21.（12分）

（1）求的值;

解原式

（2）在,,中,挑选一个补充到下面题目的空格

处,并作答.已知____,,试用,表示.

解若选①,,所以.

又,所以，

则.

若选②，,所以.

又，所以,

则.

若选③,,所以.

又,所以，

则.

22.（12分）已知,且,求下列代数式的值.

（1）;

解因为,且,

所以.

（2）;

解

.

（3）.

解

.(共19张PPT)

1

网络构建·知识导图

2

要点归纳·典例提升

01

网络构建·知识导图

02

要点归纳·典例提升

要点一根式的化简或求值

1.根式的化简与求值要使用根式的运算性质：

（1）当为任意正整数时，；

（2）当为奇数时，；

当为偶数时，

2.通过解决根式的化简或求值问题，认真领会根式的运算性质，培养数学抽象和数学运算的核心素养.

【典例1】化简：

（1）；

解.

（2）；

.

（3）.

解由题意知，即.

原式.

题后反思根式化简或