数学2.3《数学归纳法》(新人教A版选修2-2)省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

2.3数学归纳法临沂一中数学组第1页问题提出1.归纳推理基本特征是什么？由个别事实概括出普通结论.

2.综正当，分析法和反证法基本思想分别是什么？综正当：由已知推可知，逐步推出未知.

分析法：由未知探需知，逐步推向已知.反证法：假设结论不成立，推出矛盾得 证实.第2页3.归纳推理能帮助我们发觉普通结论，但得出结论不一定正确，即使正确也需要经过严格证实才能必定其真实性.综正当，分析法和反证法虽可证实一些结论，但都有其不足，所以，我们非常需要一个与归纳推理相匹配证实方法，使之成为无与伦比“黄金搭档”.第3页数学归纳法第4页探究（一）：数学归纳法感性认识

思索1：某人想排队进展览馆参观，不知自己能否进得去，于是问组织者，答曰；只要你前一个人能进去，你就能进去.那么此人能进去参观吗？若每个排队人都能进去参观，需要什么条件？（1）第一个人进去；（2）若前一个人进去，则后一个人也能 进去.第5页思索2：有若干块骨牌竖直摆放，若将它们全部推倒，有什么方法？普通地，多米诺骨牌游戏原理是什么？（1）推倒第一块骨牌；

（2）前一块骨牌倒下时能碰倒后一块骨牌.第6页第7页思索3：某人姓王，其子子孙孙都姓王吗？某家族全部男人世代都姓王条件是什么？（1）始祖姓王；

（2）子随父姓.

（第1代姓王）（假如第k代姓T，则第k+1代也姓T）第8页思索4：已知数列{an}满足:（n∈N*），那么该数列各项能确定吗？上述递推关系只说明什么问题？若确定数列中每一项，还需增加什么条件？由第k项可推出第k＋1项.给出第1项；（1）（2）第9页探究（二）：数学归纳法基本原理

思索1：已知数列{an}满足（n∈N*），假设当n＝k时，，则当n＝k＋1时，ak＋1等于什么？若假设，则ak＋1等于什么？第10页思索2：若给出a1＝1，则数列{an}通项公式是什么？若给出a1＝2，则数列{an}通项公式是什么？怎样了解你结论？思索3：已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝2an＋3，利用上述思想怎样证实数列{an}通项公式是an＝2n+1-3？第11页思索4：利用上述思想怎样证实：对任意n∈N*都有等式2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)成立？思索5：上述证实方法叫做数学归纳法，普通地，用数学归纳法证实一个与正整数n相关命题，其证实步骤怎样？（1）证实当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；（2）假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证实当n＝k＋1时命题也成立.第12页思索6：数学归纳法由两个步骤组成，其中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递推，完成这两个步骤证实，实质上处理了什么问题？逐一验证命题对从n0开始全部正整数n都成立.第13页理论迁移例1用数学归纳法证实：(n∈N*).第14页例2已知数列：试猜测其前n项和Sn表示式，并数学归纳法证实.第15页小结作业

1.数学归纳法实质是建立一个无穷递推机制，从而间接地验证了命题对从n0开始全部正整数n都成立，它能证实许多与正整数相关命题，但与正整数相关命题不一定要用数学归纳法证实，有些命题用数学归纳法也难以证实.第16页数学归纳法证实一个与正整数相关命题步骤是：（1）证实当取第一个值（如或2等）时结论正确；

（2）假设时结论正确，证实时结论也正确．

递推基础递推依据“找准起点，奠基要稳”“用上假设，递推才真”注意：1、一定要用到归纳假设；2、看清从k到k＋1中间改变。第17页2.归纳推理能发觉结论，数学归纳法能证实结论，二者强强联合，优势互补，在处理与正整数相关问题时，含有强大功效作用.但在数学归纳法实施过程中，还有许多细节有待深入明确和认识.第18页(1)在第一步中初始值不一定从1取起，证实时应依据详细情况而定.练习1:欲用数学归纳法证实2n>n2,试问n第一个取值应是多少?答:对n=1,2,3,…,逐一尝试,可知初始值为n=5.证实中需要注意问题练习2:用数学归纳法证实3n>n2.此题在第二步证实过程中在假设n=k时,3k>k2成立基础上,当n=k+1时,要说明此式大于零,则必须k≥2.故在证实第一步中,初始值应取1和2两个值.第19页(2)在第二步中,证实n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,不然就打破数学归纳法步骤之间逻辑递推关系,造成推理无效.第20页练习.下面是某同学用数学归纳法证实命题

过程.你认为他证法正确吗?为何

(1).当n=1时,左边=,右边=(2).假设n=k时命题成立即那么n=k+1时,左边

=右边,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.

第21页(3)在证实n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要分析命题结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式差异.搞清应增加项.学案P74例题1第22页1.已知:,则等于()

A:B:

C:D:C练习：2.学案P74A2.第23页重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘记。第24页分析:找到“递推关系”就等于把握住处理问题“灵魂”。有几项？

是什么,它比多出了多少，是首要问题。例3．对于n∈N*用数学归纳法证实：实际上f(k+1)不但比f（k）多一项，而且前k项中每一项分别比f（k）中多了1,2,3,4……k

f(k+1)=f(k)+1+2+3+……+k第25页证实：设f(n)=(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立(2)设当n＝k,时等式成立，即则n=k+1时，f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+……+[(k+1)-2]·3+[(k+1)-1]·2+(k+1)=f(k)+1+2+3+……+k+(k+1)∴由（1）（2）可知当n∈N*时等式都成立。第26页①归纳法：由特殊到普通，是数学发觉主要方法；②数学归纳法科学性：基础正确；可传递；③数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；

④数学归纳法优点：克服了完全归纳法繁杂、不可行缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠不足，是一个科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到普通、由有限到无穷．数学归纳法基本思想：在可靠基础上利用命题本身含有传递性,利用“有限”伎俩来处理“无限”问题数学归纳法关键:在验证命题n=n0正确基础上,证实命题含有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑推理代替了无限验证过程.所以说数学归纳法是一个合理、切实可行科学证题方法，实现了有限到无限飞跃。课堂小结第27页用数学归纳法证实恒等式步骤及注意事项：①明确首取值n0并验