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薛定谔方程（Schrodingerequation）第二章第1页1本章目录§2.1薛定谔方程建立§2.2无限深方势阱中粒子§2.3势垒穿透§2.4一维谐振子*§2.5力学量算符本征值问题第2页2德拜指出：几周后薛定谔找到（提出）了波函数满足微薛定谔方程是描述微观粒子基本方程，它最初只是一个假定，§2.1薜定谔方程建立“对于波，应该有一个波动方程。”从而建立了描述微观粒子运动规律学科—量子力学。它是不能够由其它基本原理推导出来，以后经过试验检验了它正确性。1925年薛定谔在介绍德布罗意波汇报后，分方程—薛定谔方程，同牛顿定律一样，第3页3ErwinSchrodinger奥地利人1887-1961创建量子力学1933年诺贝尔物理学奖取得者——薛定谔第4页4一.薛定谔方程（1926）寻找粒子满足微分方程思绪：在非相对论情况下，有：由一维自由粒子波函数又比较上两式得：这就是一维自由粒子波函数

满足微分方程。第5页5若粒子在势场中，势能函数为U(x,t)，则粒子总能量于是有：又比较上两式得：这就是一维势场中粒子

满足微分方程。第6页6三维情形：令引入算符—非定态薛定谔方程以上是非相对论、不发生实物粒子产生和淹灭（可发射、吸收）时粒子波函数满足方程，它是非相对论量子力学基本方程。(Hamiltonianoperator)—哈密顿算符若则称为能量算符（反应粒子总能量）引入后，有第7页7一个“基本假定”。二.关于薛定谔方程讨论1.薛定谔方程是线性偏微分方程，若和是薛定谔方程解，则也是薛定谔方程解。2.薛定谔方程关于时间是一阶，经典波动方程：（时间二阶）薛定谔方程是量子力学解满足态叠加原理。所以它这不一样于第8页8则薛定谔方程可分离变量。三.定态薛定谔方程则有：若与t无关，设双方同除—必须为常量则分别有：和第9页9——振动因子称为定态薛定谔方程，方程解为式中E含有能量量纲，A0

能够是复数。方程其解依赖于形式。对自由粒子，

U=0，其一维定态薛定谔方程：第10页10该方程解为若令则E正是粒子能量，p正是粒子动量。—自由粒子波函数令普通情况下：这种E取定值状态称定态（stationarystate），以后我们将只研究定态。第11页11海森伯（Heisenberg，德，1932Nob)，海森伯狄拉克泡利（19011976）（19021984）（19001958）狄拉克（Dirac，英，1933Nob），泡利（Pauli，美，1945Nob），都对量子力学做出了主要贡献。第12页12§2.2无限深方势阱中粒子从数学上来讲：E不论为何值该方程都有解。连续和归一，从物理上来讲：特定E值称为能量本征值。本节我们将在一个详细情况下，求解定态薛定谔方程E只有取一些特定值，该方程解才能满足波函数条件单值、有限、特定E值所对应方程称为能量本征方程，对应波函数称为能量本征函数。第13页13一.一维无限深方形势阱中波函数与能量极限a金属U(x)U=U0U=U0EU=0x0U=0EU→∞U→∞U(x)x0

无限深方势阱（potentialwell）第14页14∵E>0，∴可令通解：待定常数A、

由

应满足物理条件决定。以上解已自然满足单值，有限条件。第15页15连续条件：因为边界外

=0，所以有：由此得：其中l1和

l2是整数。将上两式相加得：令即l也是整数l取0或1时

(x)有以下两种表示：第16页16

是奇函数(oddfunction)

是偶函数(evenfunction)1.能量E▲l=0时，

=0，▲l=1时，

=

/2，l为其它整数值时，所得解与

o(x)、

e(x)形式相同（可能差正、负号，但不影响|

|2）。从能量意义看，应有E

0，但能否E=0呢？在限定粒子位置范围情况下（在势阱中），由不确定关系知，动量不确定量应不为零，所以动量P>0，

E>0第17页17由由能量E能连续吗？二者合并在一起，可得得由第18页18这表明，束缚在势阱内粒子能量只能取离散值En

——能量量子化，每一能量值对应一个能级，En称为能量本征值，n称为量子数。最低能量——零点能能级间隔宏观情况或量子数很大时，可认为能量连续。第19页192.波长

由能量、动量关系和德布罗意关系，有德布罗意波长上式表明，德布罗意波含有驻波形式每一个能量本征态，因为势阱中德布罗意波只有形成驻波才能稳定，所以也能够反过来说，势阱中能量量子化是德布罗意波形成驻波必定结果。（势阱边界为波节）。对应于德布罗意波一个特定波长驻波。第20页203.波函数

（1）波函数空间部分归一化条件：由此得第21页21所以有能量本征函数：（2）全部波函数考虑振动因子有函数所描写状态称粒子“能量本征态”。该函数称“能量本征波函数”，每个本征波（3）概率密度：（驻波解）第22页22

n很大时，势阱内粒子概率分布趋于均匀。量子经典|2

n|En|2

n|束缚态(boundstate)E1E2E3E4En

n0x势阱内粒子概率分布与经典情况不一样玻尔对应原理第23页23§2.3势垒穿透（barrierpenetration）一.粒子进入势垒粒子从x=-

处以能量E入射，金属或半导体接触处势能隆起，形成势垒。势垒物理模型：入射能量E<U0xⅡ区0Ⅰ区EU0U(x)给定势函数（一维势垒）：1.势函数反射入射透射？第24页242.定态薛定谔方程I区（x

0）：有令II区（x>0）：xⅡ区0Ⅰ区EU0U(x)

1

2令有第25页25入射波反射波透射3.通解当x

时，

2(x)应有限，得D=0，EU0

2透射

1入射+反射xⅡ区Ⅰ区0于是有（波动型解）（指数型解）第26页26可见在（E<U0）区域粒子出现概率

04.概率密度（II区）

U0

、x

透入概率

经典：粒子不能进入E<U区域（动能

0）。量子：粒子可透入势垒。比如，电子可逸出金属表面，在金属表面形成一层电子气。第27页27二.有限宽势垒和隧道效应x=a隧道效应E

1

2

0aU0xⅠ区Ⅱ区Ⅲ区

3振幅为

2(a)。波穿过后，将以平面波形式继续前进(

3)，这称为势垒穿透或隧道效应。第28页281.穿透系数穿透系数会小6个数量级以上。当势垒宽度a约50nm以上时，穿透系数此时隧道效应在实际上已没有意义了，量子概念过渡到了经典。第29页29经典物理：量子物理：

x=a很小时，P很大，使E也很大，2.怎样了解粒子经过势垒区?粒子能量就有不确定量

E。

E+

E>U0能够有：粒子穿过势垒区和能量守恒并不矛盾。只要势垒区宽度

x=a不是无限大，粒子有波动性，遵从不确定关系，从能量守恒角度看是不可能。以至第30页30经典量子隧道效应第31页31三.隧道效应应用隧道二极管，金属场致发射，核

衰变，…1.核

衰变UTh+He2382344

是经过隧道效应出来。对不一样核，算出衰变概率和试验一致。rRU35MeV4.25MeV

0核力势能库仑势能第32页322.扫描隧道显微镜（STM）（ScanningTunnelingMicroscopy）STM是一项技术上重大创造，原理：利用量子力学隧道效应1986.Nob：鲁斯卡（E.Ruska）1932创造电子显微镜毕宁（G.Binning）罗尔（Rohrer）创造STM表面微观结构（不接触、不破坏样品）。用于观察第33页33U0U0U0A—常量

—样品表面平均势垒高度（~eV）d~1nm（10A）。d变

i变，反应表面情况。ABdE隧道电流iABUd探针样品电子云重合第34页34竖直分辨本事可达约102nm；横向分辨本事与探针、样品材料及绝缘物相关，技术关键：1.消震：多级弹簧，底部铜盘涡流阻尼。2.探针尖加工：电化学腐蚀，强电场去污，

针尖只有1~2个原子！3.驱动和到位：利用压电效应逆效应—电致伸缩，一步步扫描，扫描一步0.04nm，扫描1(m)2约0.7s。4.反馈：保持i不变

d不变（不撞坏针尖）。d变~0.1nm

i变几十倍，非常灵敏。在真空中可达0.2nm。第35页35隧道电流反馈传感器参考信号显示器压电控制加电压扫描隧道显微镜示意图第36页36中国科学院化学研究所研制CSTM-9000型STM第37页37用STM得到神经细胞象硅表面STM扫描图象第38页38用原子操纵写出“100”和“中国”第39页391991年恩格勒等用STM在镍单晶表面逐一移动氙原子，拼成了字母IBM，每个字母长5纳米第40页401991年2月IBM“原子书法”小组又创造出“分子绘画”艺术

—

“CO

小人”图中每个白团是单个CO分子竖在铂片表面上图象，上端为氧原子CO分子间距：0.5nm“分子人”身高：5nm堪称世界上最小“小人图”移动分子试验成功，表明人们朝着用单一原子和小分子组成新分子目标又前进了一步，其内在意义当前尚无法估量。第41页41镶嵌了48个Fe原子Cu表面STM照片Fe原子间距：0.95nm，圆圈平均半径：7.13

nm48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中电子形成驻波。第42页42谐振子不但是经典物理主要模型，而且也是量子物理主要模型。如：黑体辐射、分子振动，若选线性谐振子平衡位置为坐标原点和势能m—粒子质量k—谐振子劲度系数谐振子角频率§2.4一维谐振子零点，则一维线性谐振子势能能够表示为：晶格点阵振动。1.势能第43页432.谐振子定态薛定谔方程3.谐振子能量n=0,1,2,…解定态薛定谔方程得由和有第44页44

能量特点：(1)量子化，等间距：

符合不确定关系(3)有选择定则：

(2)有零点能：所以室温下分子可视为刚性。能级跃迁要满足(4)当n

时，符合玻尔对应原理。能量量子化

能量连续（宏观振子能量对应n

1025，

E

10-33J

）分子振动

E（102101eV）>kT

(室温)，第45页454.谐振子波函数Hn是厄密（Hermite）多项式，最高阶是

第46页465.概率密度波函数概率密度n=0xn=0xn=1xn=1xn=2xn=2x第47页47线性谐振子n=11时概率密度分布：经典谐振子在原点速度最大，停留时间短，振子在两端速度为零，粒子出现概率小；出现概率最大。虚线是经典结果第48页48xn很大EnE1E2E00U(x)概率密度特点：(1)

概率在E<U区仍有分布——隧道效应第49页49比如基态位置概率分布在x=0处最大，(3)当n

时，经典振子在x=0处概率最小。符合玻尔对应原理。量子概率分布xn很大0n=1n=2n=3U(x)(2)n小时，概率分布与经典谐振子完全不一样

经典概率分布，第50页50以位矢为自变量空间，称“位置表象”。*§2.5力学量算符及其本征值问题“算符化”。由不确定关系知，在位置表象中动量并不存在，不然“轨道”概念就成立了。在量子力学中，角动量和能量等力学量问题时，处理诸如动量、需要将这些力学量第51页51一维自由粒子波函数对

求导，得到方程：一.力学量算符引入第52页52由以上对波函数求导操作得到物理启示：定义能量算符、动量算符和坐标算符分别为将它们作用到一维自由粒子波函数上，有第53页53

坐标函数力学量，其量子力学所对应如势能

和作用力。

与动量相关经典力学量，其量子力学所比如，动能算符表示式：所以在位置表象中，算符化规则是：（在直角坐标中）算符形式不变。对应算符可用动量对应关系得出。由给出第54页54角动量算符表示式：在直角坐标中：第55页55在球极坐标中：角动量算符模方为：（直角坐标）（球极）第56页56任一力学量

（经典）

（量子）二.力学量算符本征值和本征函数当算符作用在函数上，若其结果是描述力学量A取确定值时本征态称上式为算符本征方程（eigenequatio