计算机图形学CG-8 三维对象表示

3DObjectRepresentations

ContentsRepresentation

methods多边形表面PolygonSurfaces曲线曲面:Bezier曲线立体构造Solid-Modeling八叉树Octrees分形Fractal…2RepresentationMethods三维对象表示方法通常可分为两类边界表示Boundaryrepresentations空间分区Space-partitioningrepresentations3RepresentationMethods边界表示使用一组曲面描述三维对象曲面将物体分为内外两部分。典型例子：多边形平面、样条曲面4RepresentationMethods5RepresentationMethods空间分区表示用来描述物体内部性质将包含物体的空间区域划分成一组较小的、非重叠的、邻接的实体。如：八叉树表示6RepresentationMethods78.1多边形表面三维图形中运用边界表示的最普遍方式是使用一组包围物体内部的表面多边形。很多图形系统以一组表面多边形来存储物体的描述。由于所有表面以线性方程加以描述，因此会简化并加速物体的表面绘制和显示。某些情况下，多边形表示是惟一可用的，但很多图形包也允许以其它方式对物体加以描述，如样条曲面，它在转换到多边形表示后加以处理88.1多边形表面多边形表数据表分为两组进行组织几何表：顶点坐标和用来标识多边形表面空间方向的参数属性表：指明物体透明度及表面反射度的参数和纹理特征9多边形表面顶点表序号点坐标1x1,y1,z12x2,y2,z23x3,y3,z34x4,y4,z45x5,y5,z5边表序号顶点号1v1,v22v2,v33v3,v14v3,v45v4,v56v5,v1多边形面表序号边序号1E1,E2,E32E3,E4,E5,E6E1E2E4E5S1v2v1v3v4v5E3E6S210PolygonSurfaces多边形网格图形系统一般使用多边形网格对3D物体进行建模118.2曲线和曲面曲线曲面的生成方法给定一组数学函数给定的一组数据点12一旦给定函数，图形包将指定曲线方程投影到显示平面上，且沿着投影函数路径绘制像素位置。由函数式描述而生成的显示曲面的例子有二次曲面和超二次曲面

(P.334-P.337)OpenGL二次和三次曲面函数(P.337-P.341)8.2曲线和曲面13样条的历史很早的绘图员利用“ducks”和有柔性的木条（样条）来绘制曲线木质的样条具有二阶连续并且通过所有的控制点8.3样条表示ADuck(weight)Duckstraceoutcurve14样条：通过一组指定点集而生成平滑曲线的柔性带。样条曲线在计算机图形学中的含义由多项式曲线段连接而成的曲线在每段的边界处满足特定的连续性条件样条曲面使用两组正交样条曲线进行描述8.3样条表示15样条在图形学中的应用设计曲线、曲面汽车车身设计、飞机和航天飞机表面的设计、船体设计以及家庭应用。8.3样条表示16曲线的产生给定一组离散的坐标点，将数据集拟合成指定的曲线函数根据曲线函数得到曲线的图形8.3样条表示17曲线的类型插值样条曲线：选取的多项式使得曲线通过每个控制点逼近样条曲线：选取的多项式不一定使曲线通过每个控制点8.3样条表示18凸壳凸壳的定义Convexhull

包含一组控制点的凸多边形边界凸壳的作用提供了曲线或曲面与包围控制点的区域之间的偏差的测量以凸壳为界的样条保证了多项式沿控制点的平滑前进19凸壳20参数连续性条件两个相邻曲线段在相交处的参数导数相等零阶连续(C0连续)：简单地表示曲线连接一阶连续(C1连续)：说明代表两个相邻曲线的方程在相交点处有相同的一阶导数（切线）二阶连续(C2连续)：两个曲线段在交点处有相同的一阶和二阶导数，交点处的切向量变化率相等参数连续性条件21曲线分段构造时参数连续性条件零阶连续一阶连续二阶连续F(u)f(u)F(1)=f(0)F'(1)=f'(0)F''(1)=f''(0)22几何连续性条件两个相邻曲线段在相交处的参数导数成比例零阶连续（G0连续）：与0阶参数连续性相同，即两个曲线必在公共点处有相同的坐标一阶连续（G1连续）：表示一阶导数在两个相邻曲线的交点处成比例二阶连续（G2连续）：表示两个曲线段在相交处的一阶和二阶导数均成比例几何连续性条件23插值样条曲线三次样条插值自然三次样条插值Hermite样条插值Cardinal样条插值Kochanek_Bartels样条插值逼近样条曲线Bezier曲线B_样条曲线24Bezier曲线和曲面法国Bezier使用逼近样条设计汽车外形,数学基础简单，容易实现25Bézier构造公式

假定给出n+1控制点:Pk=(xk,yk,zk),k取值范围为0到n，这些坐标值用于合成向量P(u),

BlendingFunctions合成函数 Bk,n(u)=C(n,k)*uk*(1-u)n-k C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)26ExamplesquadraticBéziercurve二次Bézier曲线cubicBéziercurve立方Bézier曲线Implementation(P.357-359)27例：二次Bezier曲线由三个控制点生成B0,2(u)=(1-u)2B1,2(u)=2u(1-u)B2,2(u)=u2

28例：三次Bezier曲线由四个控制点生成B0,3(u)=(1-u)3B1,3(u)=3u(1-u)2B2,3(u)=3u2(1-u)B3,3(u)=u3

29Bezier曲线举例P0P1P230Bezier曲线举例P0P1P2P3P0P1P2P331Bézier曲线特性Bezier多项式次数＝控制点个数-1Bézier曲线总是通过第一和最后一个控制点 P(0)=p0,P(1)=pn任何Bézier曲线总是落在控制点的凸壳内

32P0P1P2P0P1P2P3P0P1P2P3P0P1P2P3P4P0P1P2P333Designtechniques第一和最后一个控制点重合生成封闭Bézier曲线多个控制点位于同一位置会对该位置加以更多的权零阶参数连续Bézier曲线的构造一阶参数连续Bézier曲线的构造

34p1p0=p5p4p2p3p0p1=p2p3p4p0p1p2P0’P1’P2’P3’35Bezier曲面使用两组正交的Bezier曲线来设计

(m+1)*(n+1)个控制点368.4实体构造技术由简单的物体来构成复杂的物体扫描表示结构实体几何法37扫描表示思想：通过平移、旋转及其他对称变换来构造三维对象通过指定一个二维形状以及在空间区域内移动该形状的扫描来描述该三维物体38zoyxA平移扫描二维图形A沿Z轴平移39旋转扫描二维图形A绕Z轴旋转zByxA40结构实体几何法思想通过对两个指定三维对象进行并、交或差等集合操作产生一个新的三维对象

41结构实体几何法物体A和B差并交差428.5八叉树分层树形结构，称为八叉树。思想利用实体的空间相关性优点减少了三维物体的存储需求提供了存储有关物体内部信息的方便表示43四叉树二维平面三维空间八叉树44四叉树四叉树数据结构思想同质象限1023102345用于二维平面的分解对二维区域递归地等分4个小正方形，这个分解过程可表示为一棵树，除叶节点，其每个节点都有四个分支，分别表示4个小正方形若小正方形是同质的，则不必再分解；若小正方形是非同质的，则需将它再一分为四分解是递归的。四叉树46四叉树例312031200123013247四叉树31245613251924182021222371112891014151617具有子孙的节点空节点实节点2451391078111231415202116172223181924251648三维形体的分解对三维空间进行前后、左右、上下等分为8个小立方体，小立方体单元均质，则停止分解；小立方体单元非均质，需进一步分解为8个子立方体直至所有小立方体单元均质，或已分解到规定的分解精度为止。八叉树49八叉树236720131375具有子孙的节点空节点实节点508.6分形Fractal欧氏几何法&分形几何法分形基本特征分形生成过程分形分类分形维数概念51Euclidean-GeometryMethods--useequationstodescribeobjectswhichhavesmoothsurfacesandregularshapes.Fractal-GeometryMethods--useprocedurestomodelnaturalobjectswhichhaveirregularorfragmentedfeatures.

欧氏几何法&分形几何法52infinitedetailateverypoint每点具有无限细节self-similaritybetweentheobjectpartsandtheoverallfeatures对象整体和局部之间的自相似性利用一个过程来描述分形物体，该过程为产生物体局部细节指定了重复操作

distantCloserCloseryet分形基本特征53Idea

分形图形的生成过程是重复使用指定的变换函数作用于空间区域中的点的过程

InitialpointP0,transformationfunctionF P1=F(P0),P2=F(P1),P3=F(P2)……

Examples(P399)

分形生成过程54Vonkochsnowflake55树形生成元及对应曲线56树形生成元及对应曲线57分形分类类型自相似分形：组成部分是整个物体的收缩形式自仿射分形：组成部分为不同坐标方向上的不同缩放因子形成。不变分形集：由非线性变换形成。自平方分形自逆分形：由自逆过程形成。58Self-similarFractal自相似分形

自相似分形的组成部分是整个物体的收缩形式。从初始形状开始，对整个物体应用缩放参数s来构造物体的子部件。TypesDeterministicself-similar确定自相似分形Statisticallyself-similar统计自相似分形用于模拟树木、灌木和其他植物(彩页12)

分形分类5960Self-affineFractal自仿射分形

自仿射分形的组成部分由不同坐标方向上的不同缩放参数sx、sy、sz形成TypesDeterministicself-affinefractals确定自仿射分形Statisticallyself-affinefractals统计自仿射分形用于模拟岩层、水和云等自然景物(彩页13)

分形分类6162InvariantFractalSets不变分形集由非线性变换形成Typesself-squaringfractals自平方分形self-inversefractals自逆