奇偶性第课时函数奇偶性的概念省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

1.3.2奇偶性(第1课时函数奇偶性概念)1/212023/9/121研修班2/212023/9/122研修班3/212023/9/123研修班1．若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)是什么？【提醒】由奇函数定义，f(－x)＝－f(x)，则f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.2．奇(偶)函数定义域有什么特点？这种特点是怎样影响函数奇偶性？4/212023/9/124研修班【提醒】

(1)偶函数(奇函数)定义中“对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)(f(－x)＝－f(x))”，这表明f(－x)与f(x)都有意义，即x、－x同时属于定义域．所以偶(奇)函数定义域是关于坐标原点对称．也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数含有奇偶性前提条件．(2)若函数定义域不关于原点对称，则函数既不是奇函数也不是偶函数．5/212023/9/125研修班6/212023/9/126研修班7/212023/9/127研修班(3)函数f(x)定义域为{x|x≠－3}；定义域不关于原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．判断函数奇偶性，普通有以下几个方法：①定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应深入判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性．8/212023/9/128研修班②图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．另外，还有以下性质可判定函数奇偶性：偶函数和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数和、差仍为奇函数，奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数积为奇函数．(注：利用以上结论时要注意各函数定义域)9/212023/9/129研修班10/212023/9/1210研修班11/212023/9/1211研修班(3)x∈R，f(－x)＝|－x＋2|－|－x－2|＝|x－2|－|x＋2|＝－(|x＋2|－|x－2|)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．12/212023/9/1212研修班【思绪点拨】由题目可获取以下主要信息：①已知函数为分段函数；②判断此函数奇偶性．解答本题可依据函数奇偶性定义加以说明．【解析】

(1)当x<0时，－x>0f(－x)＝－(－x)2＋(－x)－1，＝－x2－x－1＝－(x2＋x＋1)＝－f(x)(2)当x>0时，－x<0f(－x)＝(－x)2＋(－x)＋1＝－(x2＋x－1)＝－f(x)综上f(－x)＝－f(x)∴f(x)是奇函数13/212023/9/1213研修班(1)对于分段函数奇偶性判断，须尤其注意x与－x所满足对应关系，如x>0时，f(x)满足f(x)＝－x2＋x－1，－x<0满足不再是f(x)＝－x2＋x－1，而是f(x)＝x2＋x＋1；(2)要对定义域内自变量都要考查，如本例分为两种情况，假如本例只有(1)就说f(－x)＝－f(x)，从而判断它是奇函数是错误、不完整．(3)分段函数奇偶性判断有时也可经过函数图象对称性加以判断．14/212023/9/1214研修班【解析】①当x>0时，－x<0f(－x)＝－x－2＝f(x)②当x<0时，－x>0f(－x)＝－(－x)－2＝x－2＝f(x)③当x＝0时，f(－x)＝0＝f(x)∴f(x)是偶函数．15/212023/9/1215研修班已知函数f(x)不恒为0，当x、y∈R时，恒有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．求证：f(x)是奇函数．【思绪点拨】令x＝y＝0―→求f(0)―→令y＝－x―→f(－x)＝－f(x)―→结论【证实】函数定义域为R，其定义域关于原点对称．∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴令y＝－x，则f(0)＝f(x)＋f(－x)，再令x＝y＝0，则f(0)＝f(0)＋f(0)，得f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．16/212023/9/1216研修班抽象函数奇偶性判定通惯用定义法，主要是充分利用所给条件，想法寻找f(x)与f(－x)之间关系，这类题目惯用到f(0)，可经过给式子中变量赋值，结构出0，把f(0)求出来．3.本例中，若将条件“f(x＋y)＝f(x)＋f(y)”改为f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)·f(y)，其余不变，求证f(x)是偶函数．17/212023/9/1217研修班【证实】令x＝0，y＝x，则f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)①又令x＝x，y＝0得f(x)＋f(x)＝2f(x)·f(0)②①②得f(－x)＝f(x)∴f(x)是偶函数．18/212023/9/1218研修班1．准确了解函数奇偶性定义(1)①偶函数(奇函数)定义中“对D内任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)(f(－x)＝－f(x))”，这表明f(－x)与f(x)都有意义，即x、－x同时属于定义域．所以偶(奇)函数定义域是关于坐标原点对称．也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数含有奇偶性前提条件．②存在既是奇函数又是偶函数函数，即f(x)＝0，