时间序列分析-第四章-均值和自协方差函数的估计省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第四章均值和自协方差函数预计第1页本章结构均值预计自协方差函数预计白噪声检验第2页§4.1均值预计相合性中心极限定理收敛速度模拟计算第3页均值、自协方差函数作用AR,MA,ARMA模型参数能够由自协方差函数唯一确定。有了样本之后，能够先预计均值和自协方差函数。然后由均值和自协方差函数解出模型参数。均值和自协方差能够用矩预计法求。还要考虑相合性，渐进分布，收敛速度等问题。第4页均值预计公式设是平稳列观察。

点预计为把观察样本看成随机样本时记作大写第5页相合性设统计量是预计，在统计学中有以下定义1假如，则称是无偏预计。2假如当则称是渐进无偏预计。3假如依概率收敛到，则称是相合预计。4假如收敛到，则称是强相合预计。第6页普通情况下，无偏预计比有偏预计来得好，对于由(1.1)定义。有所以是均值无偏预计。第7页均值预计相合性好预计量起码应是相合。不然，预计量不收敛到要预计参数，它无助于实际问题处理。对于平稳序列，假如它自协方差函数

收敛到零，则：第8页第9页利用切比雪夫不等式得到依概率收敛到。于是是相合预计。第10页均值预计性质定理1.1设平稳序列有均值和自协方差函数。则1是无偏预计。2假如则

是相合预计。3假如还是严平稳遍历序列，则是

强相合预计。

第11页第三条结论利用1.5遍历定理5.1可得。

普通地，任何强相合预计一定是相合预计。

线性平稳列均值预计是相合预计。ARMA模型均值预计是相合预计。第12页独立同分布样本中心极限定理若。则能够据此计算置信区间。(1.3)其中1.96也经惯用2近似代替。第13页平稳列均值预计中心极限定理定理1.2设是独立同分布，线性平稳序列由(1.5)定义。其中平方可和。假如谱密度(1.6)

在连续，而且则当时，第14页推论当绝对可和时，连续。推论1.3假如和成立，则当时而且(1.7)第15页收敛速度相合预计量渐进性质除了是否服从中心极限定理外，还包含这个预计量收敛速度。收敛速度描述方法之一是所谓重对数律。重对数律成立时，得到收敛速度阶数普通是除了个别情况，这个阶数普通不能再被改进。第16页收敛速度(2)定理1.4设是独立同分布。线性平稳序列由(1.5)定义。谱密度。当以下条件之一成立时：1当以负指数阶收敛于0.2谱密度在连续。而且

对某个成立。第17页则有重对数律(1.8)(1.9)易见重对数律满足时

不收敛。第18页AR(2)均值计算令

考虑AR(2)模型为模拟方便设。第19页AR(2)均值计算(2)第20页预计收敛性模拟为了观察时收敛能够模拟L个值然后观察改变。为了研究固定N情况下精度以至于抽样分布。能够进行M次独立随机模拟，得到M个

观察值。这种方法对于难以得到预计量理论分布情况是很有用。第21页第22页第23页第24页第25页§4.2自协方差函数预计自协方差预计公式及正定性

相合性

渐进分布模拟计算第26页自协方差函数预计公式

(2.2)样本自相关系数(ACF)预计为(2.3)第27页自协方差函数预计公式预计普通不使用除了预计形式：(2.4)因为：

我们不对大k值计算

更主要是只有除以N预计式才是正定。第28页样本自协方差正定性只要观察不全相同则正定。令记(2.5)只要不全是零则A满秩。第29页样本自协方差正定性实际上，设则A矩阵左面会出现一个以值开始非零斜面。显然是满秩。故不全相同时正定。

作为主子式也是正定。第30页

相合性定理2.1设平稳序列样本自协方差函数由式(2.2)或(2.4)定义。1假如当时，则对每个确定k，

是渐进无偏预计：第31页2假如是严平稳遍历序列。则对每个确定k,和分别是和强相合预计：第32页定理2.1证实下面只对由(2.2)定义样本自协方差函数证实定理2.1。对由(2.4)定义证实是一样。

设则是零均值平稳序列。利用(2.7)第33页定理2.1证实第34页第35页定理2.1证实第36页第37页只考虑线性序列。

设是4阶矩有限独立同分布

实数列平方可和。线性平稳序列(2.8)

第38页

有自协方差函数(2.9)

有谱密度(2.10)第39页设自协方差函数列平方可和。设为独立同分布。令定义正态时间序列(2.11)(2.12)第40页样本自协方差和自相关中心极限定理定理2.2设是独立同分布。满足。假如线性平稳序列(2.8)谱密度(2.10)平方可积：第41页则对任何正整数h，当时，有以下结果1依分布收敛到2依分布收敛到

第42页自相关检验例子例2.1(接第三章例1.1)对MA(q)序列。利用定理2.2得到，只要当依分布收敛到分布。注意时，中应属于，所以令有

第43页为期望为0，方差为正态分布。在假设是MA(q)下，对m>q有第44页自相关检验例子现在用表示第三章例1.1中差分后化学浓度数据。在是MA(q)下。用代替真值后分别对计算出第45页在q=0假设下，所以应该否定q=0.第46页自相关检验例子实际工作中人们还计算概率

而且把p称为检验p值。显著p值越小，数据提供否定原假设依据越充分。现在在下，近似服从标准正态分布。所以p值几乎是零，因而必须拒绝是MA(0)假设。

取q=1时，所以不能拒绝

是MA(1)假设。第47页谱密度平方可积充要条件对于实际工作者来讲谱密度平方可积条件通常极难验证。于是希望能把定理2.2中谱密度平方可积条件改加在自协方差函数收敛速度上。定理2.3对于一平稳序列它自协方差函数平方可积充分必要条件是它谱密度平方可积。第48页这个结论主要是利用实变函数论中Fourier级数理论。只有证实时用了周期图(如P.67定理3.1证实，那里绝对可和)。证实略。推论2.4设是独立同分布白噪声

满足假如线性平稳序列(2.8)自协方差函数平方可和：则定理2.2中结论成立。第49页

快速收敛条件下中心极限定理定理2.2要求白噪声方差有4阶矩。下面关于线性平稳序列样本自相关系数中心极限定理不要求噪声项4阶矩有限。定理2.5设是独立同分布线性平稳序列由(2.8)定义。假如自协方差函数

平方可和，而且对某个常数(2.13)

第50页则对任何正数h.当时，

依分布收敛到ARMA序列满足(2.13).ARMA序列白噪声列是独立同分布序列时定理2.5结论成立。第51页独立同分布列中心极限定理推论2.6假如是独立同分布白噪声，

是样本自相关系数，则对任何正整数h:1:

依分布收敛到多元标准正态分布这里

是单位矩阵。第52页2：假如则

依分布收敛到第53页推论2.6证实对白噪声，定理2.5条件满足。第二条满足推论2.4条件。第54页AR(2)模型实例首先用图形表示N不一样时误差。然后重复M=1000次计算1000个标准差(称为标准误差)。发觉N增大时标准误差减小。误差随N减小速度为。根离单位圆近模型其预计标准误差大。第55页第56页第57页第58页第59页第60页第61页§4.3白噪声检验白噪声检验样本自相关置信区间检验法第62页白