离散时间信号和系统理论知识介绍

1.1离散时间信号——序列1.2线性移不变系统1.3常系数线性差分方程1.4连续时间信号抽样

第1章离散时间信号和系统天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第1页

1.1离散时间信号——序列

1.1.1序列定义

1.1.2序列基本运算1.1.3惯用基本序列1.1.4序列周期性1.1.5用单位脉冲表示任意序列

天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第2页1.1.1序列定义信号在数学上定义为一个函数，这个函数表示一个信息，通常是关于一个物理系统状态或特征。信号函数表示是关于一个或几个独立变量，关于一个独立变量信号称为一维信号，关于多个独立变量信号称为多维信号。在本书中，主要讨论信号是一维信号x(t),普通情况下x(t)为随时间改变信号，简称时间信号或时域信号。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第3页

若t是定义在时间上连续变量，称x(t)为连续时间信号，也就是模拟信号；若t仅在时间离散点上取值，称x(t)为离散时间信号或时域离散信号。离散时间信号能够经过对连续时间信号采样得到,这种情况下把信号记为x(nT)，T表示是采样点之间时间间隔，n是一个整数。离散时间信号能够表示成以下形式：

｛x(nT)｝n=0,±1,±2,±3,...

天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第4页

在大多数DSP系统中，x(nT)存放是按n下标来放置，不一样x(nT)只要靠n就可区分。所以，将x(nT)表示为x(n)，这是一个数学抽象。所以一个离散时间信号定义为：

｛x(n)｝n=0,±1,±2,±3,...

{x(n)}定义在n等于整数点上，在n不等于整数点上，{x(n)}没有定义，但并不表示信号值为零。从数学角度看，上面定义式表示一个序列，所以也把离散时间信号称作离散时间序列，经常简化为x(n)。

天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第5页

序列除了数学表示式外，还经常采取图形方式来表示，如图1.1所表示。即使横坐标画成一条连续直线，但x(n)仅仅对于整数n值才有意义。

图1.1离散时间信号图形表示

天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第6页

离散时间信号在幅度上定义成连续，假如将幅度进行量化，普通为等间隔量化。在时间和幅度上都取离散值信号称为“数字信号”。所以，离散时间信号并不等于数字信号，但因为数字信号是幅度量化得到，在数学表示和推导中不如序列形式方便和轻易，所以普通都采取离散时间信号来讨论数字信号处理理论和算法。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第7页1.1.2序列基本运算和积移位标乘翻转累加差分时间尺度变换序列能量卷积和天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第8页基本运算—序列和设序列为x(n)和y(n)，则序列z(n)=x(n)+y(n)表示两个序列和，定义为同序号序列值逐项对应相加。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第9页例：序列和例1.1.1设序列计算序列和x(n)+y(n)。解：天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第10页例：序列求和图示天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第11页基本运算—序列积设序列为x(n)和y(n)，则序列z(n)=x(n)•y(n)

表示两个序列积，定义为同序号序列值逐项对应相乘。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第12页例：序列积例1.1.2设序列计算序列积x(n)•y(n)。解：天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第13页例：序列求积图示x(n)天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第14页基本运算—序列移位设序列为x(n)，则序列y(n)=x(n-m)表示将序列x(n)进行移位。

m为正时x(n-m)：x(n)逐项依次延时(右移)m位x(n+m)：x(n)逐项依次超前(左移)m位m为负时，则相反。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第15页例：序列移位例1.1.3设序列计算序列移位序列x(n+1)。解：天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第16页例：序列移位图示x(n)天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第17页基本运算—序列标乘设序列为x(n)，a为常数(a≠0)，则序列y(n)=ax(n)表示将序列x(n)标乘，定义为各序列值均乘以a，使新序列幅度为原序列a倍。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第18页例：序列标乘例1.1.4设序列计算序列4x(n)。解：天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第19页基本运算—序列翻转设序列为x(n)，则序列y(n)=x(-n)

表示以n=0纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻转。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第20页例：序列翻转例1.1.5设序列计算序列x(-n)。解：天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第21页基本运算—序列累加设序列为x(n)，则序列

定义为对x(n)累加，表示将n以前全部x(n)值求和。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第22页例:序列累加设序列为则其累加序列即…y(0)=x(0)=1,y(1)=x(0)+x(1)=y(0)+x(1)=3,y(2)=y(1)+x(2)=7…天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第23页基本运算—序列差分前向差分：将序列先进行左移，再相减Δx(n)=x(n+1)-x(n)后向差分：将序列先进行右移，再相减▽x(n)=x(n)-x(n-1)由此轻易得出▽x(n)=Δx(n-1)天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第24页多阶差分运算二阶前向差分二阶后向差分单位延迟算子D，有Dy(n)=y(n-1)▽y(n)=y(n)-y(n-1)=y(n)-Dy(n)=(1-D)y(n)▽=1-D

k阶后向差分(按二项式定理展开)二阶后向差分天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第25页例:差分运算例1.1.6设序列求Δx(n)和▽x(n)。解：前向差分天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第26页例:差分运算后向差分天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第27页基本运算—时间尺度(百分比)变换设序列为x(n)，m为正整数，则序列抽取序列：y(n)=x(mn)x(mn)和x(n/m)定义为对x(n)时间尺度变换。插值序列：

天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第28页抽取序列x(mn)：对x(n)进行抽取运算不是简单在时间轴上按百分比增加到m倍以1/m倍取样频率每隔m-1个点抽取1点。保留

x(0)天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第29页插值序列x(n/m)：对x(n)进行插值运算表示在原序列x(n)相邻两点之间插入m-1个零值点

保留

x(0)天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第30页基本运算—序列能量设序列为x(n)，则序列

定义为序列能量，表示序列各取样值平方之和；

若为复序列，取模值后再求平方和。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第31页基本运算—序列卷积和设序列为x(n)和z(n)，则序列

定义为序列x(n)和z(n)卷积和。卷积和又称为离散卷积或线性卷积，是很主要公式。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第32页卷积和计算四个步骤

翻转：x(m)，z(m)→z(-m)

移位：z(-m)→z(n-m)n为正数时，右移n位n为负数时，左移n位

相乘：z(n-m)•

x(m)（m值相同）

相加：y(n)=∑{z(n-m)•

x(m)}天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第33页对应点相乘！例：卷积和计算例1.1.7设序列求y(n)=x(n)*z(n)。解：

n＜0时，x(m)与z(n-m)没有重合，得y(n)=0。

0≤n≤4时，对应点相乘！天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第34页例：卷积和计算4＜n≤6时，6＜n≤10时，n＞10时，x(m)与z(n-m)没有重合，得y(n)=0。

天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第35页1.1.3几个惯用序列单位脉冲(抽样)序列单位阶跃序列矩形序列实指数序列正弦序列复指数序列天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第36页单位脉冲序列δ(n)只在n=0时取确定值1，其它均为零δ(n)类似于δ(t)δ(n-m)只有在n=m时取确定值1，而其余点取值均为零

天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第37页单位阶跃序列u(n)类似于u(t)u(t)在t=0时常不定义，u(n)在n=0时为u(0)=1

δ(n)和u(n)关系：δ(n)=u(n)-u(n-1)天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第38页单位矩形序列N为矩形序列长度

和u(n)、δ(n)关系

：天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第39页实指数序列a为实数当|a|＜1时序列收敛当|a|＞1时序列发散

天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第40页正弦序列A为幅度ω为数字域角频率φ为起始相位

x(n)由x(t)=sinΩt取样得到x(n)=Asin(ωn+φ)

归一化:ω=ΩT=Ω/fs(ω与Ω线性关系)天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第41页复指数序列

ω为数字域角频率用实部与虚部表示

用极坐标表示

σ=0时，序列含有以2π为周期周期性

复指数序列在实际中不存在，它是为了数学上表示和分析方便而引入，它特征和正弦或余弦序列特征基本一致。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第42页1.1.4序列周期性对于序列x(n)，假如对全部n存在一个最小正整数N，满足x(n)=x(n+N)则序列x(n)是周期序列，最小周期为N。以正弦序列为例讨论周期性设x(n)=Asin(ωn+φ)

则有

x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωN+ωn+φ)

若满足条件ωN=2kπ，则x(n+N)=Asin[ω(n+N)+φ]=Asin(ωn+φ)=x(n)天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第43页周期性讨论N、k为整数，k取值满足条件，且确保N是最小正整数。其周期为

2π/ω为整数时，取k=1，确保为最小正整数。此时为周期序列，周期为2π/ω。

例1.1.8序列，因为2π/ω=8，所以是一个周期序列，其周期N=8。

例1.1.8序列，因为2π/ω=8，所以是一个周期序列，其周期N=8。

例1.1.8序列，因为2π/ω=8，所以是一个周期序列，其周期N=8。

天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第44页周期性讨论2π/ω为有理数而非整数时，依然是周期序列，周期大于2π/ω。例1.1.9序列，2π/ω=8/3是有理数，所以是周期序列，取k=3，得到周期N=8。

2π/ω为无理数时，任何k都不能使N为正整数，这时正弦序列不是周期序列。

指数为纯虚数复指数序列周期性与正弦序列情况相同。

例1.1.10序列,2π/ω=8π/3是无理数，所以不是周期序列。例1.1.9序列，2π/ω=8/3是有理数，所以是周期序列，取k=3，得到周期N=8。

天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第45页周期性讨论判断一个正弦序列是否是周期序列方法是：用2π除以它数字频率ω，若得出是整数或有理数，则序列为周期序列；若得出是无理数，序列就不是周期序列。但不论序列是否为周期序列，仍把ω称作序列数字频率。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第46页下面来说明模拟频率和数字频率之间关系。

设模拟正弦信号为

对该以T为采样间隔进行采样离散,得

将离散后信号表示成离散正弦序列，即

天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第47页

可知

其中，称为采样频率。该式即为数字频率ω和模拟角频率Ω0、模拟频率f0之间关系式，它们是依靠采样间隔T或采样频率fs进行关联。

整理后可得

能够看出：

ω是一个相对频率，它是连续正弦信号频率f0

对抽样频率fs相对频率乘以2π，或说是连续正弦信号角频率Ω0对抽样频率fs相对频率。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第48页

数字频率特点：（1）ω是一个连续取值量；（2）ω量纲为一个角度量纲单位：弧度（rad）。它表示序列在采样间隔T内正弦信号改变角度，表示了信号相对改变快慢程度；（3）序列对于ω是以2π为周期，或者说，ω独立取值范围为[0,2π)或[-π,π)。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第49页正弦型序列是周期序列条件为：（有理数）则当N个抽样间隔等于k个连续时间信号周期时，由正弦信号抽样得到正弦序列是周期序列。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第50页1.1.5用单位脉冲序列表示任意序列

任何序列都能够用单位脉冲序列移位加权和来表示，即式中天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第51页比如如图序列，能够表示成天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第52页x(n)可看成是x(n)和δ(n)卷积和，即例1.1.11

天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第53页1.2线性移不变系统

1.2.1系统定义

数字信号处理任何处理都是依靠系统来完成,所以系统是数字信号处理关键，系统普通包含系统硬件和系统所完成处理算法。系统在数学上定义为将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)唯一性变换或运算。这种映射是广义，实际上表示是一个详细处理，或是变换，或是滤波。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第54页系统能够表示为

其中，符号T[]表示系统映射或处理，能够把T[]简称为系统。系统图形表示以下列图所表示，输入x(n)称为系统激励，输出y(n)称为系统响应。因为它们均为离散时间信号，将系统T[]称为离散时间系统或时域离散系统。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第55页

1.2.2线性离散时间系统

满足叠加原理系统，或满足齐次性和可加性系统称为线性系统。

设y1(n)=T[x1(n)]，y2(n)=T[x2(n)]对任意常数a,b，若

T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]=ay1(n)+by2(n)则称T[]为线性离散时间系统。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第56页

推广到普通情况，设yk(n)=T[xk(n)]，k=1，2，...N线性系统满足1≤k≤N

线性系统特点是多个输入线性组合系统输出等于各输入单独作用输出线性组合。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第57页[例1.2.1]

证实由线性方程表示系统是非线性系统。证实

设所以，该系统是非线性系统。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第58页

1.2.3非时变离散时间系统若满足以下条件，系统称为非时变（非移变）系统，或时不变（移不变）系统。

设

y(n)=T[x(n)]对任意整数k,有

y(n-k)=T[x(n-k)]

即系统映射T[]不随时间改变，只要输入x(n)是相同，不论何时进行激励，输出y(n)总是相同，这正是系统非时变性特征。

天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第59页下列图形象说明了系统非时变性概念。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第60页[例1.2.2]设系统映射y=T[x(n)]=nx(n)，判断系统线性和时不变性。解设y1(n)=nx1(n),y2(n)=nx2(n)x(n)

=a1x1(n)+a2x2(n)

则T[x(n)]=nx(n)

=na1x1(n)+na2x2(n)=a1y1(n)+a2y2(n)

所以，系统为线性系统。设y(n)=nx(n),x1(n)=x(n-k)y1(n)=nx1(n)=nx(n-k)

而y(n-k)=(n-k)x(n-k)≠y1(n)所以，系统为时变系统。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第61页

1.2.4线性时不变离散系统

定义同时具备线性和时不变性系统称作线性非时变系统或线性时不变系统。它主要意义在于，系统处理过程能够统一采取这种系统特征描述之一——单位取样响应，以一个相同运算方式——卷积运算，进行统一表示。任何一个信号能够表示成单位取样序列线性组合，即天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第62页

系统对响应为

设系统对单位取样序列响应为，即

称为系统“单位取样响应”，它是描述系统一个非常主要信号。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第63页依据时不变性，有

则系统输出y(n)可表示为上式表明：当线性非时变系统单位取样响应h(n)确定时，系统对任何一个输入x(n)响应y(n)就确定了，y(n)能够表示成x(n)和h(n)之间一个简单运算形式。将上式运算方式称作“离散卷积”，简称“卷积”，采取符号“*”表示，即天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第64页

1.2.5离散卷积运算规律

(1)交换律

h(n)*x(n)=x(n)*h(n)它意义能够解释为，假如交换系统单位取样响应h(n)和输入x(n)，系统输出保持不变。

x(n)h(n)y(n)=h(n)x(n)y(n)天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第65页交换律证实：令n-m=k（m=n-k），则天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第66页

(2)结合律

x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h2(n)*h1(n)=x(n)*[h2(n)*h1(n)]它意义能够解释为一个级联络统结构，级联次序能够交换，或系统级联能够等效为一个系统，输出保持不变。x(n)y(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n)x(n)y(n)h1(n)*h2(n)天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第67页结合律证实：令k-m=r（k=r+m），则天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第68页

(3)分配律

x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)=x(n)*[h1(n)+h2(n)]它意义能够解释为一个并联络统结构，或并联络统能够等效为一个系统，输出保持不变。

x(n)y(n)h1(n)+h2(n)h1(n)h2(n)x(n)y(n)天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第69页

分配律证实：

天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第70页

(4)与δ(n)卷积不变性

x(n)*δ(n)=x(n)它意义能够解释为输入经过一个零相位全通系统。

(5)与δ(n-k)卷积移位性x(n)*δ(n-k)=x(n-k)它意义能够解释为输入经过一个线性相位全通系统。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第71页

1.2.6离散卷积计算

卷积计算普通采取两种方法：解析法和图解法，或是两种方法结合。

[例1.2.3]设线性时不变系统单位脉冲响应和输入序列以下列图所表示，画出输出波形。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第72页解：（1）采取图解法。

图解法过程如图1.2所表示。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第73页图1.2例1.2.3图解法天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第74页（2）采取解析法。

因为所以

将x(n)表示式代入上式，得到两种方法结果一致。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第75页1.2.7系统稳定性和因果性

一、稳定性稳定系统是有界输入产生有界输出系统。若则

线性时不变离散系统是稳定系统充要条件（稳定性定理）：即，系统单位抽样响应绝对可和。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第76页证实：充分条件若系统满足条件，且输入x(n)有界，有，对全部n，M是一个任意大有限数，此时系统输出为

两边取绝对值，得

即输出y(n)有界，故系统是稳定。

必要条件利用反证法，已知系统稳定，假设，能够找到一个有界输入则即输出无界，这不符合稳定假设，因而假设不成立，所以是稳定必要条件。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第77页

二、因果性

若系统n时刻输出，只取决于n时刻以及n时刻以前输入序列，而与n时刻以后输入无关，则称该系统为因果系统。线性时不变离散系统是因果系统充要条件（因果性定理）：天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第78页证实：充分条件若n<0时，h(n)=0，依据卷积和公式因为只有当n０-m≥0时，h(n０-m)才有值，所以m≤n０，这就证明了y(n０)值只取决于x(n)在n≤n０时值，所以系统是因果。

必要条件利用反证法，已知因果系统，假设当n<0时，h(n)≠0。依据卷积和公式有

则上式第二项求和式中最少有一项不为0，即系统在n０时输出y(n０)与输入x(n)在n>n０时值相关，也就是y(n０)值与n０以后x(n)相关，所以该系统不是因果系统，与已知条件矛盾，因而假设不成立。可见要使y(n０)与n>n０时x(n)无关，则必须使

天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第79页

结论:因果稳定线性时不变系统单位取样响应是因果,且是绝对可和,即天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第80页

[例1.2.4]某线性时不变离散系统，其单位取样响应为试讨论其是否是因果、稳定。

解：

因果性:该系统是非因果系统。

稳定性:

当时系统稳定,当时系统不稳定。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第81页[例1.2.5]设系统输入输出关系为，判断其线性，移不变性，因果性和稳定性。解：①因而所以此系统为线性系统．②而因而

所以此系统不是移不变系统，也就是系统是移变。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第82页③若x(n)有界，即，则

而，所以。即有界输入产生有界输出，所以系统是稳定。④只与x(n)当前值相关，而与未来值无关，所以系统是因果。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第83页１.３常系数线性差分方程连续线性时不变系统输入输出关系惯用常系数线性微分方程表示，而离散线性移不变系统输入输出关系惯用常系数线性差分方程表示，即或者

常系数是指决定系统特征系数是常数，若系数中含有n，则称为“变系数”。差分方程阶数等于y(n)变量序号最高值与最低值之差，比如上式就是N阶差分方程。

线性是指各y(n-i)项和各x(n-i)项都只有一次幂而且不存在它们相乘项，不然就是非线性。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第84页求解差分方程有以下几个方法：递推法、时域经典法、卷积法、变换域法等等．

递推解法比较简单，适累计算机求解，不过只能得到数值解，不易直接得到闭合形式（公式）解答。时域经典法和微分方程解法比较类似，比较麻烦，实际应用中极少采取。卷积法则必须知道系统单位抽样响应h(n)，这么利用卷积和就能得到任意输入时输出响应。变换域法是利用Z变换方法求解差分方程。当系统初始状态为零，单位抽样响应h(n)就能完全代表系统，那么对于线性移不变系统，任意输入下系统输出就能够利用卷积和求得。差分方程在给定输入和边界条件下，可用迭代方法求系统响应，当输入为δ(n)时，输出（响应）就是单位抽样响应h(n)。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第85页[例1.3.1]常系数差分方程（１）初始条件为n<0时，y(n)=0，求其单位抽样响应；（２）初始条件为n≥0时，y(n)=0，求其单位抽样响应。解：（１）设，且，必有依次迭代所以单位抽样响应为天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第86页（２）设，由初始条件知，必有将原式该写为另一个递推关系则所以单位抽样响应为由本例看出，差分方程相同，不过初始条件不一样，得到单位抽样响应不一样，也就是对应着不一样系统．天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第87页1.4连续时间信号采样1.4.1采样基本概念

从原理上说，采样器就是一个开关，经过控制开关接通和断开来实现信号采样，它概念如图1.3所表示。

天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第88页

图1.3采样过程天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第89页采样在数学上等效为以下运算：

式中s(t)是一个开关函数，是原信号，是采样后信号理想采样情况下，s(t)是无限多项单位冲击信号等间隔组成一个单位冲击串，即式中T是采样间隔。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第90页则式中，只在时不为零，因而只在这些点上才有定义值，为，可见采样结果是使原来模拟信号变成为在这些点上离散信号，这就是采样简单原理。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第91页1.4.2采样过程中频谱改变周期信号δT(t)能够进行傅里叶级数展开，以下式：能够求解出式中，，是基波频率，同时也是采样频率。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第92页令，求得Ak为δT(t)等效为所以天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第93页

上式表示是无限多个载波被调制之和，从频域改变来看，频谱被搬移到无限多个频率点，这些频率点是，所以频谱就变成了周期函数，周期等于。所以天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第94页

分析上式，xS(t)与xa(t)频谱比较，主要改变是：它频谱变成了周期，即是周期函数，周期为，也就是说，

离散时间信号频谱是连续时间信号频谱以采样频率为周期进行无限项周期延拓结果，这是信号采样带来最主要改变。另一点改变是频谱幅度变为原来幅度1/T。图1.4表示了这种频谱改变。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第95页图1.4理想采样信号频谱天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第96页1.4.3低通信号采样定理

设xa(t)表示一个带限低通模拟信号，最高频率分量为fmax，它频谱为Xa(jΩ)，

如图1.5所表示。图1.5带限低通模拟信号天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第97页对该信号以采样频率fs进行采样，采样后离散时间信号频谱Xs(jΩ)变成了以fs为周期周期频谱。显然，在这种情况下，Xs(jΩ)和Xa(jΩ)包含信息是相同，或者说，采样后离散信号能完全表示原来模拟信号。若fs<2fmax，这时周期频谱各周期出现了混叠，造成实际周期频谱一个周期不等于原信号频谱，也就是说，采样以后，信号出现了失真。天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第98页|Xa(jΩ)||Xs(jΩ)||ΔT(jΩ)||Xs(jΩ)|ΩΩΩΩΩSΩS-ΩS-ΩSΩS/2-ΩS/2ΩS-ΩS(a)(b)(c)(d)-ΩhΩhΩh天津师范大学计算机与信息工程学院离散时间信号和系统理论知识介绍第99页

采样定理对一个低通带限信号进行均匀理想采样，假如采样频率大于等于信号最高频率两倍，采样后信号能够准确地重建原信号。能够表示为