高数上册第一章第二节数列的极限市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件

第二节数列极限一、概念引入二、数列定义三、数列极限四、数列极限性质五、小结思索题11/311单击任意点开始观察1.【割圆术】观察完成“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽【引例】一、概念引入2/312正六边形面积正十二边形面积正形面积3/3132.【截丈问题】“一尺之棰，日取其半，万世不竭”公元前3左右，中国古代思想家墨子语：4/314二、数列定义【比如】5/315【注意】1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数6/316单击任意点开始观察三、数列极限观察结束7/317【问题1】当

无限增大时,是否无限靠近于某一确定数值?假如是,怎样确定?【问题2】“无限靠近”意味着什么?怎样用数学语言刻划它，描述它。经过上面演示试验观察:【直观定义】当n无限增大时，xn无限靠近于一个确定常数a，称a是数列xn极限.“距离任意小”8/3189/319【发散】假如数列没有极限,就说数列是发散.【说明】发散有①不存在；②-∞；③+∞；④∞。1.【准确定义】设{xn}为一数列,

若存在常数a

,

对任给定正数ε(不论它多么小),

总存在正数N

,使得当n>N

时，不等式

|xn-a|<ε都成立,那么就称

a是数列{xn}

极限,或者称数列{xn}

收敛于a,

记为

或10/3110任意、给定二重性：只有任意（小）才能刻划出xn

“无限靠近于a

”，而只有给定才能找到对应N.（已知极限存在时，惯用给定性来论证）（但不是函数关系，因N不唯一）【注意】（5）.［意义］用一个有限数，概括出一个无限改变量(用常量研究变量)。11/31113.【几何解释】等价解释2.【ε—N

定义】Any表任意(给)Exist表存在或最少有一个【思索】认为“当n>N时，有没有穷多个点落在(a-ε,a+ε)内”是等价解释，正确吗？12/3112数列极限定义未给出求极限方法.【例1】【证】所以,【注意】13/3113【例2】【证】【练习】证实常数列极限等于它本身.（公式）所以,14/3114【例3】【证】【小结】用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但无须要求最小N.—公式15/3115【补例4】【证】放大不等式16/3116【注意】(1)即，经过不等式放大等办法求出正整数N，再定出n范围，从而确保成立.(2)

N与ε是相对应，但N不是唯一;N有没有穷多个，则“n>N”允许为“n≥N”.(3)同理，因ε任意，则2ε，等也任意，则允许为17/3117四、数列极限性质1.唯一性【定理1】每个收敛数列只有一个极限.【证】［注意以下证实都是已知极限存在时，利用ε给定性来论证］用反证法18/3118【例5】【证】由定义,区间长度为1.矛盾【证完】19/31192.有界性【比如】有界无界不可能同时位于长度为1区间内.20/3120(2)【定理2】收敛数列必定有界.【证】由定义,【注意】①逆否命题必成立：无界数列必定发散.②逆命题不成立；有界列不一定收敛.③数列有界是收敛必要条件.21/31213.保号性【定理3】【证实】由数列极限定义，有从而【证完】22/3122【推论】【证实】以下用反证法由定理3知【证完】23/31234.【子数列收敛性】（收敛列与其子列关系）【注意】［比如］（1）【定义】①②③24/3124（2）【定理4】收敛数列任一子数列也收敛．且极限相同．【证】【分析】欲证25/3125【证毕】（寻找到K）26/3126【注意】a.惯用此关系判断一个数列极限不存在方法①：若数列有两个子列收敛于不一样极限，则原数列发散.如数列方法②：若数列有一个子列发散,则原数列发散.

如b.上例说明了发散数列也可能有收敛子列.27/3127五、小结数列:研究其改变规律;数列极限:极限思想、准确定义、几何意义;收敛数列性质:唯一性、有界性、保号性、子数列收敛性.28/3128【思索题】【错证】能够证实因为解新不等式故当时必有［证完］29/3129【思索题解答】【分析】错误①：极限是1明显是不对，应为0.错误②：推导过程中又将不适当放大，致使不等式：不能对任何ε>0成立.［比如］取ε=1/2时，找不到n满足该不等式.【结论】极限分析定义严格描述了极限过程，假如随心