最短路径课件

复习引入线段公理：两点之间，线段最短.垂线段性质：垂线段最短.AB最短路径问题BAl第1页/共14页复习引入线段公理：垂线段性质：AB最短BAl第1页/共14页1问题1：两点在一条直线异侧的最短路径问题已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

P连接AB,线段AB与直线L的交点P，就是所求。为什么这样做就能得到最短距离呢？根据：两点之间线段最短.第2页/共14页问题1：两点在一条直线异侧的最短路径问题已知：如图，A，B在2如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l处

饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？思考：你能把这个问题转化为数学问题吗？ABl问题2:两点在一条直线同侧的最短路径问题第3页/共14页如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然3lABCC转化为数学问题当点C在直线l的什么位置时，AC与BC的和最小？分析：ABl第4页/共14页lABCC转化为数学问题当点C在直线l的什么位置时，分4（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？（2）我们能否把A、B两点转化到直线l的异侧呢？转化需要遵循的原则是什么？（3）利用什么知识可以实现转化目标？分析：lABClABC第5页/共14页（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？分析：lABCl5lABCB′如下左图，作点B关于直线l

的对称点B′.如上右图，当A，C，B′共线时

，线段AC+CB′的和最小.即AC+BC的和最小.所以，线段AB′与直线l的交点C即为所求。lABCB′

当点C在直线l的什么位置时，AC与CB′的和最小？第6页/共14页lABCB′如下左图，作点B关于直线l的对称点B′.6在直线l上任取另一点C′，连接AC′、BC′、B′C′．∵直线l是点B、B′的对称轴，点C、C′在对称轴上，∴BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′．在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，∴AC+BC<AC′+B′C′，即AC+BC最小．lABCB′C′证明：如图.第7页/共14页在直线l上任取另一点C′，lABCB′C′证明：如图.7

归纳lABClABCB′lABC抽象为数学问题用旧知解决新知联想旧知解决实际问题ABl第8页/共14页归纳lABClABCB′lABC抽象为数学问题用旧知解决8练习1：（两定一动）ABCDE已知：正方形ABCD的边BC上有一点E，请你在对角线AC上找到一点P，使得BP+PE的和最小P作点B关于AC的对称点D，连接DE，交AC于点P。则点P即为所求。第9页/共14页练习1：（两定一动）ABCDE已知：正方形ABCD的边BC上9

如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩.请你帮他确定这一天的最短路线.草地小河A拓展提升：（一定两动）已知：如图，在l1、l2之间有一点A.求作：分别在l1、l2上确定一点M、N

使AM+MN+NA最小.l1l2AMN第10页/共14页如图，A为马厩，牧马人某一天要从马厩牵出马，10

如图，作点A关于l1和l2的对称点A1、A2，连接A1A，

交l1于M点，交l2于N点。连接AM和AN，AM+MN+NA最小.

因此，那天这样走路线最短.l1l2MNA1AA2第11页/共14页如图，作点A关于l1和l2的对称点A1、A2，连接A1A，11挑战自我：（两定两动）

某中学八(1)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示，两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上。请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

AOBCD橘子糖果AOBCDPQC1D2第12页/共14页挑战自我：（两定两动）AOBCD橘子糖果AOBCDPQC1D12小结归纳lAB