人教A版（2023）必修第一册《4.5 函数的应用（二）》提升训练(含解析)

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一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知函数，，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是

A.B.

C.D.

2.（5分）设函数，若，，则关于的方程的根的个数为

A.B.C.D.

3.（5分）下面是函数在区间上的一些点的函数值

由此可判断：方程在解的个数

A.至少个B.个C.至多个D.个

4.（5分）记表示，，中的最大者，设函数，若，则实数的取值范围是

A.B.

C.D.

5.（5分）已知函数，若存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是

A.B.

C.D.

6.（5分）已知是上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为

A.B.C.D.

7.（5分）已知函数的两个零点为，，且，则

A.B.

C.D.

8.（5分）已知函数，若方程有三个不同的实数根，，，且，则的取值范围是

A.B.

C.D.

二、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）设、均为实数，关于的方程在复数集上给出下列结论，正确的是

A.存在、，使得该方程仅有个共轭虚根

B.存在、，使得该方程有个互不相等的实数根

C.存在、，使得该方程有个互不相等的根

D.存在、，使得该方程最多有个互不相等的根

10.（5分）函数的零点与的零点之差的绝对值不超过，则可以是

A.B.

C.D.

11.（5分）函数如果的零点从左到右分别是，，，…，下列结论正确的是

A.的取值范围是

B.时，

C.当最大时，

D.当最小时，

12.（5分）下列函数有两个零点的是

A.B.

C.D.

13.（5分）设函数，若有三个不同的实数根，则实数的取值可以是

A.B.C.D.

三、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）关于的方程有实数根，则实数的取值范围为______．

15.（5分）已知函数若存在使得函数有三个零点，则实数的取值范围是________.

16.（5分）已知函数若函数恰有两个零点，则实数的取值范围是___________．

17.（5分）某县目前人口万人，经过年后为万人，若人口年增长率是，则关于的函数关系式是__________.

18.（5分）已知关于的方程有两个正实根，则的取值范围是________.

四、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）根据条件求解下列问题

函数，若，求；

求函数的值域：．

20.（12分）已知函数．

作出函数的图象；

写出的单调增区间；

判断关于的方程的解的个数．

21.（12分）在本题中，我们把具有如下性质的函数叫做在区间上的闭函数：①的定义域和值域都是；②在上是增函数或者减函数.

若在区间上是闭函数，求常数的值；

找出所有形如的函数、都是常数，使其在区间上是闭函数.

22.（12分）已知二次函数的图象经过原点，函数是偶函数，方程有两相等实根．

求的解析式；

若对任意，恒成立，求实数的取值范围；

若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．

23.（12分）已知函数，当方程有个根时，求实数的取值范围．

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】解：设，

作出函数和的图象如图，

则是的图象沿着上下平移得到，

由图象知要使方程恰有三个不相等的实数解，

则等价为与的图象有三个不同的交点，

则满足，

即，

即，

即实数的取值范围是

故选：

设，则是的图象沿着上下平移得到，作出函数与的图象，利用图象关系确定两个函数满足的条件进行求解即可．

此题主要考查分段函数的应用，利用函数图象平移关系以及数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．

2.【答案】B;

【解析】解：，，

在上的对称轴为，最小值为，

，解得，．

，

作出的函数图象如图所示：

由图象可知与直线有两个交点，

方程有两解．

故选B．

求出的解析式，作出与的函数图象，根据图象的交点个数判断．

该题考查了方程解与函数图象的关系，属于中档题．

3.【答案】A;

【解析】

这道题主要考查函数的零点与方程根的关系和用二分法求方程的近似解，利用函数零点的存在性定理是解决本题的关键，属于基础题．

利用表格中的函数值，即可确定方程的近似解．

解：由所给的函数值的表格可以看出，

在与这两个数字对应的函数值的符号不同，

即，

函数的一个零点在上，

同理：函数的一个零点在上，

函数的一个零点在上，

函数的一个零点在上，

函数的一个零点在上，

故方程在解的个数至少有个．

故选：．

4.【答案】D;

【解析】解：函数的图象如图，

直线与曲线交点，，，，

故时，实数的取值范围是或．

故选：．

画出函数的图象，利用不等式，结合函数的图象求解即可．

该题考查函数与方程的应用，数形结合求解变量的范围，考查转化思想以及计算能力．

5.【答案】D;

【解析】解：，

，；

当时，有两个零点，不成立；

当时，在上有零点，故不成立；

当时，在上有且只有一个零点；

故在上没有零点；

而当时，在上取得最小值；

故；

故；

综上所述，

实数的取值范围是；

故选：．

由题意可得，；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．

该题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，同时考查了函数的零点的判定的应用，属于基础题．

6.【答案】B;

【解析】解：函数是定义在上的奇函数，

．

又函数，

，

函数是偶函数，

函数的零点都是以相反数的形式成对出现的．

函数在上所有的零点的和为，

函数在上所有的零点的和，即函数在上所有的零点之和．

由时，，故有，

函数在上的值域为，当且仅当时，．

又当时，，

函数在上的值域为，

函数在上的值域为，

函数在上的值域为，当且仅当时，，

函数在上的值域为，当且仅当时，，

故在上恒成立，在上无零点，

同理在上无零点，

依此类推，函数在无零点．

综上函数在上的所有零点之和为，

故选B．

由已知可分析出函数是偶函数，则其零点必然关于原点对称，故在上所有的零点的和为，则函数在上所有的零点的和，即函数在上所有的零点之和，求出上所有零点，可得答案．

该题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的零点，函数的图象和性质，其中在寻找上零点个数时，难度较大，故可以用归纳猜想的方法进行处理．

7.【答案】D;

【解析】解：函数的两个零点即函数，两个交点的横坐标，

作出两个函数的图象，如图，由图不难发现：，

，，排除、，

下面证明：，由图可知，，又，，

，又，

，即，

故选：．

转化函数的零点为两个函数的图象的交点，通过数形结合转化判断即可．

该题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及计算能力．

8.【答案】B;

【解析】

此题主要考查根的存在性与根的个数判断，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，属于中档题．

解：作出函数，的图象如图：

设直线与相切于，则，

曲线在切点处的切线方程为，

把原点代入可得：，得

要使直线与交于三个不同的点，则，则的取值范围是，

故选

9.【答案】ABD;

【解析】解：对于，令，为正实数，则该方程仅有个共轭的虚根，正确；

对于，若为实数，则方程可看做，只需保证有个不同的正解即可，如，，此时方程有个互不相等的实数根，正确；

对于，若为虚数，设，则原方程等价于，则，

又为虚数，故，则有，即，即最多有个根，所以方程最多有个根，只需，

如，，方程有，，，四个实根，有两个虚根；

故选：

令，为正实数，容易判断正确；，，此时方程有个互不相等的实数根，则正确；对于，，，方程有，，，四个实根，有两个虚根，由此错误正确．

此题主要考查函数零点与方程根的关系以及复数相关知识，考查运算求解能力，属于中档题．

10.【答案】BD;

【解析】

此题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于一般题.

判断出的零点范围，与选项逐一比对即可.

解：由题意，的零点，

计算可知，，

，，

所以的零点在内，

而的零点为，零点之差的绝对值超过，不符合，

的零点为，零点之差的绝对值不超过，符合，

的零点为，零点之差的绝对值超过，不符合，

的零点为，零点之差的绝对值不超过，符合，

故选

11.【答案】ABC;

【解析】

此题主要考查函数零点及函数图像，考查利用分段函数作出函数图像，考查推导能力，属于难题.

作出函数图像，利用函数与方程思想分析即可.

解：函数图像如图所示：

由可知，最多有个交点，但不可能有个零点，故错误；

在，由二次函数分析易得，该函数图像关于，对称，故错误；

当取最大时，，

即

，

又，故错误；

当最小时，，此时，由于此时，，故，故正确.

故选

12.【答案】BD;

【解析】解：对于选项A，函数与的图象相切于点，

因此只有一个零点；

对于选项B，画出和的图象，

可知它们有两个交点；

对于选项C，，

在上单调递增，则在上最多只有一个零点；

对于选项D，，在上单调递增，上单调递减，

，

又当时，，，则有两个零点．

故选：．

画图判定与；利用导数研究函数的单调性判断；利用导数求最值，判断函数零点的个数判断．

此题主要考查函数零点的判定，考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查数形结合的数学思想，是中档题．

13.【答案】AB;

【解析】解：作出函数，图象如下：

又有三个不同的实数根，

所以函数，与直线有三个交点，

由图象可得：

故选：

先作出函数的图象，有三个不同的实数根，化为函数，与直线有三个交点，结合图象，即可得出结果．

此题主要考查根据函数零点的个数求参数的问题，熟记指数函数与对数函数的性质，利用数形结合的思想，即可求解，属于常考题型，属于基础题．

14.【答案】（-，5）;

【解析】解：设，则的值域为，

所以有实数根，

即，

，

解得，

故答案为：．

依题意，的值域为，故方程有实数根可以等价为，解不等式即可．

此题主要考查了指数函数的值域，分式不等式的解法，属于中档题．

15.【答案】;

【解析】

此题主要考查了函数的零点与方程根的关系和分段函数，是较难题.

由题意得当时，在上单调递增，则函数不可能有三个零点，故只需考虑的情况，要使得函数有三个零点，只能，进一步求解即可.

解：函数，

若时，对称轴即时，在上单调递增，

若时，对称轴即时，在上单调递增，

所以当时，在上单调递增，

则函数不可能有三个零点，故只需考虑时的情况，

要使得函数有三个零点，只能，

即，即存在，使得即可，

令，当且仅当时等号成立，

因为，所以，

只要使即可，

而，

故，

即实数的取值范围是，

故答案为

16.【答案】（－1，2）

;

【解析】

此题主要考查函数零点问题，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

解：函数，图象如图所示，

函数恰有两个零点，即函数与恰有两个交点，

由图可得时，函数恰有两个零点，代入得，函数与恰有两个交点，

综上所述，或

故答案为

17.【答案】

;

【解析】

此题主要考查函数解析式的求法，指数函数模型的应用，属于基础题．

选择指数函数模型即可求得城市人口总数万人与年份年的函数关系式.

解：当时，；

当时，；

当时，；

……

所以关于的函数解析式为

故答案为

18.【答案】;

【解析】

此题主要考查了函数的零点与方程根的关系，根据根的分布得出不等式组解出即可.

解：由题意得，解得

即的取值范围是

故答案为

19.【答案】解：（1）由f（x）=，且f（x）=3，得

①，或②，或．

解得①得：x不存在，解②得：x=，解③得：x不存在．

∴x=；

（2）y==．

∵，∴3-．

故函数y=的值域为{y|y≠3}．;

【解析】

由各段的函数值等于求解得答案；

把已知函数解析式变形，利用反比例型函数的值域求解．

该题考查函数的零点与方程根的关系，考查了函数值域的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．

20.【答案】解：（1）见图；

（2）由（1）图知f（x）的单调递增区间：（-∞，）和（2，+∞）；

（3）由（1）图知，①a∈（-∞，0）∪（，+∞）时，函数f（x）=a有一个零点，即方程的根有1个，

②当a=0或时，方程的根由2个，

③a时，方程的根有3个．;

【解析】

将函数写出分段函数然后在平面直角坐标系中画出图象；

由中的图象得函数的单调递增区间；

用函数的交点判断根的情况．

考查方程的根与函数的交点之间的转化，属于中档题．

21.【答案】解：（1）因为f（x）=tan（ωx）在区间[-1，1]上是闭函数；

其定义域内包含0；

所以：当ω＞0时，函数递增，有tanω=1且tan（-ω）=-1ω=；

当ω＜0时，函数递减，有tanω=-1且tan（-ω）=1ω=-；

当ω=0时，函数f（x）=0，不成立；

所以：ω=±；

（2∵f（x）=alox+b在[1，9]上是闭函数；

当函数递增时有：alo1+b×1=1且alo9+b=9，

解得a=3且b=1；

此时f（x）=3lox+；符合函数递增的要求．

当函数递减时有：alo1+b×1=9且alo9+b=1，

解得a=-13且b=9；

此时f（x）=-13lox+9．其导函数为：f′（x）=-＜0在[1，9]上恒成立；符合减函数的要求．

∴满足条件的函数有：f（x）=3lox+和f（x）=-13lox+9．;

【解析】

直接讨论单调性，根据单调性求解即可；