备战中考数学（北师大版）巩固复习平行线的证明（含解析）

第页2023备战中考数学〔北师大版〕稳固复习-平行线的证明〔含解析〕一、单项选择题1.如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠2=50°，那么∠1的度数为〔

〕

A.

10°

B.

20°

C.

30°

D.

40°2.如图，直线a、b被直线c所截，现给出以下四个条件：〔1〕∠1=∠5；〔2〕∠4=∠7，〔3〕∠2+∠3=180°；〔4〕∠1=∠7；其中能判定a∥b的条件的序号是〔〕

A.

〔1〕，〔2〕

B.

〔2〕，〔3〕

C.

〔1〕，〔4〕

D.

〔3〕，〔4〕3.在以下条件中：①∠A+∠B=∠C；②∠A=∠B=2∠C；③∠A=∠B=α∠C；④∠A﹕∠B﹕∠C=1﹕2﹕3中能确定△ABC为直角三角形的条件有〔

〕A.

2个

B.

3个

C.

4个

D.

5个4.以下命题中，正确的选项是〔〕A.

圆心角相等，所对的弦的弦心距相等

B.

三点确定一个圆

C.

平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

D.

弦的垂直平分线必经过圆心5.如图，以下能判定的条件有(

)个。

(1)；(2)；(3)；(4)。

A.

1

B.

2

C.

3

D.

46.如图，把一块含有45°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是〔〕

A.

30°

B.

25°

C.

20°

D.

15°7.如图，能判定EC∥AB的条件是〔〕

A.

∠B=∠ECD

B.

∠A=∠ECD

C.

∠B=∠ACE

D.

∠A=∠ACB8.能说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a〞是假命题的一个反例可以是〔

〕A.

a=﹣2

B.

a=

C.

a=1

D.

a=二、填空题9.如图，B处在A处南偏西50°方向，C处在A处的南偏东20°方向，C处在B处的北偏东80°方向，那么∠ACB=________．

10.命题“对顶角相等〞的逆命题是

________命题〔填“真〞或“假〞〕．11.∠AOB=80°，∠AOC=30°，那么∠BOC=________

12.命题“垂直于同一条直线的两条直线平行〞的题设是________，结论是________．

13.如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=30°，那么∠2的度数为________

​14.一副直角三角板叠放如下图，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转∠α〔α=∠BAD且0°＜α＜180°〕，使两块三角板至少有一组边平行．

〔1〕如图①，α=________

时，BC∥DE；

〔2〕请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空：图②中α=________

时，________

∥________

；图③中α=________

时，________

∥________

．

15.如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，假设其中一个角为40°，那么另一个角为________.16.如图，一个直角三角板的直角顶点落右直尺上，假设∠1=56°，那么∠2的度数为________

​三、计算题17.如图，AD⊥BC，∠1=∠2，∠C=55°．求∠BAC的度数．18.如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，求∠CDF的度数．19.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，假设∠DBC=45°，∠A=70°，求∠D，∠AED，∠BFE的度数．四、解答题20.：如图，在△ABC中，∠BAC=80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B=60°；求∠DAE的度数．21.如图，AB∥CD，分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以说明．〔适当添加辅助线，其实并不难〕

五、综合题22.如图，AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P=90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F

〔1〕当△PMN所放位置如图①所示时，那么∠PFD与∠AEM的数量关系为________；〔2〕当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM=90°；〔3〕在〔2〕的条件下，假设MN与CD交于点O，且∠DON=30°，∠PEB=15°，求∠N的度数．23.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC交CD于E，DF平分∠ADC交AB于F．

〔1〕假设∠ABC=60°，那么∠ADC=________

°，∠AFD=________°；〔2〕BE与DF平行吗？试说明理由．24.以下命题中哪些是假命题？为什么？〔1〕如果

，那么x<4〔2〕各边对应成比例的两个多边形一定相似。〔3〕如果a≠0,b≠0,那么a²+ab+b²=(a+b)²〔4〕两个锐之和一定是钝角答案解析局部一、单项选择题1.【答案】A【考点】平行线的性质【解析】【解答】如图，过E作EF∥直线a，

那么EF∥直线b，

∴∠3=∠1，∠4=∠2，

∴∠1=60°﹣∠2=10°，

故答案为：A．

【分析】先根据平行线的性质∠3=∠1，∠4=∠2，再条件即可得到∠1的度数.2.【答案】C【考点】平行线的判定【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行可得：∠1=∠5时a∥b；根据∠1=∠7，∠7=∠5可得∠1=∠5，进而可根据同位角相等，两直线平行．【解答】∵∠1=∠5，

∴a∥b〔同位角相等，两直线平行)，

∵∠1=∠7，∠7=∠5，

∴∠1=∠5，

∴a∥b〔同位角相等，两直线平行)，

应选：C．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．3.【答案】A【考点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C+∠C=180°，即∠C=90°，

此时△ABC为直角三角形，①可以；②∵∠A=∠B=2∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，

∴2∠C+2∠C+∠C=180°，

∴∠C=36°，∠A=∠B=2∠C=72°，

△ABC为锐角三角形，②不可以；③∵∠A=∠B=α∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，

∴α∠C+α∠C+∠C=180°，

∴∠C=，∠A=∠B=α∠C=，

△ABC为锐角三角形，③不可以；④∵∠A﹕∠B﹕∠C=1﹕2﹕3，

∴∠A+∠B=∠C，同①，

此时△ABC为直角三角形，④可以；

综上可知：①④能确定△ABC为直角三角形．

应选A．

【分析】结合三角形的内角和为180°逐个分析4个条件，可得出①④中∠C=90°，②③能确定△ABC为锐角三角形，从而得出结论．4.【答案】D【考点】命题与定理【解析】【解答】解：A、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故本选项错误；

B、不在一条直线上的三点确定一个圆，错误；

C、平分弦的直径不一定垂直于弦，错误；

D、弦的垂直平分线必经过圆心，正确；

应选D

【分析】根据有关性质和定理分别对每一项进行判断即可．5.【答案】C【考点】平行线的判定【解析】【分析】〔1)中，可以得证，属于同旁内角互补，两直线平行的知识点的考查。〔2)中，，不可以得证，2的条件只可以得到AD//BC。〔3)中，可以得证，属于内错角相等，两直线平行；〔4)中，可以得证，属于同位角相等，两直线平行，应选C。

【点评】此题属于对同位角和内错角等根本知识的综合考查。6.【答案】B【考点】平行线的性质【解析】【分析】此题主要利用两直线平行，同位角相等作答．【解答】根据题意可知，两直线平行，同位角相等，

∴∠1=∠3，

∵∠3+∠2=45°，

∴∠1+∠2=45°

∵∠1=20°，

∴∠2=25°．

应选：B．【点评】此题主要考查了两直线平行，内错角相等的性质，需要注意隐含条件，直尺的对边平行，等腰直角三角板的锐角是45°的利用7.【答案】A【考点】平行线的判定【解析】【解答】解：A、∵∠B=∠ECD，∴AB∥CE〔同位角相等两直线平行〕．故A正确．

B、∠A与∠ECD不是直线AB、CE被直线BD所截的同位角或内错角，故错误．

C、∠B与∠ACE不是直线AB、CE被直线BD所截的同位角或内错角，故错误．

D、∠A与∠ACB不是直线AB、CE被直线BD所截的同位角或内错角，故错误．

应选A．

【分析】根据平行线的判定方法，逐一判定即可．8.【答案】A【考点】命题与定理【解析】【解答】解：说明命题“对于任何实数a，|a|＞﹣a〞是假命题的一个反例可以是a=﹣2，

故答案为：A．

【分析】反例就是符合条件但不满足结论的列子，可由次判断出正确选项.二、填空题9.【答案】80°【考点】平行线的性质，三角形内角和定理【解析】【解答】解：如下图：

由题意得，∠EAB=50°，∠EAC=20°，

那么∠BAC=70°，

∵BD∥AE，

∴∠DBA=∠EAB=50°，

又∵∠DBC=80°，

∴∠ABC=30°，

∴∠ACB=180°﹣70°﹣30°=80°．

故答案为：80°．

【分析】此题运用平行线的性质可知∠DBA=∠EAB=，因为∠DBC=，所以可知∠ABC=，再用三角形内角和为，可得∠ACB的度数.10.【答案】假【考点】命题与定理【解析】【解答】解：命题“对顶角相等〞的逆命题是相等的角为对顶角，此逆命题为假命题．

故答案为假．

【分析】先交换原命题的题设与结论得到逆命题，然后根据对顶角的定义进行判断．11.【答案】110°或50°【考点】三角形内角和定理【解析】【解答】解：①射线OC在∠AOB的外部，如图1，∠AOC=∠AOB+∠BOC=80°+30°=110°；

②射线OC在∠AOB的内部，如图2，∠AOC=∠AOB﹣∠BOC=80°﹣30°=50°．

故答案为：110°或50°．

【分析】分两种情况进行讨论：①射线OC在∠AOB的外部；②射线OC在∠AOB的内部；从而算出∠AOC的度数．12.【答案】两条直线垂直于同一条直线；这两条直线互相平行【考点】命题与定理【解析】【解答】“垂直于同一条直线的两条直线平行〞的题设是两条直线垂直于同一条直线，结论是这两条直线互相平行．

【分析】命题由题设和结论两局部组成，题设是事项，结论是由事项推出的事项．13.【答案】60°【考点】平行线的性质【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，∠1=30°，

∴∠3=∠ACB﹣∠1=90°﹣30°=60°，

∵a∥b，

∴∠2=∠3=60°．

故答案为：60°．

【分析】由∠ACB=90°，∠1=30°，即可求得∠3的度数，又由a∥b，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．14.【答案】15°；60°；BC；DA；105°；BC；AE【考点】平行线的判定【解析】【解答】解：〔1〕图①中α=15°时，BC∥DE，

∵BC∥DE，

∴∠1=∠B=60°，

∵∠1=∠D+∠α，∠D=45°，

∴∠α=15°

α=∠CAD﹣∠CAB=45°﹣30°=15°．

〔2〕图②中α=60°时，BC∥DA，

∵∠BAC=30°，∠α=60°，

∴∠DAC=90°=∠C，

∴∠DAC+∠C=180°，

∴BC∥DA；

图③中α=105°时，BC∥EA．

∵∠α=105°，∠DAE=45°，

∴∠EAB=60°，

∵∠B=60°，

∴∠EAB=∠B，

∴BC∥EA．

故答案为：〔1〕15；〔2〕60；BC；DA；105；BC；AE．

【分析】〔1〕利用两直线平行同位角相等，并求得α=45°﹣30°=15°；

〔2〕利用平行线的性质及旋转不变量求得旋转角即可．15.【答案】40°或140°【考点】平行线的性质【解析】【解答】∵一个角的两边与另一个角的两边分别平行，

∴这两个角相等或互补，

∵一个角为40°，

∴另一角为：40°或140°．

【分析】根据平行线的性质，一个角的两边与另一个角的两边分别平行，这两个角相等或互补，从而得出答案。16.【答案】34°【考点】平行线的性质【解析】【解答】解：∵一个直角三角板的直角顶点落右直尺上，∠1=56°，

∴∠3=90°﹣56°=34°．

∵直尺的两边互相平行，

∴∠2=∠3=34°．

故答案为：34°．

【分析】先根据余角的性质得出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．三、计算题17.【答案】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，

∴∠DAC=90°﹣55°=35°，∠1=∠2=45°，

∴∠BAC=∠1+∠DAC=45°+35°=80°【考点】三角形内角和定理【解析】【分析】先根据AD⊥BC可知∠ADB=∠ADC=90°，再根据三角形的内角和定理求出∠1与∠DAC的度数，由∠BAC=∠1+∠DAC即可得出结论．18.【答案】解：∵∠A=30°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=80°．

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠ACB=40°．

∵CD⊥AB于D，

∴∠CDA=90°，

∠ACD=180°﹣∠A﹣∠CDA=60°．

∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=20°．

∵DF⊥CE，

∴∠CFD=90°，

∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠ECD=70°．【考点】三角形内角和定理【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角的平分线的定义求得∠BCE的度数，那么∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．19.【答案】解：∵DC⊥BC，∠DBC=45°，∴∠D=90°﹣∠DBC=90°﹣45°=45°；

∵AB⊥BC，DC⊥BC，

∴AB∥CD，

∴∠AED=∠A=70°；

在△DEF中，∠BFE=∠D+∠AED，

=45°+70°，

=115°．【考点】三角形内角和定理【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余列式求解即可得到∠D，根据在同一平面内垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AED=∠A，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BFE=∠D+∠AED．四、解答题20.【答案】解：∵AD⊥BC，∴∠BDA=90°．

∵∠B=60°，

∴∠BAD=180°﹣90°﹣60°=30°

∵∠BAC=80°

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=80°﹣30°=50°．

∵AE平分∠DAC，

∴∠DAE=0.5∠DAC=25°【考点】三角形内角和定理【解析】【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠BAD，根据和差关系和角平分线的定义求得∠DAE．21.【答案】解：如图：

〔1〕∠APC=∠PAB+∠PCD；

证明：过点P作PF∥AB，那么AB∥CD∥PF，

∴∠APC=∠PAB+∠PCD〔两直线平行，内错角相等〕．

〔2〕∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；

〔3〕∠APC=∠PAB﹣∠PCD；

〔4〕∵AB∥CD，

∴∠POB=∠PCD，

∵∠POB是△AOP的外角，

∴∠APC+∠PAB=∠POB，

∴∠APC=∠POB﹣∠PAB，

∴∠APC=∠PCD﹣∠PAB．【考点】平行线的性质【解析】【分析】关键过转折点作出平行线，根据两直线平行，内错角相等，或结合三角形的外角性质求证即可．五、综合题22.【答案】〔1〕∠PFD+∠AEM

〔2〕解：证明：如图②所示：

∵AB∥CD，

∴∠PFD+∠BHF=180°，

∵∠P=90°，

∴∠BHF+∠2=90°，

∵∠2=∠AEM，

∴∠BHF=∠PHE=90°﹣∠AEM，

∴∠PFD+90°﹣∠AEM=180°，

∴∠PFD﹣∠AEM=90°；

〔3〕解：如图③所示：

∵∠P=90°，

∴∠PHE=90°﹣∠FEB=90°﹣15°=75°，

∵AB∥CD，

∴∠PFC=∠PHE=75°，

∵∠PFC=∠N+∠DON，

∴∠N=75°﹣30°=45°．

【考点】平行线的性质【解析】【解答】解：〔1〕作PG∥AB，如图①所示