2022-2023学年河北省保定市高一年级下册学期5月月考数学试题【含答案】

一、单选题1．已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】把已知式两边同除，从而利用复数的除法运算可得结果.【详解】由得.故选：C.2．如图，在四边形中，,，点在线段上，且，设，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由题意可得，利用表示，根据即可求解.【详解】在梯形中，，且，则，因为在线段上，且，则，，所以.故选:D.3．已知的斜二测画法的直观图为，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直观图和原图的面积关系，即可求解.【详解】由条件可知，，由,解得.故选:C.4．已知，，是三个两两不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题：①若，，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则.其中所有正确命题的编号是（

）A．①②③④ B．②③④ C．②④ D．③④【答案】B【解析】根据线线、线面、面面平行或垂直的判定与性质定理进行判断即可【详解】解：若，，，，则平行或相交，故①错误；若，，则，而，所以，故②正确；若，，，由线面平行的性质定理可得，故③正确；由选项可知④正确，故选：B【点睛】此题考查空间中，线线、线面、面面的平行与垂直的判定与性质，属于基础题5．如图是我国古代米斗，它是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等必备的用具.它是随着粮食生产而发展出来的用具，早在先秦时期就有，到秦代统一了度量衡，汉代又进一步制度化，十升为斗、十斗为石的标准最终确定下来.若将某个米斗近似看作一个四棱台.上、下两个底面都是正方形，侧棱均相等，上底面边长为25cm，下底面边长为15cm，侧棱长为10cm，则该米斗的容积约为（

）A．2830 B．2850 C．2870 D．2890【答案】D【分析】画出图形，作出辅助线，求出棱台的高，利用棱台体积公式进行计算.【详解】画出此四棱台，如下：则cm，cm，cm，过点B作BP⊥底面EFGH于点P，点P落在对角线HF上，过点P作PQ⊥EF于点Q，连接BQ，因为平面EFGH，所以BP⊥EF，因为，平面BPQ，所以EF⊥平面BPQ，因为平面BPQ，所以EF⊥BQ，其中cm，同理可得cm，由勾股定理得：cm，故cm，正方形EFGH的面积为，正方形ABCD的面积为，则该米斗的容积，故选：D6．已知平面向量，，则与夹角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量夹角公式直接求解即可.【详解】设与的夹角为，则，，.故选：B.7．在中，，，，点D在直线BC上，满足，则（

）．A． B． C． D．3【答案】B【分析】由题意和可得，即C为BD的中点，进而，结合平面数量积的定义和运算律计算即可求解.【详解】由题意知，，则，得C为BD的中点，所以，得，有，所以.故选：B.8．在三棱锥中，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知应用正弦定理求边，再应用斜边中线是斜边一半求出球的半径,最后根据表面积公式计算即可.【详解】为直角三角形,取PB中点O，中,,,,,所以O为球心，,外接球的表面积为.故选:A.二、多选题9．已知复数，下列命题正确的是（

）A． B．若，则C． D．若，则为实数【答案】AC【分析】根据复数的模长公式、共轭复数的定义以及复数的乘方，结合举反例，可得答案.【详解】对于A，设，则，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，设，，，，故C正确；对于D，设，，，当或时，，故D错误.故选：AC.10．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量为【答案】BCD【分析】对A，利用向量的减法和相反向量即可判断；对B，根据向量的加法平行四边形法则即可判断；对C，利用平面向量的数量积运算即可判断；对D，利用向量的几何意义的知识即可判断．【详解】连接，与交于点，如图所示，对于A：，显然由图可得与为相反向量，故A错误；对于B：由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法则有，与共线且同方向，易知，均为含角的直角三角形，故，，即，所以，又因为，故，故，故B正确；对于C：设正六边形的边长为，则，，所以，故C正确；对于D：易知，则在上的投影向量为，故D正确，故选：BCD．11．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（

）A．B．若为斜三角形，则C．若，则是锐角三角形D．若，则一定是等边三角形【答案】ABD【分析】由正弦定理和比例性质可以判断A，D选项，根据诱导公式及两角和公式判断B选项，由平面向量的数量积判断三角形形状判断C选项，【详解】对于A，由正弦定理和比例性质得，故A正确；对于B，由题意，，则，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以，所以C为钝角，是钝角三角形，故C错误；对于D，因为，所以，所以，且A，B，，所以，所以为等边三角形，故D正确．故选:ABD．12．如图，在矩形AEFC中，，EF=4，B为EF中点，现分别沿AB、BC将△ABE、△BCF翻折，使点E、F重合，记为点P，翻折后得到三棱锥P-ABC，则（

）A．三棱锥的体积为 B．直线PA与直线BC所成角的余弦值为C．直线PA与平面PBC所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的半径为【答案】BD【分析】证明平面，再根据即可判断A；先利用余弦定理求出，将用表示，利用向量法求解即可判断B；利用等体积法求出点到平面的距离，再根据直线PA与平面PBC所成角的正弦值为即可判断C；利用正弦定理求出的外接圆的半径，再利用勾股定理求出外接球的半径即可判断D.【详解】由题意可得，又平面，所以平面，在中，，边上的高为，所以，故A错误；对于B，在中，，，所以直线PA与直线BC所成角的余弦值为，故B正确；对于C，，设点到平面的距离为，由，得，解得，所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为，故C错误；由B选项知，，则，所以的外接圆的半径，设三棱锥外接球的半径为，又因为平面，则，所以，即三棱锥外接球的半径为，故D正确.故选：BD.三、填空题13．设复数满足条件，那么的最大值为．【答案】【分析】利用复数模的三角不等式可求得的最大值.【详解】因为，则，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.故答案为：.14．在棱长为2的正方体中，若E为棱的中点，则平面截正方体的截面面积为．【答案】【分析】作出截面截面，为的中点，则可得截面是边长为的菱形，求出其面积即可.【详解】如图，在正方体中，平面平面，平面与平面的交线必过且平行于，故平面经过的中点，连接，得截面，易知截面是边长为的菱形，其对角线，，截面面积．故答案为：．15．小赵想利用正弦定理的知识测量某钟塔的高度，他在该钟塔塔底点的正西处的点测得该钟塔塔顶点的仰角为，然后沿着东偏南的方向行进了后到达点（，，三点处于同一水平面），且点在点北偏东方向上，则该钟塔的高度为．（参考数据：取）【答案】【分析】先利用正弦定理求出，再由锐角三角函数求出．【详解】如图，，，则．由正弦定理，得，所以．故答案为：．四、双空题16．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.由于这个“圆柱容球”是阿基米德生前最引以为豪的发现，于是他留下遗言：他死后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形.如图，在底面半径为1的圆柱内的球O与圆柱的上、下底面及母线均相切，设A，B分别为圆柱的上、下底面圆周上一点，且与所成的角为，则与圆柱的底面所成角的正切值为；直线与球O的球面交于两点M，N，则的值为.【答案】【分析】设过A的圆柱的母线在底面的端点为，由圆柱的性质和已知条件求得，就是与圆柱的底面所成的角，解三角形可求得答案；连接，取的中点为G，解三角形可得G也是的中点，由此可求得答案.【详解】解：设过A的圆柱的母线在底面的端点为，则，则就是与圆柱的底面所成的角，由，得，则；在直角三角形中，，，所以与圆柱的底面所成角的正切值为；连接，由，得，取的中点为G，则；因为，，所以；由及，得G也是的中点，所以.故答案为：；.五、解答题17．已知向量.(1)当时，求的值；(2)求的取值范围.【答案】(1);(2).【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算求出，由即可求解；（2）根据及两角差的正弦公式化简，根据正弦函数的性质即可求解.【详解】（1）因为，所以，得，又，所以.（2）,因为，所以，则，所以，故.18．在中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且．(1)求C；(2)若，求A．【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理即可求解，（2）利用正弦定理边角互化，结合两角和的正弦公式即可得，进而可求解.【详解】（1）∵，∴，∴，由于C是三角形内角，∴．（2）由正弦定理可得，∴∴，∴，∴，∴．∵，∴，由于B是三角形内角，∴，则．19．如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，(1)求圆锥SO的侧面积；(2)若点是的中点，求三棱锥的体积【答案】(1)(2)【分析】（1）算出三角锥母线长度，再根据扇形面积公式计算即可；（2）利用等体积法可知，根据题意找出三棱锥的高和底面积即可.【详解】（1）圆锥母线长为：，圆锥侧面扇形弧长为：，圆锥SO的侧面积为：.（2）点是的中点，所以为等腰直角三角形，根据勾股定理可知，由此可得，.20．设的内角的对边分别为，已知．(1)判断的形状（锐角、直角、钝角三角形），并给出证明；(2)求的最小值．【答案】(1)是钝角三角形，证明见解析(2)【分析】（1）利用二倍角的正弦余弦公式及两角和的正弦公式，结合诱导公式及三角方程即可求解；（2）根据（1）的结论及诱导公式，利用正弦定理的边角化及二倍角的余弦公式，结合同角三角函数的平方关系及基本不等式即可求解.【详解】（1）是钝角三角形.由题意可知，，得，所以,于是有，得或，即或，又，，所以是钝角三角形.（2）由（1）知，,,有，所以当且仅当，即（为锐角），等号成立，所以的最小值为21．如图，在三棱柱中，若G，H分别是线段AC，DF的中点.(1)求证：；(2)在线段CD上是否存在一点，使得平面平面BCF，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见详解(2)存在，P是线段CD的中点，【分析】（1）根据三角形中位线分析证明；（2）根据题意结合线面、面面平行的判定定理分析证明.【详解】（1）连接，∵为平行四边形，由题意可得：G是线段BD的中点，则G，H分别是线段BD，DF的中点，故.（2）存在，P是线段CD的中点，理由如下：由（1）可知：，平面，平面，∴平面，连接，∵P、H分别是线段CD、DF的中点，则，平面，平面，∴平面，，面，故平面平面BCF.22．已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形.(1)求证：；(2)求点到平面的距离；(3)若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并说明点此时所在的位置.【答案】(1)证明见解析(2)(3)在线段上靠近点的处，【分析】（1）由题可得平面，故.根据菱形的性质可得，再根据线面垂直的判定定理与性质定理即可证明；（2）根据题干数据结合即可求解；（3）由线面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距离即为到平面的距离，过作垂线平面交于点，要使最大，则需使最小，此时，从而可求解.