2013级数学学术交流报告VIP

PAGE9-2013年数学学术交流报告报告主题：如何学习数学分析各位同学下午好，非常荣幸今天站在这里对你们做关于学习方面的交流报告，我做的题目是关于如何学习数学分析。数学就是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科，数学对于不同的层次、上有不同的理解，小学数学就是1+1=2，初中数学就是，高中数学就是，大学数学通过现有的定理〔n位不足近似和n位过剩近似〕去验证1+1=2数学分析课程有一个特点是重要而枯燥,重要是显而易见的，数学分析作为数学专业的专业基础课程，对其它后继课程(常微分,复变函数,高等代数)的学习至关重要,并且对后来大学物理的学习也起到了奠基的作用；同时它又是枯燥乏味的，这似乎是一对矛盾，要处理这对矛盾，就要解决一个数学分析学习当中的技巧性问题和心理问题（遇到一点难处就认为学不会，该放弃）。当然不可能人人都能把数学分析学好，由于各人的性向不同，有的人倾向于人文学科，有的人倾向于逻辑思维，有的人倾向于空间思维，有的人则倾向于动手能力等等,每个人的倾向性不一样，擅长的方面也各不相同，对数学分析的理解能达到的程度也不一样。数学分析中关于概念的问题概念的形成需要一个过程。与人生哲理等概念不同，数学分析概念具有叠加性（累加性），也就是说新概念是在旧概念叠加的基础上来认识的。概念是数学分析中的一个根本问题，不是靠背，而是在不断地运用中逐渐形成的，须经过比较、实践、摸索、总结、归纳等过程，最后建立一个完整的概念。这个过程甚至可以说是痛苦的，漫长的一个阶段。概念具有长期性。每个概念的理解都有一个失败—认识—再失败—成功的过程，伴随着你对这个概念的错误理解，在挫折中不断加深的。概念是随着一个人知识的增加而不断深入的。学数学分析对一个人建立完整的思维方式很重要，随着对不同数学分析概念的深入理解，人们处理问题的方式可以越来越趋于严谨。要建立一个数学分析的概念网。数学分析是一个个概念的点阵，所有的相关的、从属的概念（区间一致连续性和函数一致连续性）要在头脑中形成一个网络。学概念要把不能纳入其中的或相关概念认识清楚。总概念中各相关概念是怎样发展的要有一个清晰的脉络。从不同的层面上来理解一个数学概念。有比较才有认识，对于一个数学分析概念要擅于从正面、侧面、上面、下面等各个层面上来认识它。对于相似的、类似的概念或概念的内部关系认识不清，不利于理解概念，这说明数学分析末学深入。【例题】设P为正整数.证明：若p不是完全平方数，则是无理数。解：完全平方数：一个数能表示成某个自然数的平方的形式。有理数定义：是能够表示成两个整数之比的数，形如形式（p≠0）。无理数定义：不能写作两整数之比。反证法：（又称归谬法、背理法），是一种论证方式，他首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。解题步骤：假设是有理数，由于p不是完全平方数，于是存在两个互质的正整数m,n，且n﹥1，使得=，,由此得n|.由于n﹥1，所以存在质数r|n.于是r|,r|m.这与m,n互质矛盾，所以是无理数。二.运算能力符号化、模式化是数学分析的一大特点，对这点我们应该有深刻的认识。1.模式化。数学分析的一些定理、原理、公理都有一定的模式，“因为……所以…”即最简单的一种模式，对各种数学模式的理解认识也是对人的逻辑思维能力的训练。【例题】p19页2.（1）叙述无界函数的定义；（2）证明为（0,1）上的无界函数；（3）举出函数f的例子，使f为闭区间【0,1】上的无界函数.解题步骤：(1).设为定义在上的函数，若对于任意正数，都存在，使得||＞，则称函数为上的无界函数.(2).对任意的正数，由得。于是，取，则，并且||。故是（0,1）上的无界函数(3).设，显然，为【0，1】上的无界函数。下面是求和验证数列极限通常善用的三个定理：1.【柯西收敛准则】数列{}收敛2.【单调有界定理】任何有界的单调数列都有极限3.【定义】例题：（定义法）由于||=，故对任意的，只要取，【取整加1：因为取整后的数是小于等于原来的数，只需大于取整函数加1，就可以保证N大于原来的数】例题：【柯西收敛准则】设试用柯西收敛准则证明数列{}是发散的.解题思路：为了证明数列{}发散，只要证明它不满足柯西收敛准则，而数列不满足柯西收敛准则的陈述是：||。本题中对于数列{}证明：取于是数列{}不满足柯西收敛准则，所以{}发散例题：【单调有界定理】证明数列极限存在并求其值设解：先证明数列有上界2.当n=1时，再证明{}递增，=根据单调有界定理，极限存在.设,在等式两边取极限得,2.符号化。数学分析的符号与表达性符号不同，文学艺术中的表达性符号是需要我们仔细体会其中的含义的；而数学分析中的符号是一种替代性符号，它无需我们想其含义，作用就在于推导，它只是一个替身，帮助我们进行数学思维，所以我们不可以在它的含义上耗费太多的精力,不过常规性的我们。数学就是符号游戏，我们对符号必须精通，才能进行迅速变形。三.做题技巧从做题方式来分，平时作业可分为硬作业和软作业两种：硬作业是指每天需要认认真真做的作业，这类作业要按正规的步骤一丝不苟地做，旨在训练自己的笔头功夫和书写能力；软作业是指每日需抽出一定的时间来浏览若干习题，这类题主要是用来锻炼自己的思维能力的，具体做法是无需动笔，眼睛看着习题，大脑中迅速掠过这道题的思路、做法，整个过程有点类似空对空。所以在平日做题中两种方式要搭配使用，认真做的题和浏览的题要相济并用。做题要有节奏，难易结合。做题要讲质量，不能把精力都放在做偏、难、怪的题型上，若平时将重心放在难题上，基础知识难免会偏失，所以平时适度地做一些中等难度的题即可，关键是要学好基础知识，循序渐进。做题要留下体会，留下痕迹，学习分为三个过程：模仿、品味、迁移。模仿是初始阶段经常作用的一种方式，以老师或教科书为参照，按部就班地做。经过一次次地模仿，我们自己对这些记忆中的题型在大脑中进一步地加工、体会，形成自己对这类题的成型的理解。经过前两个阶段的积累，最后达到将原知识体系与现有知识的相互融合，就实现了对新、旧知识的最新体会。四.数学分析学习方法常见的数学方法有如下几种：1.化归法。将复杂化问题化为若干个简单的问题的一种思想。2.注意经常对知识进行归纳、整理、总结，促进学过的知识更加系统化、条理化，解题时就能比较顺利地将内在关系理顺。3.做题时应树立一种次序和关联的思想。数学的题干中各要素一般都是按一定的次序和关系排放的，做题前要审清题意，分先后，分主次，各个击破。有鉴于此,建议的学习方法是:预习,课堂上认真听讲,必须记笔记,但要注意以听为主,力争在课堂上能听懂七、八成.课后不要急于完成作业,先认真整理笔记,