简单几何体的面积与体积

一、选择题1．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为()A．8eq\r(2)π B．8πC．4eq\r(2)π D．4π[答案]B[解析]球的半径R＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，∴S＝4πR2＝8π故选B.2．(2022·陕西理，5)某几何体的三视图如下图所示，则它的体积是()A．8－eq\f(2π,3) B．8－eq\f(π,3)C．8－2π D.eq\f(2π,3)[答案]A[解析]本小题考查几何体的三视图与体积计算，此几何体为正方体内有一倒置圆锥．∴V＝2×2×2－eq\f(1,3)×π×2＝8－eq\f(2π,3).3．(文)将一个边长为a的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了()A．6a2 B．12a2C．18a2 D．24a2[答案]B[解析]依题意，小正方体的棱长为eq\f(a,3)，所以27个小正方体的表面积总和为27×6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))2＝18a2，增加了18a2－6a2＝12a2.(理)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为eq\r(3)，则这个圆锥的全面积为()A．3π B．3eq\r(3)πC．6π D．9π[答案]A[解析]已知正三角形的面积求其边长，然后利用圆锥的母线，底面半径与轴截面以及三角形之间的关系，由圆锥的全面积公式可求，如图，设圆锥轴截面三角形的边长为a，则eq\f(\r(3),4)a2＝eq\r(3)，∴a2＝4，∴a＝2，∴圆锥的全面积S＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋π·eq\f(a,2)·a＝3π.4．设矩形的边长分别为a，b(a＞b)，将其按两种方式卷成高为a和b的圆柱筒，以其为侧面的圆柱的体积分别为Va和Vb，则()A．Va＞Vb B．Va＜VbC．Va＝Vb D．Va和Vb的大小不确定[答案]B[解析]由题意，Vb＝π(eq\f(a,2π))2b＝eq\f(1,4π)a2b，Va＝π(eq\f(b,2π))2a＝eq\f(1,4π)b2a，因为a＞b，所以Va＜Vb.5．(2022·新课标文)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．3πa2 B．6πa2C．12πa2 D．24πa2[答案]B[解析]本题考查了长方体的外接球的表面积的算法，此题是简单题，在解决问题时首先考虑借助长方体和球的关系求得球的半径．由题可知，长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点在同一个球面上，所以球的直径等于长方体的体对角线的长度，故2R＝eq\r(4a2＋a2＋a2)，解得R＝eq\f(\r(6),2)a，所以球的表面积S＝4πR2＝6πa2，故选B.6．已知三棱锥O—ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y，若x＋y＝4，则三棱锥体积的最大值是()\f(1,3) \f(2,3)C．1 \f(4,3)[答案]B[解析]由条件可知V三棱锥O—ABC＝eq\f(1,6)OA·OB·OC＝eq\f(1,6)xy≤eq\f(1,6)(eq\f(x＋y,2))2＝eq\f(2,3)，当x＝y＝2时，取得最大值eq\f(2,3).二、填空题7．(2022·天津文，10)一个几何体的三视图如下图所示(单位：m)，则该几何体的体积为______m3.[答案]4[解析]本题考查立体几何中的三视图．考查同学们识图的能力，空间想象能力等基本能力．把三视图转化为直观图是解决问题的关键．由三视图可知，对应的几何体为上下叠放的两个直四棱柱，其体积为两个四棱柱体积之和．V＝V1＋V2＝2＋2＝4.8．(青岛二模)若正三棱锥的正视图与俯视图如下图所示(单位：cm)，则它的侧视图的面积为________cm2.[答案]eq\f(3,4)[解析]由该正三棱锥的正视图和俯视图可知，其侧视图为一个三角形，它的底边长等于俯视图的高即eq\f(\r(3),2)，高等于正视图的高即eq\r(3)，所以侧视图的面积为S＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＝eq\f(3,4)cm2.三、解答题9．已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的侧棱AA1垂直于底面，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AA1＝2，AB＝BC＝1，E，F分别为A1D，CD中点．(1)求证：EF∥平面A1ACC1；(2)求证：CD⊥平面A1ACC1，并求四棱锥D—A1ACC1的体积．[证明](1)连A1C，∵E、F分别为A1D，CD中点，∴EF∥A1C，又∵A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1∴EF∥平面A1ACC1(2)四边形ABCD为直角梯形且AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝1，∴AC＝CD＝eq\r(2)，∴AD2＝AC2＋CD2，∴CD⊥AC，又∵AA1⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥AA1，AA1平面平面A1ACC1，∴CD⊥平面A1ACC1∴CD为四棱锥D—A1ACC1的高，∴V＝eq\f(1,3)SA1ACC1·CD＝eq\f(1,3)·eq\r(2)·2·eq\r(2)＝eq\f(4,3).一、选择题1．若圆锥轴截面的顶角θ满足eq\f(π,3)<θ<eq\f(π,2)，则其侧面展开图中心角α满足()\f(π,4)<α<eq\f(π,3) \f(π,3)<α<eq\f(π,2)\f(π,2)<α<π D．π<α<eq\r(2)π[答案]D[解析]∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∴eq\f(θ,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))，∴sinθ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))).又eq\f(r,l)＝sinθ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，∴其侧面展开图中心角α＝eq\f(r,l)·2π∈(π，eq\r(2)π)．2．(文)某几何体的三视图下如下图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为()A．(16＋π)cm3 B．(16＋3π)cm3C．(20＋4π)cm3 D．(18＋π)cm3[分析]本题考查三视图、长方体和圆柱体的体积计算，解题的关键是根据三视图想象出几何体的直观图，再利用体积公式进行求解．[答案]B[解析]由三视图知，该几何体的上部分是正四棱柱，下部分是圆柱．正四棱柱的底面边长为4cm，高为1cm，其体积为16cm3；圆柱的底面半径为1cm，高为3cm，其体积为3πcm3.所以该几何体的体积为(16＋3π)cm3.(理)(2022·全国卷Ⅰ理)已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB＝CD＝2.则四面体ABCD的体积的最大值为()\f(2\r(3),3) \f(4\r(3),3)C．2eq\r(3) \f(8\r(3),3)[答案]B[解析]过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，设点P到CD的距离为h，则有V四面体ABCD＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×2×h＝eq\f(2,3)h，当直径通过AB与CD的中点时，hmax＝2eq\r(22－12)＝2eq\r(3)，故Vmax＝eq\f(4\r(3),3).二、填空题3．(文)(2022·新课标理，15)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2eq\r(3)，则棱锥O－ABCD的体积为________．[答案]8eq\r(3)[解析]本题主要考查球的几何性质以及锥体的体积公式．依题意，矩形的对角线AC＝4eq\r(3)，∴球心O到平面ABCD的距离为d＝2.∴V棱锥O－ABCD＝eq\f(1,3)×d×|AB|×|BC|＝eq\f(1,3)×2×6×2eq\r(3)＝8eq\r(3).(理)(2022·新课标文，16)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的eq\f(3,16)，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________．[答案]eq\f(1,3)[解析]设圆锥底面圆半径为r，球的半径为R，则由πr2＝eq\f(3,16)×4πR2，知r2＝eq\f(3,4)R2.根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，因此PB⊥QB.设PO′＝x，QO′＝y，则x＋y＝2R.①又△PO′B∽△BO′Q，知r2＝O′B2＝xy.即xy＝r2＝eq\f(3,4)R2.②由①②及x>y可得x＝eq\f(3,2)R，y＝eq\f(R,2).则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为eq\f(1,3).[点评]本小题考查球的表面积公式、球的截面的性质、球的大圆的性质以及平面几何中的三角形相似等知识，考查利用所学知识综合分析问题的能力、逻辑推理能力及运算求解能力，求解的关键是明确过圆锥与球面交点的母线与圆锥的高构成直角三角形及两圆锥的高过球心，本题对能力要求较高，难度较大．4．(文)一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为_____．[答案]eq\f(10,3)[解析]由三视图知，该几何体由一个高为1，底面边长为2的正四棱锥和一个高为2，底面边长为1的正四棱柱组成，则体积为2×2×1×eq\f(1,3)＋1×1×2＝eq\f(10,3).(理)(2022·湖北理)圆柱形容器内部盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如下图所示)，则球的半径是________cm.[答案]4[解析]设球的半径为r，根据题意可得8πr2＋3×eq\f(4,3)πr3＝6πr3，解得r＝4.三、解答题5．(2022·福建文，20)如下图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.(1)求证：CE⊥平面PAD；(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝eq\r(2)，∠CDA＝45°，求四棱锥P－ABCD的体积．[解析](1)∵PA⊥底面ABCD，CE平面ABCD∴CE⊥PA，又∵AB⊥AD，CE∥AB.∴CE⊥AD.又∵PA∩AD＝A，∴CE⊥平面PAD.(2)由(1)知CE⊥AD.在Rt△ECD中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.又∵AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四边形ABCE为矩形．∴S四边形ABCD＝S矩形ABCE＋S△CDE＝AB·AE＋eq\f(1,2)CE·DE＝1×2＋eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(5,2).又PA⊥底面ABCD，PA＝1所以V四棱锥p－ABCD＝eq\f(1,3)S四边形ABCD×PA＝eq\f(1,3)×eq\f(5,2)×1＝eq\f(5,6).6．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？[解析]作轴截面如下图，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋r2＝R2，即h＝2×eq\r(R2－r2)，∴S＝2πrh＝4πr·eq\r(R2－r2)＝4πeq\r(r2·R2－r2)≤4πeq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r2＋R2－r2,2)))2)＝2πR2，当且仅当r2＝R2－r2时取等号，此时内接圆柱底面半径为eq\f(\r(2),2)R，高为eq\r(2)R，最大侧面积等于2πR2.7．(文)如下图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH为四棱锥的高．(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；(2)若AB＝eq\r(6)，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱锥P－ABCD的体积．[解析]本题综合考查立体几何的知识，其中主要考查面面垂直的判定定理和棱锥的体积公式，在解决时要仔细审核题意，找准入手点进行解决，题目定位于中低档题，考查处理立体几何的常规方法．(1)因为PH是四棱锥P－ABCD的高，所以AC⊥PH.又AC⊥BD，PH，BD都在平面PBD内，且PH∩BD＝H，所以AC⊥平面PBD，故平面PAC⊥平面PBD.(2)因为ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝eq\r(6)，所以HA＝HB＝eq\r(3).因为∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝eq\r(6)，HD＝HC＝1，可得PH＝eq\r(3)，等腰梯形ABCD的面积为S＝eq\f(1,2)AC×BD＝2＋eq\r(3).所以四棱锥的体积为V＝eq\f(1,3)×(2＋eq\r(3))×eq\r(3)＝eq\f(3＋2\r(3),3).(理)如下图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABC—A1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE＝2，AC＝AA1＝4，∠E＝60°，点B在线段DE上．(1)当点B在何处时，平面A1BC⊥平面A1ABB1；(2)点B在线段DE上运动的过程中，求三棱柱ABC—A1B1C1全面积最小值．[分析]本题属于立体几何探究问题，第(1)问解题思路是逆向的推理问题，从结论下手，寻求解题突破口；第(2)问解决的关键是将动点转化为代数表