第6讲 定值问题（解析版）

第6讲定值问题（先构造函数，再消去参数）考情分析在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引玉的作用．探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值二、经验分享1.定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．2.【知识拓展】1.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；2.设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；3.设点是抛物线C：一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；三、题型分析（一）与向量与距离有关的等式的定值问题例1．在直角坐标系中，曲线的点均在：外，且对上任意一点，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设（）为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点A，B和C，D.证明：当在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．【解析】（Ⅰ）（方法1）：设M的坐标为，由已知得，易知圆上的点位于直线的右侧.于是，所以.化简得曲线的方程为．（方法2）：由题设知，曲线上任意一点M到圆心的距离等于它到直线的距离，因此，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为．（Ⅱ）当点P在直线上运动时，P的坐标为，又，则过P且与圆相切的直线的斜率存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为.于是整理得①设过P所作的两条切线的斜率分别为，则是方程①的两个实根，故②由得③设四点A,B,C,D的纵坐标分别为，则是方程③的两个实根，所以④同理可得⑤于是由②，④，⑤三式得.所以，当P在直线上运动时，四点的纵坐标之积为定值6400．【方法点评】：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的．定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现．【变式训练1】【2016年北京】已知椭圆：的离心率为，，，，的面积为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．【解析】（Ⅰ）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设，则.当时，直线的方程为.令，得.从而.直线的方程为.令，得.从而.所以.当时，，所以.综上，为定值.（二）与距离和比值有关的定值问题例2．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，过作的平行线交于点.（I）证明为定值，并写出点的轨迹方程；（=2\*ROMANII）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．【解析】（Ⅰ）因为，，故，所以，故.又圆的标准方程为，从而，所以.由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：（）．（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.由得.则，.所以.过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以.故四边形的面积.可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.综上，四边形面积的取值范围为.【变式训练1】已知点是直线与椭圆的一个公共点，分别为该椭圆的左右焦点，设取得最小值时椭圆为．（1）求椭圆的标准方程及离心率；（2）已知为椭圆上关于轴对称的两点，是椭圆上异于的任意一点，直线分别与轴交于点，试判断是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)；（2）．【思路引导】（1）联立，得，由此利用韦达定理、椭圆定义，结合已知条件能求出椭圆的方程；（2）设，且，由已知求出，由此能求出为定值．试题解析：（1）联立，得，∵直线与椭圆有公共点，∴，解得，∴，又由椭圆定义知，故当时，取得最小值，此时椭圆的方程为；离心率为。（三）与平面图形有关面积的定值问题例3.【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考】如图,点,分别为椭圆的左右顶点,为椭圆上非顶点的三点,直线的斜率分别为,且,,.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）判断的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,请说明理由.【分析】（Ⅰ）设,则,而,所以（Ⅱ）根据弦长公式求底边的长,根据点到直线距离公式求底边上的高,因此设直线的方程为,由直线方程与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理得,根据斜率条件及韦达定理得,高为,代入面积公式化简得【解析】（Ⅰ）椭圆.（Ⅱ）设直线的方程为,,,,,,,,,,,.的面积为定值1.【点评】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【变式训练1】．【江西省赣州市十四县（市）2018届高三下学期期中】已知椭圆系方程：(，)，是椭圆的焦点，是椭圆上一点，且.（1）求的方程；（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于，两点，点关于原点的对称点为，求证：的面积为定值，并求出这个定值．【解析】（1）由题意得椭圆的方程为：，即．∵．∴，又为椭圆上一点，∴．，即，又，,∴椭圆的方程为．（2）解：①当直线斜率存在时，设方程为,由消去y整理得，∵直线与椭圆相切，∴，整理得．设，则，且，∴点到直线的距离，同理由消去y整理得，设，则，，．②当直线斜率不存在时，易知综上可得的面积为定值．【变式训练2】.【湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考】如图,设点的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积为．（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为,点是轨迹为上不同于的两点,且满足,求证：的面积为定值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知设点的坐标为,由题意知,化简得的轨迹方程为．（2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点,且,则直线斜率必存在且不为0,又由已知．因为,所以．设直线的方程为,代入椭圆方程,得．．．．①,．设的坐标分别为,则．又,所以,得．又,所以,即的面积为定值．（四）与斜率有关的定值问题例4．椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为l．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接．设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点．设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值．【解析】：（Ⅰ）由于，将代入椭圆方程得由题意知，即，又所以，，所以椭圆方程为（Ⅱ）由题意可知：=,=,设其中，将向量坐标代入并化简得：，因为，所以，而，所以（Ⅲ）由题意可知，l为椭圆的在p点处的切线，由导数法可求得，切线方程为：，所以，而，代入中得为定值．【变式训练1】【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试数学试题】已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且.（1）求的值；（2）已知点为上一点，，是上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标．【答案】（1）4；（2）证明过程见解析，直线恒过定点.【解析】（1）设，由抛物线定义知，又，，所以，解得，将点代入抛物线方程，解得.（2）由（1）知，的方程为，所以点坐标为，设直线的方程为，点，，由得，.所以，，所以，解得，所以直线的方程为，恒过定点．【名师点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题.（1）设点坐标，根据抛物线的定义得到点横坐标，然后代入抛物线方程，得到的值；（2），，直线和曲线联立，得到，然后表示出，化简整理，得到和的关系，从而得到直线恒过的定点.四、迁移应用1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.（1）证明：直线AB过定点：（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.【答案】（1）见详解；（2）3或.【解析】（1）设，则.由于，所以切线DA的斜率为，故.整理得设，同理可得.故直线AB的方程为.所以直线AB过定点.（2）由（1）得直线AB的方程为.由，可得.于是，.设分别为点D，E到直线AB的距离，则.因此，四边形ADBE的面积.设M为线段AB的中点，则.由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.当=0时，S=3；当时，.因此，四边形ADBE的面积为3或.【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.2．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．（1）求抛物线C的方程及其准线方程；（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）见解析.【解析】（1）由抛物线经过点，得.所以抛物线的方程为，其准线方程为.（2）抛物线的焦点为.设直线的方程为.由得.设，则.直线的方程为.令，得点A的横坐标.同理得点B的横坐标.设点，则，.令，即，则或.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点和.【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．【2019年高考天津卷理数】设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，．所以，椭圆的方程为．（2）由题意，设．设直线的斜率为，又，则直线的方程为，与椭圆方程联立整理得，可得，代入得，进而直线的斜率．在中，令，得．由题意得，所以直线的斜率为．由，得，化简得，从而．所以，直线的斜率为或．【名师点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识．考查用代数方法研究圆锥曲线的性质．考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力．4.【2019-2020巴蜀中学2020届高考适应性月考卷理科（四）试卷】已知椭圆：，直线与该椭圆交于，两点，为椭圆上异于，的点.若，且以为直径圆过点，求该圆的标准方程；直线，分别与轴交于，两点，是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.【解析】：（1）联立得，所以，，所以，，以为直径圆过点，故，即，解得（舍）或.当时，，，所以圆心坐标为，半径，圆的标准方程为.（2）由题意，直线，斜率存在，设，，，则，因为点在椭圆上，所以由得.直线的方程为，令得，同理，所以.故是定值.5.已知椭圆：的离心率，若椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一动点和，组成的面积最大为.（1）求椭圆的方程；（2）若存在直线和椭圆相交于不同的两点，，且原点与,连线的斜率之和满足：=2，求直线的斜率的取值范围.【答案】：（1）（2）【解析】：（1）由题可知的面积最大为.椭圆的方程（2）设，将代入得：，由韦达定理得，又由判别式得=1\*GB3①=2\*GB3②联立=1\*GB3①=2\*GB3②有：，解