新教材北师大版数学章末测评第1章三角函数

章末综合测评(一)三角函数(满分：150分时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法中，正确的是()A．长为1的弧所对的圆心角是1弧度的角B．第二象限的角一定大于第一象限的角C．－830°是第二象限角D．－124°与236°是终边相同的角D[因为236°＝－124°＋360°，所以－124°与236°是终边相同的角，故选D.]2．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝eq\f(3,5)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋α))的值为()A．eq\f(4,5)B．－eq\f(4,5)C．eq\f(3,5)D．－eq\f(3,5)D[coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋π))＝－cosα＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝－eq\f(3,5).]3．半径为2，圆心角为eq\f(π,3)的扇形的面积为()A．eq\f(4π,3)B．πC．eq\f(2π,3)D．eq\f(π,3)[答案]C4．已知P(－3，4)是角α终边上一点，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝()A．－eq\f(3,5)B．eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5)D.eq\f(4,5)A[sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝cosα＝－eq\f(3,5).]5．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x＝eq\f(2π,3)时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()A．f(2)<f(－2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(－2)C．f(－2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(－2)A[由题意，T＝eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(2π,ω)＝π，所以ω＝2，则f(x)＝Asin(2x＋φ)，而当x＝eq\f(2π,3)时，2×eq\f(2π,3)＋φ＝eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，解得φ＝eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，所以f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))(A>0)，则当2x＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋2kπ，即x＝eq\f(π,6)＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值．要比较f(2)，f(－2)，f(0)的大小，只需判断2，－2，0与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0，2与eq\f(π,6)比较近，－2与－eq\f(5π,6)比较近，所以，当k＝0时，x＝eq\f(π,6)，此时eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(0－\f(π,6)))≈，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－\f(π,6)))≈，，当k＝－1时，x＝－eq\f(5π,6)，此时eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)))))≈，所以f(2)<f(－2)<f(0)，故选A.]6．下列函数中是奇函数，且最小正周期是π的函数是()A．y＝cos|2x| B．y＝|sinx|C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))) D．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,2)))D[y＝cos|2x|是偶函数，y＝|sinx|是偶函数，y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x是偶函数，y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,2)))＝－sin2x是奇函数，根据公式得其最小正周期T＝π.]7．函数y＝1＋x＋eq\f(sinx,x2)的部分图象大致为()ABCDD[当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，故排除A，C，当x→＋∞时，y→1＋x，故排除B，满足条件的只有D，故选D.]8．已知某帆船中心比赛场馆区的海面上每天海浪高度y(米)可看作是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作y＝f(t)，经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋B，下表是某日各时的浪高数据：t/时03691215182124y/米2eq\f(3,2)1eq\f(3,2)2eq\f(3,2)eq\f(3,2)2则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是()A．y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1B．y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋eq\f(3,2)C．y＝2coseq\f(π,6)t＋eq\f(3,2)D．y＝eq\f(1,2)cos6πt＋eq\f(3,2)[答案]B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．下列函数中，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上为单调增函数的是()A．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))) B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))C．y＝sin2x D．y＝tanx[答案]BD10．已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，则下面结论正确的是()A．把曲线C1向左平移eq\f(π,6)个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，得到曲线C2B．把曲线C1向左平移eq\f(π,12)个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq\f(π,6)个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移eq\f(π,12)个单位长度，得到曲线C2AD[因为C1，C2函数名不同，所以先将C2利用诱导公式转化成与C1相同的函数名，则C2：y＝sin(2x＋eq\f(2π,3))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)－\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，则把曲线C1向左平移eq\f(π,6)个单位长度变为y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，得到曲线C2，故A正确．把C1上各点的横坐标缩短到原来的eq\f(1,2)倍，纵坐标不变，变为y＝cos2x，再将曲线向左平移eq\f(π,12)个单位得到C2，故D正确．]11．已知函数f(x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))))，则下列说法中不正确的是()A．函数f(x)的周期是eq\f(π,4)B．函数f(x)的图象的一条对称轴方程是x＝eq\f(π,3)C．函数f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(5π,6)))上为减函数D．函数f(x)是偶函数ACD[由题意知f(x)的周期是eq\f(π,2)；因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)))＝1是最大值，故在区间[eq\f(2π,3)，eq\f(5π,6)]上不可能单调递减；因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))≠feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))，故不可能是偶函数，故选ACD.]12．关于函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx，sinx≤cosx,cosx，sinx>cosx))，下列说法正确的是()A．该函数是以π为最小正周期的周期函数B．当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1C．该函数的图象关于x＝eq\f(5π,4)＋2kπ(k∈Z)对称D．当且仅当2kπ＜x＜eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤eq\f(\r(2),2)CD[画出f(x)在一个周期[0，2π]上的图象．由图象知，函数f(x)的最小正周期为2π，在x＝π＋2kπ(k∈Z)和x＝eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)时，该函数都取得最小值－1，故AB错误，由图象知，函数图象关于直线x＝eq\f(5π,4)＋2kπ(k∈Z)对称，在2kπ＜x＜eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，0＜f(x)≤eq\f(\r(2),2).故CD正确．]三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系为s＝2cos(πt＋eq\f(π,3))，那么单摆摆动的频率为_______，第二次到达平衡位置O所需要的时间为_______s.eq\f(1,2)eq\f(7,6)[单摆摆动的频率f＝eq\f(1,T)＝eq\f(1,\f(2π,π))＝eq\f(1,2).当t＝eq\f(1,6)s时，s＝0，故第一次到达平衡位置O的所需要的时间为t＝eq\f(1,6)s.所以第二次到达平衡位置O所需要的时间为eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)T＝eq\f(7,6)s.]14．已知sinα＝eq\f(3,5)，cosβ＝eq\f(3,5)，其中α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则α＋β＝________．eq\f(π,2)[由已知得sinα＝cosβ，∵cosβ＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))，∴sinα＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－β))，又∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α＝eq\f(π,2)－β，故α＋β＝eq\f(π,2).]15．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx，当0≤x≤π时，f(x)＝0，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)))＝________．eq\f(1,2)[由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋π))＝f(x)＋sinx，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17π,6)))＋sineq\f(17π,6)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,6)))＋sineq\f(11π,6)＋eq\f(1,2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)))＋sineq\f(5π,6)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝0＋eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).]16．已知函数y＝sinωxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0))在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上为增函数，且图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π，0))对称，则ω的取值集合为________．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)，1))[x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则ωx∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(ωπ,2)))，因为y＝sinωx在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以eq\f(ωπ,2)≤eq\f(π,2)，即0<ω≤1；又y＝sinωx图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3π，0))对称，则sin3πω＝0，所以eq\f(kπ,ω)＝3π，解得ω＝eq\f(k,3)，再结合0<ω≤1可得ω＝eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，1]四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知角x的终边过点P(1，eq\r(3)).(1)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－x))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋x))的值；(2)写出角x的集合S.[解]∵角x的终边过点P(1，eq\r(3))，∴r＝|OP|＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2.∴sinx＝eq\f(\r(3),2)，cosx＝eq\f(1,2).(1)原式＝sinx－cosx＝eq\f(\r(3)－1,2).(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，2π))时，x＝eq\f(π,3)，所以，角x的集合S＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).18．(本小题满分12分)函数f(x)＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))＋1(A>0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为eq\f(π,2).(1)求函数f(x)的解析式；(2)求曲线y＝f(x)的对称中心的坐标；(3)设α是锐角，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝2，求α的值．[解](1)因为函数f(x)的最大值为3，所以A＋1＝3，即A＝2.因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为eq\f(π,2)，所以最小正周期为T＝π.所以ω＝eq\f(2π,T)＝2.故函数f(x)的解析式为y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋1.(2)由2x－eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，得x＝eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2)，k∈Z，所以其对称中心为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)＋\f(kπ,2)，1))，k∈Z.(3)因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋1＝2，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq\f(1,2)，又因为0<α<eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,6)<α－eq\f(π,6)<eq\f(π,3).所以α－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6).故α＝eq\f(π,3).19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋a，a为常数．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，|f(x)|的最大值为3，求a的值．[解](1)f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋a.所以f(x)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，f(x)∈[－1＋a，2＋a]，故a＝－2或1.20．(本小题满分12分)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的一段图象如图所示．(1)求此函数的解析式；(2)求此函数在[－2π，2π]上的递增区间．[解](1)由函数的图象知，A＝2eq\r(3)，eq\f(T,2)＝6－(－2)＝8，∴周期T＝16，∵T＝eq\f(2π,ω)＝16，∴ω＝eq\f(2π,16)＝eq\f(π,8)，∴y＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋φ))，∵函数图象经过点(2，－2eq\r(3))，∴eq\f(π,8)×2＋φ＝2kπ－eq\f(π,2)，即φ＝2kπ－eq\f(3π,4)，又|φ|<π，∴φ＝－eq\f(3π,4)，∴函数的解析式为y＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(3π,4))).(2)由已知得2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(π,8)x－eq\f(3π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，即16k＋2≤x≤16k＋10，k∈Z，即函数的单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(16k＋2，16k＋10))，k∈Z，当k＝－1时，为[－14，－6]，当k＝0时，为[2，10]，∵x∈[－2π，2π]，∴函数在[－2π，2π]上的递增区间为[－2π，－6]和[2，2π].21．(本小题满分12分)已知函数y＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)的图象的一条对称轴是直线x＝eq\f(π,8).(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间；(3)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．[解](1)因为x＝eq\f(π,8)是函数y＝f(x)的图象的对称轴，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)＋φ))＝±1，即eq\f(π,4)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.因－π<φ<0，所以k＝－1时得φ＝－eq\f(3π,4).(2)由(1)知φ＝－eq\f(3π,4)，因此y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4))).由题意得2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(3π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得kπ＋eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(5π,8)，(k∈Z)，所以函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4)))的单调增区间为eq\b\lc\[\rc\]