【解析】【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第22题

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【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第22题

一、原题

1．（2023·新高考Ⅰ卷）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0，)的距离，记动点P的轨迹为W.

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于.

【答案】（1）设，由题意可得，化简得，

所以动点P的轨迹方程W为

（2）假设三点在W上，设且，因为ABCD为矩形，所以，

所以，

又，所以，

矩形ABCD周长

不妨设且

原式

令，，，，

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增。∴

∴原式，即矩形ABCD的周长大于

【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；平面内两点间的距离公式；抛物线的定义

【解析】【分析】(1)利用两点间距离等于点到坐标轴距离，求轨迹方程。

（2）利用矩形的两边垂直向量表示建立等式，寻找等量关系，利用两点间距离表示周长进而利用不等式的知识进行化简与放缩转化成单变量最值问题，结合导数分析其最值可得.

二、基础

2．（2022·邯郸模拟）平面直角坐标系中，点在轴右侧，且到点的距离比其到轴距离多1.

（1）求点轨迹的方程；

（2）过点的直线与交于两点，是轴上一点.若是正三角形，求直线的斜率.

【答案】（1）解：设点坐标为，且.

由题意，

整理得

（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，AB的中点

联立方程得

则，且，

从而，即

设，由于为正三角形，则

，即，即

又∵，，

，

故，即，

即

即，解得，

直线的斜率

【知识点】轨迹方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)首先设出点的坐标，然后由已知条件代入整理即可得出点P的轨迹方程。

(2)根据题意设出点的坐标，再由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合斜率公式即可得出a与m的关系式，并把结果代入到弦长公式整理化简计算出m的取值，从而得出斜率的值。

3．（2023高二上·河池期末）已知M，N是椭圆的上顶点和右顶点，且直线的斜率为．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）设A为椭圆E的左顶点，B为椭圆E上一点，C为椭圆E上位于第一象限内的一点，且，求直线的斜率．

【答案】（1）解：椭圆的上顶点为和右顶点为，

因为直线的斜率为，

所以，，

所以离心率为，

（2）解：因为离心率，所以，则，

所以椭圆方程为，，

设，

则，得，则，

因为在椭圆上，所以，，

解得，

则直线的斜率为，

【知识点】斜率的计算公式；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)由椭圆的简单性质即可求出顶点的坐标，由此即可求出直线的斜率，结合椭圆里a、b、c的关系以及离心率公式，计算出结果即可。

(2)根据题意由离心率公式以及椭圆里a、b、c的关系，整理化简即可得出a与b的关系，设出点的坐标，结合向量坐标运算公式，即可得出再把之间的关系，再把点的坐标代入到椭圆的方程，结合离心率公式整理化简即可得出答案。

4．（2023高二上·白云期末）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）已知过点的直线与曲线C相交于两点，，请问点P能否为线段的中点，并说明理由.

【答案】（1）解：动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是

则

等式两边平方可得：

化简得曲线C的方程为：

（2）解：点不能为线段的中点，理由如下：

由（1）知，曲线C的方程为：

过点的直线斜率为，，

因为过点的直线与曲线C相交于两点，

所以，两式作差并化简得：①

当为的中点时，则，②

将②代入①可得：

此时过点的直线方程为：

将直线方程与曲线C方程联立得：

，

，无解

与过点的直线与曲线C相交于两点矛盾

所以点不能为线段的中点

【知识点】斜率的计算公式；轨迹方程；曲线与方程；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据题意由点到直线的距离公式和两点间的距离公式，整理化简即可得出曲线的方程。

(2)由(1)的结论结合斜率的坐标公式，利用设而不求法设出点的坐标，结合点差法以及中点的坐标公式，计算出k的取值由此即可得出直线的方程，再联立直线与曲线的方程消元后得到关于x的方程，结合二次函数的图象和性质即可得出结论与已知条件矛盾，从而即可得出结论。

5．（2023高二上·河池期末）已知双曲线的离心率为2，且过点．

（1）求双曲线C的方程；

（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段的中点为，当时，求的值．

【答案】（1）解：由已知，，所以，

且过点，所以，解得，，

所以双曲线C的方程为.

（2）解：设，

由得，

所以，，

即，，所以.

【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可得出a与b的关系，再把点的坐标代入计算出a与b的值，由此即可得出椭圆的方程。

(2)利用设而不求法设出点的坐标，由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，然后把结果代入到代数式整理化简计算出结果即可。

6．（2023高二上·太原期末）已知定点，动点到点F的距离比它到y轴的距离大1．

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）过的直线，分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线，的斜率分别为，，若，求证：直线MN的斜率为定值．

【答案】（1）解：由题设，，则，又，

∴，故动点P的轨迹方程为.

（2）解：由题设，令为，为，

联立抛物线，可得：，若，，

∴，则，同理可得，则，

∴，为定值.

【知识点】直线的斜率；轨迹方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合抛物线的定义，整理化简即可得出点P的轨迹方程。

(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程，由此求解出x的取值，再由斜率的坐标公式代入整理化简计算出结果即可。

7．（2023高二上·包头期末）已知抛物线，准线方程为.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若定点，直线l与地物线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率.

【答案】（1）解：因为准线方程为.所以，即.

所以抛物线的标准方程为.

（2）解：设，由可得

，从而有，即，

化简得

因为直线l过点，所以设直线l的方程为，

将其与抛物线C的方程联立得，

故，.

而

，即，解得或﹣1，

所以直线l的斜率为或﹣1.

【知识点】斜率的计算公式；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据题意由抛物线的简单性质结合已知条件，计算出P的值从而即可得出抛物线的方程。

(2)由设而不求法设出点的坐标，结合向量的坐标公式由已知条件计算出点的坐标，由此即可求出直线的方程再联立抛物线的方程消元后，结合韦达定理以及向量的坐标公式，代入计算出m的取值，由此即可得出斜率的值。

8．（2023高二上·大连期末）已知抛物线C：上的点T（3，t）到焦点F的距离为4.

（1）求p的值；

（2）设A，B是抛物线C上分别位于x轴两侧的两个动点，且，其中O为坐标原点.求证：直线AB过定点.

【答案】（1）解：由抛物线定义得，

（2）解：设直线的方程为：，

联立，消去得：，则，

由得：，所以或（舍）

即，所以直线的方程为，所以直线过定点.

【知识点】恒过定点的直线；抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据题意由抛物线的定义，整理化简计算出P的取值，从而即可得出抛物线的方程。

(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理得到关于m和n的两根之和与两根之积的代数式，结合数量积的坐标公式计算出n的值，从而得出直线的方程，由此即可求出定点的坐标。

9．（2022高三上·海口）已知双曲线的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值．

【答案】（1）虚轴长为4，，即，

直线为双曲线的一条渐近线，

，，

故双曲线的标准方程为．

（2）由题意知，，，

由题可知，直线l斜率不能为零，故可设直线的方程为，

设，，，

联立，得，

，，

，

直线的斜率，直线的斜率，

，为定值．

【知识点】斜率的计算公式；双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据题意由双曲线的方程求出b的取值，再由双曲线的渐近线方程计算出a的取值，由此即可得出双曲线的方程。

(2)由已知条件即可得出直线的方程，再联立直线与双曲线的方程，消元后得到关于y的方程，结合韦达定理计算出两根之和与两根之积的关于n的代数式，然后由直线斜率的坐标公式代入整理化简计算出结果即可。

三、提高

10．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆交于两点，求的最大值.

【答案】（1）解：由椭圆的离心率为，可得，可得，

设椭圆方程，将点代入方程，可得，

故方程为.

（2）解：设且，

联立方程，整理得，

由，可得，且，，

又由原点到的距离，

由圆锥曲线的弦长公式，可得，

所以

令，可得

当且仅当，即时，面积取到最大值

【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)由椭圆的离心率为得，设椭圆方程，将点代入得，即椭圆方程；

(2)设与椭圆方程联立结合韦达定理得，，利用点到直线距离公式和弦长公式得结合基本不等式求面积的最大值.

11．（2023高二下·深圳期末）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.

（1）求的方程；

（2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与圆分别交于两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围.

【答案】（1）解：由题可知是双曲线的一条渐近线方程，右焦点为，

所以右焦点到渐近线的距离，

又因为，所以，则依题意可得，

由离心率，解得，

所以双曲线的方程为.

（2）解：如图所示，

由（1）知，，

设直线的方程：，

由得，

因为直线与双曲线的右支交于两点，

所以解得，

，

所以，

设，且，

所以，即，所以，

又因为，所以，

由，得，

所以，同理可得，

由得，

所以，同理可得，

所以

，

令，由，得，

所以，

令，

因为在区间上为增函数，

所以的取值范围为，

又因为，

所以的取值范围为.

【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用

【解析】【分析】（1）首先根据右焦点到渐近线的距离为可求出b，再根据离心率可求出a，即可求出双曲线的方程；

（2）首先将直线PQ与双曲线的方程进行联立，可求出，设，根据以及，可得，将直线AP与双曲线的方程进行联立，可用m表示出和，即可用m表示出，令，将求的取值范围转化为求，即可求出答案.

12．（2023高二下·安宁期末）已知椭圆，（，），过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若，是椭圆上位于两侧的动点，当，运动时，始终保持平分，求证：直线的斜率为定值．

【答案】（1）解：由题意知，点在椭圆上，即，解得：，

所以椭圆的方程为：；

（2）解：由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，

因为平分，所以直线的斜率为，

则直线为：，直线为：，

联立直线与椭圆：

消得：

解得：，，

同理可得：，，

所以

所以，

即直线的斜率为定值.

【知识点】椭圆的标准方程

【解析】【分析】本题考查椭圆标准方程和过椭圆的直线问题，

（1）由题中已知条件可以确定又焦点F2的横坐标为2，又因为点A在椭圆上联立方程即可求出a2、b2的值，从而得到椭圆C的方程；

（2）因为M、N是椭圆上位于AB两侧的动点，所以AM、AN的斜率存在，设出AM、AN的斜率，写出AM、AN的方程，联立方程组求解即可.

13．（2023高二下·黄浦期末）椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若为直角三角形，求的面积；

（3）线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：由椭圆的方程为，得标准方程为，

则，故，

所以离心率；

（2）解：设，，

当时，，

此时，

由对称性，不妨设，且在第一象限，

令，得，则，

此时，

综上，的面积为或；

（3）解：设，则直线，

由已知，

同理：，

因而，是方程的两根，

所以，得，

又点为椭圆上的动点，

所以，则，

由在第一象限得，所以，

所以存在，.

【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）根据椭圆C的方程可求出a、b、c的值，根据可求出椭圆的离心率；

（2）分和两种情况，求出；

（3）首先设，则直线，可得，同理，证得，即证明了，是方程的两根，其次可求出的值，得到，再根据点为椭圆上的动点，可求P的坐标．

14．（2023高二下·静安期末）在平面直角坐标系中，设，动点满足：，其中是非零常数，分别为直线的斜率.

（1）求动点的轨迹的方程，并讨论的形状与值的关系；

（2）当时，直线交曲线于两点，为坐标原点.若线段的长度，的面积，求直线的方程.

【答案】（1）解：设，

因为，动点满足：，分别为直线的斜率，

所以，即，

即动点的轨迹的方程为.

讨论的形状与值的关系如下：

当时，的形状为双曲线；

当时，的形状为焦点位于x轴的椭圆；

当时，的形状为圆；

当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆；

（2）解：当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆，方程为.

由题意知，直线斜率存在，

联立，则，

，

则，

所以，

所以，

设到直线距离为，直线

则，

所以，平方得，

代入上式得，则，

平方得，即，

所以，得，则，

则，所以，

此时成立，

所以直线的方程为，

即或或或.

【知识点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)、设，因为，动点满足：，分别为直线的斜率，即动点的轨迹的方程为，分情况讨论即可求出.

(2)、当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆，方程为，求出，设到直线距离为，直线，求出，求出，根据判别式求出即可.

15．（2023高二下·安徽月考）已知直线过定点，双曲线过点，且的一条渐近线方程为.

（1）求点的坐标和的方程；

（2）若直线与交于，两点，试探究：直线，的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）由直线知，，

得定点.

则，解得，

故的方程为.

（2）

由（1）知，，设，.

联立，

整理得，

则，且，

∴且，

∴，，

∴

所以直线，的斜率之和是为定值，定值为3.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)将直线化简为，即可得出点A的坐标，再根据渐近线方程即可求出C的方程；

(2)联立双曲线和直线由韦达定理，表达出代入韦达定理，即可求出直线，的斜率之和是为定值.

16．（2023高三下·吉林）已知抛物线：与圆：相交于四个点．

（1）当时，求四边形面积；

（2）当四边形的面积最大时，求圆的半径的值．

【答案】（1）解：将代入，并化简得，解得或，代入抛物线方程可得

故；

（2）解：不妨设与的四个交点的坐标为．

则直线的方程分别为，，两方程相加可得，故，解得点的坐标为．

联立抛物线与圆的方程有，即，可得.

设，则，由（1）知由于四边形为等腰梯形，因而其面积

则将代入上式，并令，得．

求导数，令，解得：（舍去）．

当时，；当时，；当时，.

故当且仅当时，此时．

【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；圆的标准方程；抛物线的应用

【解析】【分析】（1）将代入求出四点坐标利用梯形面积公式求四边形面积；

（2）求出四点坐标利用梯形面积公式写出四边形面积，利用导数判断四边形面积最大时圆的半径的值。

17．（2023·黄埔）直线经过点且与抛物线交于两点．

（1）若，求抛物线的方程；

（2）若直线与坐标轴不垂直，，证明：的充要条件是．

【答案】（1）解：因为抛物线经过点，可得，解得，

所以抛物线的方程为.

（2）证明：设直线的方程为，，

联立方程组，整理得，

则，．

当时，直线的斜率之和为

，

因为

，

所以，即的倾斜角互补，所以．

反之，当时，直线的斜率之和为0，

即，

所以，

即，

因为，所以，

即，

所以，可得，

综上所述，的充要条件是．

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)由抛物线C经过点A(1，2)，代入求得p=2，即可得抛物线方程；

(2)设直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得，，当m+t=0时，求得kAM+kBM=0得到充分性成立，反之由∠TMA=∠TMB时，根据kAM+kBM=0，求得，可得，得出必要性成立，即可得证的充要条件是．

18．（2023高二下·钦州期中）已知椭圆：的右焦点为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为2，圆经过椭圆短轴顶点和两个焦点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，点、满足：.试问，是否存在点，使得、、、四点到点的距离均相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：设点的坐标为.

因为过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为2，

所以点在椭圆上，即.

又圆经过椭圆短轴顶点和两个焦点，所以，所以.

故椭圆的标准方程为.

（2）解：由题意可知，直线的方程为：，代入，

整理得.

设，，则，，

所以由，得，，

所以线段垂直平分线的方程为：，

线段垂直平分线的方程为：.

由，得交点.

不妨设，由，得，

所以，

，

所以，

故存在点，使得、、、四点到点的距离均相等.

【知识点】椭圆的标准方程

【解析】【分析】(1)、设点的坐标为.因为过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为2，所以点在椭圆上，即.又圆经过椭圆短轴顶点和两个焦点，所以，所以.

(2)、由题意可知，直线的方程为：，代入，整理得.设，，则，，所以由，得，，所以线段垂直平分线的方程为：，线段垂直平分线的方程为：.

19．（2023·浙江模拟）已知双曲线的离心率为，且经过点．

（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（2）已知过点的直线与过点的直线的交点N在双曲线C上，直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，证明为定值，并求出定值．

【答案】（1）解：因为双曲线经过点，所以.

又因为，所以，，

所以双曲线C的标准方程为，渐近线方程为．

（2）解：设点，则，即.

因为为直线和直线的交点，

所以，所以点都在直线上，

所以所在的直线方程为，

将直线与渐近线方程联立得，解得，

即，同理得，

所以，

因为

，

所以，

所以为定值6.

【知识点】双曲线的标准方程

【解析】【分析】本题主要考查双曲线的运用，

（1）考生要熟记双曲线C的标准方程及其渐近线方程公式，根据题意可以计算出，，，即可求得双曲线C的标准方程为，渐近线方程为；

（2）第二小题难度略有增加，此时就要根据题目进行曲线画图，将N点假设，再用N点表示出所在的直线方程，直线与渐近线方程联立，算出点P、Q的坐标，再计算即可.

20．（2023·义乌模拟）在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）设点在直线上，为的左右顶点，直线交于点（异于），直线交于点（异于），交于，过作轴的垂线分别交于，问是否存在常数，使得.

【答案】（1）解：因为、，，

所以点的轨迹以为焦点的椭圆，

这里，，，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）解：

设，代入，得，

即，得：，

设，代入，得，

即，得：，

，

由得，得，

得

.

代入，得，代入，得，

因为，所以.

所以存在常数，使得.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义判断出点M的轨迹为椭圆，根据题意得a，c，进而求出b，可得椭圆的方程；

(2)设与椭圆方程联立，求出E的坐标，设，与椭圆方程联立，求出F的坐标，再求出G，R，T的坐标，由此可得的值.

21．（2023·温州模拟）已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点.

（1）设，求证：是定值；

（2）求的取值范围.

【答案】（1）证明：由是直线与抛物线的两个交点，

显然直线不垂直y轴，点，

故设直线的方程为，由消去并整理得，

所以为定值.

（2）解：由（1）知，直线的斜率，方程为，

令，得点的横坐标，设，

由消去得，

，

，

而直线的方程为，依题意，

令，得点的横坐标

，

因此，

所以的取值范围是.

【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）根据已知条件，设出直线的方程为，直线与抛物线的方程联立方程组即可求解；

（2）由（1）求出直线斜率以及直线的方程，并求出点的横坐标，直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线的方程求出点的横坐标，再列式求出范围即可.

22．（2023·宜宾模拟）已知点A在y轴右侧，点B，点C的坐标分别为，，直线AB，AC的斜率之积是3.

（1）求点A的轨迹D的方程；

（2）若抛物线与点A的轨迹D交于E，F两点，过B作于H，是否存在定点G使为常数？若存在，求出G的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：设点，，

因为AB，AC的斜率之积是3，所以.

所以点A的轨迹D的方程为.

（2）解：由

得，，，

设，，则，，

又因为，，所以，

因为，

所以直线EF的方程为，

即，

所以直线EF过定点，

当G为BP的中点时，因为于H，所以，

所以存在定点，使为常数.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）设点，，利用斜率公式结合已知条件化简可得出点A的轨迹D的方程；

（2）设，，将抛物线C的方程与曲线D联立，列出韦达定理，求出直线EF的方程并化简，即可求得直线EF过定点，进而求出G的坐标，使为常数.

四、巅峰

23．（2023高二下·联合期末）已知椭圆：的一个焦点为，椭圆上的点到的最大距离为3，最小距离为1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆左右顶点为，在上有一动点，连接分别和椭圆交于两点，与的面积分别为．是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为，

因为椭圆上的点到的最大距离为3，最小距离为1，

所以，，又，

解得，，，

故椭圆的标准方程为；

（2）解：由（1）可得，

假设存在点，使得，

设，则，

设横坐标为，

则，

所以，

整理得，①

设点坐标为，直线斜率为，斜率为，

故，设直线的斜率为，

故直线方程为，直线方程为，

将直线和椭圆联立

可得，

由韦达定理可得，解得，

将直线和椭圆联立

可得，

由韦达定理可得，解得，

将横坐标代入①式可得，，

整理得，

化简得，解得，即，

当时，直线的方程为，

代入点可得，即点的坐标为，

当时，直线的方程为，

代入点可得，即点的坐标为，

故点坐标为或．

【知识点】直线的斜率；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据题意列式求解，进而可得结果；

(2)设横坐标为，根据面积关系分析可得，再证明，设直线的斜率为，联立方程求，代入运算求解即可.

24．（2023高二下·嘉定期末）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，．

（1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；

（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；

（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值．

【答案】（1）解：由椭圆方程可知：，，所以

右焦点坐标，该椭圆的离心率；

（2）证明：斜率均存在，

设，直线AB方程为，

则，

联立，

则有，

将上式中换为，可得，

若，则直线MN斜率不存在，此时直线MN过点，

下证动直线MN过定点，

若直线MN斜率存在，则，

直线MN方程为，

令得，所以此时直线MN也过定点，

当两条直线其中一条斜率不存在，一条直线斜率为0时，

不妨设斜率不存在，斜率为0，

此时，

则直线的方程为，过点，

综上，动直线MN过定点；

（3）解：由（2）可知直线MN过定点，

，

令，

，

因为，所以在上递减，

所以时，取得最大值，此时.

【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据方程求出，进而可得结果；

(2)根据题意利用韦达定理求M、N的坐标，进而求MN的方程，即可得结果，注意对斜率不存在的讨论；

(3)结合(2)中的结论可得，令，可得，利用导数求最值.

25．（2023·上海市模拟）贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．

如图所示，抛物线，其中为一给定的实数.．

（1）写出抛物线的焦点坐标及准线方程；

（2）若直线与抛物线只有一个公共点，求实数k的值；

（3）如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，

证明：．

【答案】（1）解：焦点为，准线为

（2）解：将代入，

化简得（*），

方程（*）的判别式，化简得，即．

（3）证明：设，

设抛物线在点处的切线方程为，

由消去并化简得，

，

，，

解得，故切线方程为，

，，即，

同理可求得抛物线上过点B，C的切线方程分别为：

，，

由过的切线方程两两联立，可以求得交点D，E，F的横坐标分别为：

，，，

注意到结论中线段长度的比例可以转化为点的横坐标的比例，

得，命题得证．

【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；抛物线的应用；圆锥曲线的综合

【解析】【分析】（1）直接根据抛物线方程写出焦点及准线方程即可；

（2）联立方程，由即可得解；

（3）设，设抛物线在A点处的切线方程为，联立方程，根据求得斜率，进而可求得三条切线方程，从而可求得点D、E、F的横坐标，再根据结论中线段长度的比例可以转化为点的横坐标的比例，即可得证.

26．（2023·广州模拟）已知双曲线，直线过的右焦点且与交于两点．

（1）若两点均在双曲线的右支上，求证：为定值；

（2）试判断以为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

【答案】（1）解：如图，

由，设，直线，

代入，整理得：，

由解得：

由韦达定理：，

由，

同理，．

为定值．

另法：由，

同理，．

由于，不妨设，

则．

由，

得．

所以为定值．

（2）解：由题意：圆的方程为

即

由对称性可知：若存在定点，则必在轴上

令，有

由（1）可知，

代入方程后有：，

即，

令即．故圆过定点．

【知识点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）设直线，与双曲线方程联立得出韦达定理，根据弦长公式表示为|MF|，|NF|，再代入求得结果.

（2）表示圆的方程，由对称性可知定点在x轴上，令y=0进行求解即可.

27．（2023·广州模拟）如图，在中，点.圆是的内切圆，且延长线交于点，若.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若椭圆上点处的切线方程是，

①过直线上一点引的两条切线，切点分别是，求证：直线恒过定点；

②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

【答案】（1）解：据题意，，

从而可得，

由椭圆定义知道，的轨迹为以为焦点的椭圆，

所以所求的椭圆的方程为

（2）解：①设切点坐标为，直线上的点的坐标，

则切线方程分别为，

又两切线均过点，即，

从而点的坐标都适合方程，

而两点之间确定唯一的一条直线，故直线的方程是，

显然对任意实数，点都适合这个方程，故直线恒过定点.

②将直线的方程，代入椭圆方程，得，

即，

不妨设，

同理.

所以

故存在实数，使得

【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据题意分析可得，结合椭圆的定义运算求解，注意；

(2)①根据题中的切线方程分析证明；②结合①中的结果，利用弦长公式结合韦达定理运算求解.

28．（2023高三下·杭州模拟）坐标平面中，是椭圆上一点，经过的直线（不过点）与交于两点，直线与的斜率乘积为.

（1）求的方程；

（2）直线与交于点，且.当点到直线的距离最大时，求直线的方程.

【答案】（1）解：由题意，在中，经过的直线（不过点）与交于两点

设，则，且，

∵在上，

∴，两式相减得，，

∵，

∴，即，

代入中解得，，

∴椭圆的方程为.

（2）解：由题意及（1）得，

当直线与轴不垂直时，设直线方程为：，

联立直线与椭圆方程，消去得，，

设，

当，

即时，有，

∵，∴，

∵

，

∴，

整理得，，

，

∵直线不过点，

∴，

∴，

∴直线经过定点，

当直线垂直于轴时，设方程为：，

则，且，①

由得，，②

由①②解得，或（舍），

∴此时直线也经过定点，

综上，直线经过定点，

当垂直于直线时，点到直线的距离最大，此时，

∴直线的斜率为，直线方程为：，

故所求直线方程为：.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）设，则，且，，

两式相减得，，即，得，代入中求解出，即可得椭圆的方程；

（2）当直线与轴不垂直时，设直线方程为：，联立直线与椭圆方程，设，利用韦达定理可得，再根据，利用向量数量积的坐标运算可得，求解可得m的值，求出直线经过定点，当垂直于直线时，点到直线的距离最大，此时，再利用点斜式可求出直线的方程.

29．（2023·遂宁模拟）已知椭圆的左、右顶点为，点是椭圆的上顶点，直线与圆相切，且椭圆的离心率为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点在椭圆上，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上）且(O为坐标原点)，求的取值范围．

【答案】（1）解：由题设因为，

所以：

，所以，

所以椭圆方程为

（2）解：由（1）知的坐标为，

①当直线的斜率不存在时，，，则；

②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为且，

联立，得，

设，，则，，

，

设点，则，即，代入椭圆方程得，

解得，，所以，

所以，

又，所以的取值范围是．

综上所述，的取值范围是．

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)由题设，由于，得圆心(0，0)到直线A2G距离平方为，由椭圆的离心率为，得，求解出a，b，即可求出椭圆的标准方程；

(2)分两种情况：①当直线的斜率不存在时；②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为且，与椭圆方程联立，结合韦达定理可求出，设点，代入椭圆方程可得，进而求出的取值范围.

30．（2023·潮州模拟）已知椭圆过点和点，的上顶点到直线的距离为2，如图过点的直线与，轴的交点分别为，，且，点，关于原点对称，点，关于原点对称，且.

（1）求的长度；

（2）求四边形面积的最大值.

【答案】（1）解：的上顶点到直线的距离，解得，

又椭圆过点，

则，解得，

所以椭圆方程为，

因为点在椭圆上，所以，

由题意直线的斜率存在，

设过点的直线方程为，

令，则，令，则，

即，

由，得，

所以，所以，

所以

；

（2）解：由（1）得直线的斜率，

因为，所以，

所以直线的方程为，即，

联立，解得，所以，

所以，

点到直线的距离，

又因，所以，

由椭圆的对称性可得四边形，

所以四边形面积，

，

当且仅当，即时取等号，

则，，所以，

即四边形面积的最大值为.

【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）先根据点到直线的距离求出，再根据椭圆所过的点求出，即可求出椭圆方程为，根据点在椭圆上，所以，设过点的直线方程为，分别求出两点，再根据两点之间的距离公式即可得解；

（2）根据，结合（1）可得直线的方程为，联立方程，求出，再利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再根据四边形面积，化简整理即可得解.

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【备考2024】2023年高考数学新高考一卷真题变式分层精准练：第22题

一、原题

1．（2023·新高考Ⅰ卷）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0，)的距离，记动点P的轨迹为W.

（1）求W的方程；

（2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于.

二、基础

2．（2022·邯郸模拟）平面直角坐标系中，点在轴右侧，且到点的距离比其到轴距离多1.

（1）求点轨迹的方程；

（2）过点的直线与交于两点，是轴上一点.若是正三角形，求直线的斜率.

3．（2023高二上·河池期末）已知M，N是椭圆的上顶点和右顶点，且直线的斜率为．

（1）求椭圆E的离心率；

（2）设A为椭圆E的左顶点，B为椭圆E上一点，C为椭圆E上位于第一象限内的一点，且，求直线的斜率．

4．（2023高二上·白云期末）动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是，记动点M的轨迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）已知过点的直线与曲线C相交于两点，，请问点P能否为线段的中点，并说明理由.

5．（2023高二上·河池期末）已知双曲线的离心率为2，且过点．

（1）求双曲线C的方程；

（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段的中点为，当时，求的值．

6．（2023高二上·太原期末）已知定点，动点到点F的距离比它到y轴的距离大1．

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）过的直线，分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线，的斜率分别为，，若，求证：直线MN的斜率为定值．

7．（2023高二上·包头期末）已知抛物线，准线方程为.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若定点，直线l与地物线C交于A，B两点，且，求直线l的斜率.

8．（2023高二上·大连期末）已知抛物线C：上的点T（3，t）到焦点F的距离为4.

（1）求p的值；

（2）设A，B是抛物线C上分别位于x轴两侧的两个动点，且，其中O为坐标原点.求证：直线AB过定点.

9．（2022高三上·海口）已知双曲线的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2，0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值．

三、提高

10．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆交于两点，求的最大值.

11．（2023高二下·深圳期末）已知双曲线的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.

（1）求的方程；

（2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与圆分别交于两点，记四边形的面积为，的面积为，求的取值范围.

12．（2023高二下·安宁期末）已知椭圆，（，），过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若，是椭圆上位于两侧的动点，当，运动时，始终保持平分，求证：直线的斜率为定值．

13．（2023高二下·黄浦期末）椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点.

（1）求椭圆的离心率；

（2）若为直角三角形，求的面积；

（3）线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.

14．（2023高二下·静安期末）在平面直角坐标系中，设，动点满足：，其中是非零常数，分别为直线的斜率.

（1）求动点的轨迹的方程，并讨论的形状与值的关系；

（2）当时，直线交曲线于两点，为坐标原点.若线段的长度，的面积，求直线的方程.

15．（2023高二下·安徽月考）已知直线过定点，双曲线过点，且的一条渐近线方程为.

（1）求点的坐标和的方程；

（2）若直线与交于，两点，试探究：直线，的斜率之和是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

16．（2023高三下·吉林）已知抛物线：与圆：相交于四个点．

（1）当时，求四边形面积；

（2）当四边形的面积最大时，求圆的半径的值．

17．（2023·黄埔）直线经过点且与抛物线交于两点．

（1）若，求抛物线的方程；

（2）若直线与坐标轴不垂直，，证明：的充要条件是．

18．（2023高二下·钦州期中）已知椭圆：的右焦点为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为2，圆经过椭圆短轴顶点和两个焦点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点作斜率为的直线交椭圆于、两点，点、满足：.试问，是否存在点，使得、、、四点到点的距离均相等？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

19．（2023·浙江模拟）已知双曲线的离心率为，且经过点．

（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（2）已知过点的直线与过点的直线的交点N在双曲线C上，直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，证明为定值，并求出定值．

20．（2023·义乌模拟）在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）设点在直线上，为的左右顶点，直线交于点（异于），直线交于点（异于），交于，过作轴的垂线分别交于，问是否存在常数，使得.

21．（2023·温州模拟）已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点.

（1）设，求证：是定值；

（2）求的取值范围.

22．（2023·宜宾模拟）已知点A在y轴右侧，点B，点C的坐标分别为，，直线AB，AC的斜率之积是3.

（1）求点A的轨迹D的方程；

（2）若抛物线与点A的轨迹D交于E，F两点，过B作于H，是否存在定点G使为常数？若存在，求出G的坐标；若不存在，请说明理由.

四、巅峰

23．（2023高二下·联合期末）已知椭圆：的一个焦点为，椭圆上的点到的最大距离为3，最小距离为1．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设椭圆左右顶点为，在上有一动点，连接分别和椭圆交于两点，与的面积分别为．是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．

24．（2023高二下·嘉定期末）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，过右焦点作两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD中点分别为，．

（1）写出椭圆右焦点的坐标及该椭圆的离心率；

（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标；

（3）若弦AB，CD的斜率均存在，求面积的最大值．

25．（2023·上海市模拟）贝塞尔曲线是计算机图形学和相关领域中重要的参数曲线．法国数学象卡斯特利奥对贝塞尔曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau算法：已知三个定点，根据对应的比例，使用递推画法，可以画出地物线．反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应成比例的结论．

如图所示，抛物线，其中为一给定的实数.．

（1）写出抛物线的焦点坐标及准线方程；

（2）若直线与抛物线只有一个公共点，求实数k的值；

（3）如图，A，B，C是H上不同的三点，过三点的三条切线分别两两交于点D，E，F，

证明：．

26．（2023·广州模拟）已知双曲线，直线过的右焦点且与交于两点．

（1）若两点均在双曲线的右支上，求证：为定值；

（2）试判断以为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

27．（2023·广州模拟）如图，在中，点.圆是的内切圆，且延长线交于点，若.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）若椭圆上点处的切线方程是，

①过直线上一点引的两条切线，切点分别是，求证：直线恒过定点；

②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

28．（2023高三下·杭州模拟）坐标平面中，是椭圆上一点，经过的直线（不过点）与交于两点，直线与的斜率乘积为.

（1）求的方程；

（2）直线与交于点，且.当点到直线的距离最大时，求直线的方程.

29．（2023·遂宁模拟）已知椭圆的左、右顶点为，点是椭圆的上顶点，直线与圆相切，且椭圆的离心率为

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点在椭圆上，过左焦点的直线与椭圆交于两点（不在轴上）且(O为坐标原点)，求的取值范围．

30．（2023·潮州模拟）已知椭圆过点和点，的上顶点到直线的距离为2，如图过点的直线与，轴的交点分别为，，且，点，关于原点对称，点，关于原点对称，且.

（1）求的长度；

（2）求四边形面积的最大值.

答案解析部分

1．【答案】（1）设，由题意可得，化简得，

所以动点P的轨迹方程W为

（2）假设三点在W上，设且，因为ABCD为矩形，所以，

所以，

又，所以，

矩形ABCD周长

不妨设且

原式

令，，，，

∴当时，，单调递减；

当时，，单调递增。∴

∴原式，即矩形ABCD的周长大于

【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；平面内两点间的距离公式；抛物线的定义

【解析】【分析】(1)利用两点间距离等于点到坐标轴距离，求轨迹方程。

（2）利用矩形的两边垂直向量表示建立等式，寻找等量关系，利用两点间距离表示周长进而利用不等式的知识进行化简与放缩转化成单变量最值问题，结合导数分析其最值可得.

2．【答案】（1）解：设点坐标为，且.

由题意，

整理得

（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，，，AB的中点

联立方程得

则，且，

从而，即

设，由于为正三角形，则

，即，即

又∵，，

，

故，即，

即

即，解得，

直线的斜率

【知识点】轨迹方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)首先设出点的坐标，然后由已知条件代入整理即可得出点P的轨迹方程。

(2)根据题意设出点的坐标，再由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，结合斜率公式即可得出a与m的关系式，并把结果代入到弦长公式整理化简计算出m的取值，从而得出斜率的值。

3．【答案】（1）解：椭圆的上顶点为和右顶点为，

因为直线的斜率为，

所以，，

所以离心率为，

（2）解：因为离心率，所以，则，

所以椭圆方程为，，

设，

则，得，则，

因为在椭圆上，所以，，

解得，

则直线的斜率为，

【知识点】斜率的计算公式；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)由椭圆的简单性质即可求出顶点的坐标，由此即可求出直线的斜率，结合椭圆里a、b、c的关系以及离心率公式，计算出结果即可。

(2)根据题意由离心率公式以及椭圆里a、b、c的关系，整理化简即可得出a与b的关系，设出点的坐标，结合向量坐标运算公式，即可得出再把之间的关系，再把点的坐标代入到椭圆的方程，结合离心率公式整理化简即可得出答案。

4．【答案】（1）解：动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是

则

等式两边平方可得：

化简得曲线C的方程为：

（2）解：点不能为线段的中点，理由如下：

由（1）知，曲线C的方程为：

过点的直线斜率为，，

因为过点的直线与曲线C相交于两点，

所以，两式作差并化简得：①

当为的中点时，则，②

将②代入①可得：

此时过点的直线方程为：

将直线方程与曲线C方程联立得：

，

，无解

与过点的直线与曲线C相交于两点矛盾

所以点不能为线段的中点

【知识点】斜率的计算公式；轨迹方程；曲线与方程；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据题意由点到直线的距离公式和两点间的距离公式，整理化简即可得出曲线的方程。

(2)由(1)的结论结合斜率的坐标公式，利用设而不求法设出点的坐标，结合点差法以及中点的坐标公式，计算出k的取值由此即可得出直线的方程，再联立直线与曲线的方程消元后得到关于x的方程，结合二次函数的图象和性质即可得出结论与已知条件矛盾，从而即可得出结论。

5．【答案】（1）解：由已知，，所以，

且过点，所以，解得，，

所以双曲线C的方程为.

（2）解：设，

由得，

所以，，

即，，所以.

【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件即可得出a与b的关系，再把点的坐标代入计算出a与b的值，由此即可得出椭圆的方程。

(2)利用设而不求法设出点的坐标，由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，然后把结果代入到代数式整理化简计算出结果即可。

6．【答案】（1）解：由题设，，则，又，

∴，故动点P的轨迹方程为.

（2）解：由题设，令为，为，

联立抛物线，可得：，若，，

∴，则，同理可得，则，

∴，为定值.

【知识点】直线的斜率；轨迹方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合抛物线的定义，整理化简即可得出点P的轨迹方程。

(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去y等到关于x的一元二次方程，由此求解出x的取值，再由斜率的坐标公式代入整理化简计算出结果即可。

7．【答案】（1）解：因为准线方程为.所以，即.

所以抛物线的标准方程为.

（2）解：设，由可得

，从而有，即，

化简得

因为直线l过点，所以设直线l的方程为，

将其与抛物线C的方程联立得，

故，.

而

，即，解得或﹣1，

所以直线l的斜率为或﹣1.

【知识点】斜率的计算公式；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据题意由抛物线的简单性质结合已知条件，计算出P的值从而即可得出抛物线的方程。

(2)由设而不求法设出点的坐标，结合向量的坐标公式由已知条件计算出点的坐标，由此即可求出直线的方程再联立抛物线的方程消元后，结合韦达定理以及向量的坐标公式，代入计算出m的取值，由此即可得出斜率的值。

8．【答案】（1）解：由抛物线定义得，

（2）解：设直线的方程为：，

联立，消去得：，则，

由得：，所以或（舍）

即，所以直线的方程为，所以直线过定点.

【知识点】恒过定点的直线；抛物线的定义；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据题意由抛物线的定义，整理化简计算出P的取值，从而即可得出抛物线的方程。

(2)根据题意由斜截式设出直线的方程再联立直线与椭圆的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理得到关于m和n的两根之和与两根之积的代数式，结合数量积的坐标公式计算出n的值，从而得出直线的方程，由此即可求出定点的坐标。

9．【答案】（1）虚轴长为4，，即，

直线为双曲线的一条渐近线，

，，

故双曲线的标准方程为．

（2）由题意知，，，

由题可知，直线l斜率不能为零，故可设直线的方程为，

设，，，

联立，得，

，，

，

直线的斜率，直线的斜率，

，为定值．

【知识点】斜率的计算公式；双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据题意由双曲线的方程求出b的取值，再由双曲线的渐近线方程计算出a的取值，由此即可得出双曲线的方程。

(2)由已知条件即可得出直线的方程，再联立直线与双曲线的方程，消元后得到关于y的方程，结合韦达定理计算出两根之和与两根之积的关于n的代数式，然后由直线斜率的坐标公式代入整理化简计算出结果即可。

10．【答案】（1）解：由椭圆的离心率为，可得，可得，

设椭圆方程，将点代入方程，可得，

故方程为.

（2）解：设且，

联立方程，整理得，

由，可得，且，，

又由原点到的距离，

由圆锥曲线的弦长公式，可得，

所以

令，可得

当且仅当，即时，面积取到最大值

【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)由椭圆的离心率为得，设椭圆方程，将点代入得，即椭圆方程；

(2)设与椭圆方程联立结合韦达定理得，，利用点到直线距离公式和弦长公式得结合基本不等式求面积的最大值.

11．【答案】（1）解：由题可知是双曲线的一条渐近线方程，右焦点为，

所以右焦点到渐近线的距离，

又因为，所以，则依题意可得，

由离心率，解得，

所以双曲线的方程为.

（2）解：如图所示，

由（1）知，，

设直线的方程：，

由得，

因为直线与双曲线的右支交于两点，

所以解得，

，

所以，

设，且，

所以，即，所以，

又因为，所以，

由，得，

所以，同理可得，

由得，

所以，同理可得，

所以

，

令，由，得，

所以，

令，

因为在区间上为增函数，

所以的取值范围为，

又因为，

所以的取值范围为.

【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用

【解析】【分析】（1）首先根据右焦点到渐近线的距离为可求出b，再根据离心率可求出a，即可求出双曲线的方程；

（2）首先将直线PQ与双曲线的方程进行联立，可求出，设，根据以及，可得，将直线AP与双曲线的方程进行联立，可用m表示出和，即可用m表示出，令，将求的取值范围转化为求，即可求出答案.

12．【答案】（1）解：由题意知，点在椭圆上，即，解得：，

所以椭圆的方程为：；

（2）解：由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，

因为平分，所以直线的斜率为，

则直线为：，直线为：，

联立直线与椭圆：

消得：

解得：，，

同理可得：，，

所以

所以，

即直线的斜率为定值.

【知识点】椭圆的标准方程

【解析】【分析】本题考查椭圆标准方程和过椭圆的直线问题，

（1）由题中已知条件可以确定又焦点F2的横坐标为2，又因为点A在椭圆上联立方程即可求出a2、b2的值，从而得到椭圆C的方程；

（2）因为M、N是椭圆上位于AB两侧的动点，所以AM、AN的斜率存在，设出AM、AN的斜率，写出AM、AN的方程，联立方程组求解即可.

13．【答案】（1）解：由椭圆的方程为，得标准方程为，

则，故，

所以离心率；

（2）解：设，，

当时，，

此时，

由对称性，不妨设，且在第一象限，

令，得，则，

此时，

综上，的面积为或；

（3）解：设，则直线，

由已知，

同理：，

因而，是方程的两根，

所以，得，

又点为椭圆上的动点，

所以，则，

由在第一象限得，所以，

所以存在，.

【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）根据椭圆C的方程可求出a、b、c的值，根据可求出椭圆的离心率；

（2）分和两种情况，求出；

（3）首先设，则直线，可得，同理，证得，即证明了，是方程的两根，其次可求出的值，得到，再根据点为椭圆上的动点，可求P的坐标．

14．【答案】（1）解：设，

因为，动点满足：，分别为直线的斜率，

所以，即，

即动点的轨迹的方程为.

讨论的形状与值的关系如下：

当时，的形状为双曲线；

当时，的形状为焦点位于x轴的椭圆；

当时，的形状为圆；

当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆；

（2）解：当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆，方程为.

由题意知，直线斜率存在，

联立，则，

，

则，

所以，

所以，

设到直线距离为，直线

则，

所以，平方得，

代入上式得，则，

平方得，即，

所以，得，则，

则，所以，

此时成立，

所以直线的方程为，

即或或或.

【知识点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)、设，因为，动点满足：，分别为直线的斜率，即动点的轨迹的方程为，分情况讨论即可求出.

(2)、当时，的形状为焦点位于y轴的椭圆，方程为，求出，设到直线距离为，直线，求出，求出，根据判别式求出即可.

15．【答案】（1）由直线知，，

得定点.

则，解得，

故的方程为.

（2）

由（1）知，，设，.

联立，

整理得，

则，且，

∴且，

∴，，

∴

所以直线，的斜率之和是为定值，定值为3.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)将直线化简为，即可得出点A的坐标，再根据渐近线方程即可求出C的方程；

(2)联立双曲线和直线由韦达定理，表达出代入韦达定理，即可求出直线，的斜率之和是为定值.

16．【答案】（1）解：将代入，并化简得，解得或，代入抛物线方程可得

故；

（2）解：不妨设与的四个交点的坐标为．

则直线的方程分别为，，两方程相加可得，故，解得点的坐标为．

联立抛物线与圆的方程有，即，可得.

设，则，由（1）知由于四边形为等腰梯形，因而其面积

则将代入上式，并令，得．

求导数，令，解得：（舍去）．

当时，；当时，；当时，.

故当且仅当时，此时．

【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；圆的标准方程；抛物线的应用

【解析】【分析】（1）将代入求出四点坐标利用梯形面积公式求四边形面积；

（2）求出四点坐标利用梯形面积公式写出四边形面积，利用导数判断四边形面积最大时圆的半径的值。

17．【答案】（1）解：因为抛物线经过点，可得，解得，

所以抛物线的方程为.

（2）证明：设直线的方程为，，

联立方程组，整理得，

则，．

当时，直线的斜率之和为

，

因为

，

所以，即的倾斜角互补，所以．

反之，当时，直线的斜率之和为0，

即，

所以，

即，

因为，所以，

即，

所以，可得，

综上所述，的充要条件是．

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)由抛物线C经过点A(1，2)，代入求得p=2，即可得抛物线方程；

(2)设直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得，，当m+t=0时，求得kAM+kBM=0得到充分性成立，反之由∠TMA=∠TMB时，根据kAM+kBM=0，求得，可得，得出必要性成立，即可得证的充要条件是．

18．【答案】（1）解：设点的坐标为.

因为过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为2，

所以点在椭圆上，即.

又圆经过椭圆短轴顶点和两个焦点，所以，所以.

故椭圆的标准方程为.

（2）解：由题意可知，直线的方程为：，代入，

整理得.

设，，则，，

所以由，得，，

所以线段垂直平分线的方程为：，

线段垂直平分线的方程为：.

由，得交点.

不妨设，由，得，

所以，

，

所以，

故存在点，使得、、、四点到点的距离均相等.

【知识点】椭圆的标准方程

【解析】【分析】(1)、设点的坐标为.因为过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为2，所以点在椭圆上，即.又圆经过椭圆短轴顶点和两个焦点，所以，所以.

(2)、由题意可知，直线的方程为：，代入，整理得.设，，则，，所以由，得，，所以线段垂直平分线的方程为：，线段垂直平分线的方程为：.

19．【答案】（1）解：因为双曲线经过点，所以.

又因为，所以，，

所以双曲线C的标准方程为，渐近线方程为．

（2）解：设点，则，即.

因为为直线和直线的交点，

所以，所以点都在直线上，

所以所在的直线方程为，

将直线与渐近线方程联立得，解得，

即，同理得，

所以，

因为

，

所以，

所以为定值6.

【知识点】双曲线的标准方程

【解析】【分析】本题主要考查双曲线的运用，

（1）考生要熟记双曲线C的标准方程及其渐近线方程公式，根据题意可以计算出，，，即可求得双曲线C的标准方程为，渐近线方程为；

（2）第二小题难度略有增加，此时就要根据题目进行曲线画图，将N点假设，再用N点表示出所在的直线方程，直线与渐近线方程联立，算出点P、Q的坐标，再计算即可.

20．【答案】（1）解：因为、，，

所以点的轨迹以为焦点的椭圆，

这里，，，所以，

所以椭圆的方程为.

（2）解：

设，代入，得，

即，得：，

设，代入，得，

即，得：，

，

由得，得，

得

.

代入，得，代入，得，

因为，所以.

所以存在常数，使得.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据椭圆的定义判断出点M的轨迹为椭圆，根据题意得a，c，进而求出b，可得椭圆的方程；

(2)设与椭圆方程联立，求出E的坐标，设，与椭圆方程联立，求出F的坐标，再求出G，R，T的坐标，由此可得的值.

21．【答案】（1）证明：由是直线与抛物线的两个交点，

显然直线不垂直y轴，点，

故设直线的方程为，由消去并整理得，

所以为定值.

（2）解：由（1）知，直线的斜率，方程为，

令，得点的横坐标，设，

由消去得，

，

，

而直线的方程为，依题意，

令，得点的横坐标

，

因此，

所以的取值范围是.

【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）根据已知条件，设出直线的方程为，直线与抛物线的方程联立方程组即可求解；

（2）由（1）求出直线斜率以及直线的方程，并求出点的横坐标，直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线的方程求出点的横坐标，再列式求出范围即可.

22．【答案】（1）解：设点，，

因为AB，AC的斜率之积是3，所以.

所以点A的轨迹D的方程为.

（2）解：由

得，，，

设，，则，，

又因为，，所以，

因为，

所以直线EF的方程为，

即，

所以直线EF过定点，

当G为BP的中点时，因为于H，所以，

所以存在定点，使为常数.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】（1）设点，，利用斜率公式结合已知条件化简可得出点A的轨迹D的方程；

（2）设，，将抛物线C的方程与曲线D联立，列出韦达定理，求出直线EF的方程并化简，即可求得直线EF过定点，进而求出G的坐标，使为常数.

23．【答案】（1）解：设椭圆的半焦距为，

因为椭圆上的点到的最大距离为3，最小距离为1，

所以，，又，

解得，，，

故椭圆的标准方程为；

（2）解：由（1）可得，

假设存在点，使得，

设，则，

设横坐标为，

则，

所以，

整理得，①

设点坐标为，直线斜率为，斜率为，

故，设直线的斜率为，

故直线方程为，直线方程为，

将直线和椭圆联立

可得，

由韦达定理可得，解得，

将直线和椭圆联立

可得，

由韦达定理可得，解得，

将横坐标代入①式可得，，

整理得，

化简得，解得，即，

当时，直线的方程为，

代入点可得，即点的坐标为，

当时，直线的方程为，

代入点可得，即点的坐标为，

故点坐标为或．

【知识点】直线的斜率；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

【解析】【分析】(1)根据题意列式求解，进而可得结果；

(2)设横坐标为，根据面积关系分析可得，再证明，设直线的斜率为，联立方程求，代入运算求解即可.

24．【答案】（1）解：由椭圆方程可知：，，所以

右焦点坐标，该椭圆的离心率；

（2）证明：斜率均存在，

设，直线AB方程为，

则，

联立，