西南交通大学数值分析上机实验报告

数值分析上机实习报告学号：姓名：专业：联系电话：任课教师：TOC\o"1-3"\h\u5744序 表2和3可知，理论分析结果与程序结果一致，利用雅格比法，方程1在迭代16次后收敛；方程2在迭代了23次收敛。利用高斯-赛德尔法，方程1在迭代10次后收敛；方程2在迭代了15次收敛。从中可以看出高斯赛德尔法的迭代速度比雅格比法的迭代次数快。（2）对于问题2有： 对矩阵A进行操作可计算得计算矩阵的谱半径可知，所以迭代也收敛。调用编写函数对问题2进行求解，其中最大迭代次数设为2000，精度要求设为0.0001，初始迭代值设为（0,0,0）表4问题2雅格比法的迭代结果方程是否收敛迭代解迭代次数1是2是表5问题2高斯赛德尔的迭代结果方程是否收敛迭代解迭代次数1是2是从REF_Ref405452383\h表4和5可知，高斯赛德尔法只用了很少的参数就得到了迭代结果，但是雅格比法却得到不收敛的结果，从这两个方程的迭代次数来说，b值不同，其迭代的次数不一样，但是迭代是否收敛于b值大小无关。（3）在问题3中，有： 对矩阵A进行操作可计算得计算矩阵的谱半径可知，所以迭代不收敛。调用MATLAB程序中函数对问题3进行求解，其中最大迭代次数设为2000，精度要求设为0.0001，初始迭代值设为（0,0,0）可得下REF_Ref405452494\h表6。表6问题3雅格比的迭代结果方程是否收敛迭代解迭代次数1否表7问题3高斯赛德尔的迭代结果方程是否收敛迭代解迭代次数1否从REF_Ref405452494\h表113可知，理论分析结果与程序结果一致，方程迭代到最大次数时均没有收敛。实验结果分析：从问题1，2，3的实验结果，我们可以总结出，雅格比法只在问题1的求解过程中有作用，而高斯-赛德尔法不仅能解决问题1，而且还能解决问题2，所以高斯-赛德尔法的使用范围比雅格比法更广泛。方程组的右端系数对两种方法有一定得影响，在初始条件，精度要求相同的条件下可以看出，右端系数越大，得到所需解的迭代次数越多；在同等条件下，高斯赛德迭代法较雅格比迭代法，其收敛速度更快；在某些情况下，雅格比法不能找到方程组的解，而高斯—赛德迭代法能够找到方程组的解。二、选做题问题三3.1问题重述给定函数，及节点，求其三次样条插值多项式（可取I型或II型边界条件），并画图及与的图形进行比较分析。3.2实验原理利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条插值。已知函数y=f(x)在区间[a,b]上的n+1个节点a=x0<x1<…<xn=b上的值yj=f(xj)(j=0,1,…,n)，求插值函数S(x)使其满足：（1）S(xj)=yj(j=0,1,…,n)；（2）在每小区间[xj,xj+1](j=0,1,…,n-1)上S(x)是三次多项式，记为Sj(x)；（3）S(x)在[a,b]上二阶连续可微。则S(x)称为f(x)的三次样条插值函数，它通过上述给定点，为二阶连续可导的分段三次多项式函数。3.3实验结果采用三弯矩法来进行三次样条插值，取II型边界条件，令插值函数在两个端点处的二阶导数：M0和Mn值为0。由于得到的线性方程组系数矩阵为三对角阵，因此在求解线性方程组时采用追赶法，得到结果如下图3所示。图3三次样条插值函数图从图中可以看出，使用三弯矩法对此函数进行拟合，精确度很高，结果准确。总结通过本次实验，我意识到了编程在数值分析实验中的重要性，理论知识不仅能有了很大的理解提升，而且自身的编程能力也有了很大的进步。在本次实验中，我接触了MATLAB软件，并学习了基础的一些编程语言，我也深深的意识到，想学习好专业课，想发表高端论文，学习MATLAB软件的数值分析应用是十分重要的。而在MATLAB编程过程中，我对函数的定义、调用等有了更深一步地了解。这三个实验，我了解到了多次拟合的实现方法、雅格比和高斯-赛德尔迭代法以及三次样条插值的MATLAB实现方法。本来在学习数值分析的过程中，我在理解方面存在一些偏差，但是通过本次实验，我深切的认识到了，对问题的根本理解是十分重要的，看问题要看到本质，从根本上推断从而理解问题的本质。最后，感谢谢灵红老师一学期的谆谆教导，感谢学校给我们学习这门数学课的机会。在用数值分析分析问题的过程中，我有了很多的收获，我也认识到了这门课的重要性，相信，这门课的学习将会对我研