2018-2019学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2018-2019学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中只有一个是正确的1．（3分）（2018秋•天河区期末）如图图案中，是中心对称图形的是A． B． C． D．2．（3分）（2018秋•天河区期末）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限3．（3分）（2018秋•天河区期末）将二次函数的图象向左平移1个单位，则平移后的函数解析式为A． B． C． D．4．（3分）（2018秋•天河区期末）下列说法正确的是A．13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件 B．“抛一枚硬币正面朝上概率是0.5”表示每抛硬币2次有1次出现正面朝上 C．如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生 D．从1、2、3、4、5、6中任取一个数是奇数的可能性要大于偶数的可能性5．（3分）（2018秋•天河区期末）在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为5，那么轴与的位置关系是A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都不是6．（3分）（2019•巴彦淖尔模拟）一元二次方程的两根为和3，则的值是A． B．3 C． D．27．（3分）（2018秋•天河区期末）要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式（每两队之间都需在主客场各赛一场），计划安排30场比赛，设邀请个球队参加比赛，根据题意可列方程为A． B． C． D．8．（3分）（2015•广州）已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是A． B． C． D．9．（3分）（2019•天桥区模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为2，当时，的取值范围是A．或 B．或 C．或 D．或10．（3分）（2018秋•天河区期末）如图为二次函数的图象，在下列说法中正确的是①；②方程的根是，③；④当时，随的增大而增大A．①③ B．②④ C．①②④ D．②③④二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2018秋•天河区期末）在一个不透明的口袋中，装有4个红球3个白球和1个绿球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为．12．（3分）（2018秋•天河区期末）已知点和点关于原点对称，则．13．（3分）（2013•安阳一模）一个圆锥的母线长为5，高为4，则这个圆锥的侧面积是．14．（3分）（2018秋•天河区期末）直线、是的两条切线，、分别为切点且，若的半径为2，则切线长．15．（3分）（2018秋•天河区期末）如图，点是函数与的图象在第一象限内的交点，则的值为．16．（3分）（2018秋•天河区期末）已知4是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为．三、解答题（本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤17．（9分）（2018秋•天河区期末）解下列方程：（1）（2）18．（9分）（2018秋•天河区期末）如图，中，，，求的度数．19．（10分）（2018秋•天河区期末）如图，在边长均为1的正方形网格纸上有一个，顶点，，及点均在格点上请按要求完成以下操作或运算：（1）将绕点旋转，得到△；（2）求点旋转到点的路径长（结果保留．20．（10分）（2018秋•天河区期末）某体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分学生进行一分钟跳绳的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：分组频数频率第一组30.15第二组8第三组70.35第四组0.1（1）频数分布表中，，并将统计图补充完整；（2）如果该校九年级共有学生360人，估计跳绳能够一分钟完成160或160次以上的学生有多少人？（3）已知第一组中有两个甲班学生，第四组中只有一个甲班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈测试体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？21．（12分）（2018秋•天河区期末）如图的反比例函数图象经过点（1）求该反比例函数的解析式；（2）过点作轴，垂足为，在直线右侧的反比例函数图象上取一点，若的面积为20，求点的坐标．22．（12分）（2018秋•天河区期末）已知二次函数的图象经过点，．（1）求此二次函数的解析式；（2）在直角坐标系中描点，并画出该函数图象；（3）根据图象回答：当函数值时，求的取值范围．23．（12分）（2018秋•天河区期末）小红准备实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）要使这两个正方形的面积之和最小，小红该怎么剪？24．（14分）（2018秋•天河区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，以为圆心，以4为半径的圆与轴相交于点、，与轴正半轴相交于点过作，点为弦上一点，，连接，．（1）求、两点的坐标；（2）求证：；（3）若点是弧上一动点点与、点不重合），过点的的切线交轴于点，若为直角三角形，试求出所有符合条件的点的坐标．25．（14分）（2018秋•天河区期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．（1）求的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个““形状的新图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求的值．

2018-2019学年广东省广州市天河区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中只有一个是正确的1．（3分）（2018秋•天河区期末）如图图案中，是中心对称图形的是A． B． C． D．【考点】：中心对称图形【专题】558：平移、旋转与对称【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：、不是中心对称图形，故本选项错误；、是中心对称图形，故本选项正确；、不是中心对称图形，故本选项错误；、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：．【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．（3分）（2018秋•天河区期末）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象在A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限【考点】：反比例函数的图象；：反比例函数的性质；：反比例函数图象上点的坐标特征【专题】534：反比例函数及其应用【分析】将点代入解析式可求的值，由反比例函数的性质可求解．【解答】解：反比例函数的图象经过点，该反比例函数的图象在第一、三象限，故选：．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标满足图象解析式是本题的关键．3．（3分）（2018秋•天河区期末）将二次函数的图象向左平移1个单位，则平移后的函数解析式为A． B． C． D．【考点】：二次函数图象与几何变换【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】先得到抛物线的顶点坐标为，再利用点平移的规律得到点平移后对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线的顶点坐标为，把先向左平移1个单位所得对应点的坐标为，所以平移后的抛物线解析式为．故选：．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的性质．4．（3分）（2018秋•天河区期末）下列说法正确的是A．13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件 B．“抛一枚硬币正面朝上概率是0.5”表示每抛硬币2次有1次出现正面朝上 C．如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它就不可能发生 D．从1、2、3、4、5、6中任取一个数是奇数的可能性要大于偶数的可能性【考点】：概率的意义；：随机事件【专题】543：概率及其应用【分析】直接利用随机事件的意义以及概率的意义分别分析得出答案．【解答】解：．13名同学中，至少有两人的出生月份相同是必然事件，正确；．“抛一枚硬币正面朝上概率是0.5”表示每抛硬币2次可能有1次出现正面朝上，此选项错误；．如果一件事发生的机会只有十万分之一，那么它发生的可能性小，此选项错误；．从1、2、3、4、5、6中任取一个数是奇数的可能性等于偶数的可能性，此选项错误；故选：．【点评】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．5．（3分）（2018秋•天河区期末）在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为5，那么轴与的位置关系是A．相离 B．相切 C．相交 D．以上都不是【考点】：坐标与图形性质；：直线与圆的位置关系【专题】：与圆有关的位置关系【分析】由题意可求到轴的距离为3，根据直线与圆的位置关系的判定方法可求解．【解答】解：的圆心坐标为，到轴的距离为3轴与相交故选：．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，熟练运用直线与与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键．6．（3分）（2019•巴彦淖尔模拟）一元二次方程的两根为和3，则的值是A． B．3 C． D．2【考点】：根与系数的关系【专题】523：一元二次方程及应用【分析】根据根与系数的关系得到，然后解关于的方程即可，【解答】解：根据题意得，所以．故选：．【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．7．（3分）（2018秋•天河区期末）要组织一次篮球比赛，赛制为主客场形式（每两队之间都需在主客场各赛一场），计划安排30场比赛，设邀请个球队参加比赛，根据题意可列方程为A． B． C． D．【考点】：由实际问题抽象出一元二次方程【专题】12：应用题【分析】由于每两队之间都需在主客场各赛一场，即每个队都要与其余队比赛一场．等量关系为：队的个数（队的个数，把相关数值代入即可．【解答】解：设邀请个球队参加比赛，根据题意可列方程为：．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．8．（3分）（2015•广州）已知圆的半径是，则该圆的内接正六边形的面积是A． B． C． D．【考点】：正多边形和圆【分析】解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．【解答】解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是，高为3，因而等边三角形的面积是，正六边形的面积，故选：．【点评】本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，这是需要熟记的内容．9．（3分）（2019•天桥区模拟）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为2，当时，的取值范围是A．或 B．或 C．或 D．或【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题【专题】534：反比例函数及其应用【分析】根据题意可得的横坐标为2，再由图象可得当时，的取值范围．【解答】解：正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，，两点坐标关于原点对称，点的横坐标为2，点的横坐标为，在第一和第三象限，正比例函数的图象在反比例函数的图象的下方，或，故选：．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对称．10．（3分）（2018秋•天河区期末）如图为二次函数的图象，在下列说法中正确的是①；②方程的根是，③；④当时，随的增大而增大A．①③ B．②④ C．①②④ D．②③④【考点】：二次函数图象与系数的关系【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】根据抛物线的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由图可知：，，，故①错误；②由抛物线与轴的交点的横坐标为与3，方程的根是，，故②正确；③由图可知：时，，，故③正确；④由图象可知：对称轴为：，时，随着的增大而增大，故④正确；故选：．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）（2018秋•天河区期末）在一个不透明的口袋中，装有4个红球3个白球和1个绿球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为．【考点】：概率公式【专题】543：概率及其应用【分析】用白球的个数除以球的总个数即可求得摸到白球的概率．【解答】解：在一个不透明的口袋中，装有4个红球3个白球和1个绿球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为；故答案为：．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．12．（3分）（2018秋•天河区期末）已知点和点关于原点对称，则．【考点】：关于原点对称的点的坐标【专题】531：平面直角坐标系【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于，的方程组进而得出答案．【解答】解：点和点关于原点对称，，解得：，故．故答案为：．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．13．（3分）（2013•安阳一模）一个圆锥的母线长为5，高为4，则这个圆锥的侧面积是．【考点】：圆锥的计算【分析】首先根据勾股定理求得圆锥的底面半径，从而得到底面周长，然后利用扇形的面积公式即可求解．【解答】解：圆锥的底面半径是：，圆锥的底面周长是：，则．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．14．（3分）（2018秋•天河区期末）直线、是的两条切线，、分别为切点且，若的半径为2，则切线长．【考点】：切线的性质【专题】：与圆有关的计算【分析】连接、，如图，利用切线的性质和切线长定理得到，平分，即，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算的长．【解答】解：连接、，如图，直线、是的两条切线，，平分，，在中，．故答案为．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了切线长定理．15．（3分）（2018秋•天河区期末）如图，点是函数与的图象在第一象限内的交点，则的值为．【考点】：反比例函数与一次函数的交点问题【专题】534：反比例函数及其应用；533：一次函数及其应用【分析】将点坐标代入解析式可求的值．【解答】解：点是函数与的图象在第一象限内的交点，解得故答案为：【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握两个图象的交点坐标满足两个图象的解析式是本题的关键．16．（3分）（2018秋•天河区期末）已知4是关于的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为10．【考点】：一元二次方程的解；：三角形三边关系；：等腰三角形的性质【专题】523：一元二次方程及应用；554：等腰三角形与直角三角形【分析】先根据一元二次方程的解的定义把代入方程求出得到原方程为，再解此方程得到得，，然后根据三角形三边的关系得到的腰为4，底边为2，再计算三角形的周长．【解答】解：把代入方程得，解得，则原方程为，解得，，因为这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长，①当的腰为4，底边为2，则的周长为；②当的腰为2，底边为4时，不能构成三角形．综上所述，该三角形的周长的10．故答案为：10．【点评】本题考查了一元二次方程的解，等腰三角形的性质及三角形的三边关系定理．难度中等．根据等腰三角形的性质，将腰长进行分类是解题的关键．三、解答题（本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤17．（9分）（2018秋•天河区期末）解下列方程：（1）（2）【考点】：解一元二次方程因式分解法【专题】523：一元二次方程及应用【分析】（1）利用提公因式法求解，比较简便；（2）移项后提取公因式，利用因式分解法比较简便．【解答】解：（1），，或，；（2），或，，．【点评】本题考查了一元二次方程的解法因式分解法，掌握因式分解法求解一元二次方程的步骤是解决本题的关键．18．（9分）（2018秋•天河区期末）如图，中，，，求的度数．【考点】：垂径定理；：圆心角、弧、弦的关系；：圆周角定理【专题】559：圆的有关概念及性质【分析】由中，，利用垂径定理，即可证得，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得圆周角的度数．【解答】解：中，，，．【点评】此题考查了垂径定理与圆周角定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．19．（10分）（2018秋•天河区期末）如图，在边长均为1的正方形网格纸上有一个，顶点，，及点均在格点上请按要求完成以下操作或运算：（1）将绕点旋转，得到△；（2）求点旋转到点的路径长（结果保留．【考点】：作图旋转变换；：轨迹【专题】13：作图题【分析】（1）依据旋转中心、旋转方向和旋转角度，即可得到△；（2）利用扇形弧长计算公式进行计算，即可得到点旋转到点的路径长．【解答】解：（1）若绕点顺时针旋转，可得△，如图所示：若绕点逆时针旋转，可得△，如图所示：（2）若绕点顺时针旋转，点旋转到点的路径长为；若绕点逆时针旋转，同理可得点旋转到点的路径长为．【点评】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20．（10分）（2018秋•天河区期末）某体育老师随机抽取了九年级甲、乙两班部分学生进行一分钟跳绳的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：分组频数频率第一组30.15第二组8第三组70.35第四组0.1（1）频数分布表中0.4，，并将统计图补充完整；（2）如果该校九年级共有学生360人，估计跳绳能够一分钟完成160或160次以上的学生有多少人？（3）已知第一组中有两个甲班学生，第四组中只有一个甲班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈测试体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？【考点】：用样本估计总体；：频数（率分布表；：列表法与树状图法【专题】543：概率及其应用【分析】（1）由统计图易得与的值，继而将统计图补充完整；（2）利用用样本估计总体的知识求解即可求得答案；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）；总人数为：（人，（人；故答案为：0.4，2；补全统计图得：（2）根据题意得：（人，答：跳绳能够一分钟完成160或160次以上的学生有162人；（3）根据题意画树状图如下：共有6种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有2种情况，所选两人正好都是甲班学生的概率是：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．21．（12分）（2018秋•天河区期末）如图的反比例函数图象经过点（1）求该反比例函数的解析式；（2）过点作轴，垂足为，在直线右侧的反比例函数图象上取一点，若的面积为20，求点的坐标．【考点】：一次函数图象上点的坐标特征；：待定系数法求反比例函数解析式；：反比例函数图象上点的坐标特征【专题】534：反比例函数及其应用【分析】（1）由待定系数法可求反比例函数的解析式；（2）点，由面积公式可求的值，即可得点的坐标．【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为，且过反比例函数的解析式为（2）设点的面积为20，点【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，熟练运用待定系数法求解析式是本题的关键．22．（12分）（2018秋•天河区期末）已知二次函数的图象经过点，．（1）求此二次函数的解析式；（2）在直角坐标系中描点，并画出该函数图象；（3）根据图象回答：当函数值时，求的取值范围．【考点】：待定系数法求二次函数解析式；：二次函数的性质；：抛物线与轴的交点；：二次函数图象上点的坐标特征【专题】535：二次函数图象及其性质【分析】（1）根据二次函数的图象经过点，，可以求得该函数的解析式；（2）根据（1）中的函数解析式，可以解答本题；（3）根据（2）中所画的函数图象，可以直接写出当函数值时，的取值范围．【解答】解：（1）二次函数的图象经过点，，，解得，，此二次函数的解析式为；（2），当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，故答案为：，，，，，函数图象如右图所示；（3）由图象可得，当函数值时，的取值范围是．【点评】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．23．（12分）（2018秋•天河区期末）小红准备实验操作：把一根长为的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？（2）要使这两个正方形的面积之和最小，小红该怎么剪？【考点】：一元二次方程的应用；：二次函数的应用【专题】523：一元二次方程及应用；536：二次函数的应用【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到面积和所截铁丝的长度之间的函数关系，然后二次函数的性质即可解答本题．【解答】解：（1）设其中一段长为，则另一段长为，，解得，，，当时，，当时，，答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是、；（2）设其中一段长为，则另一段长为，两个正方形的面积之和为，，当时，取得最小值，此时，答：要使这两个正方形的面积之和最小，小红剪成两段铁丝的长度都是．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．24．（14分）（2018秋•天河区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，以为圆心，以4为半径的圆与轴相交于点、，与轴正半轴相交于点过作，点为弦上一点，，连接，．（1）求、两点的坐标；（2）求证：；（3）若点是弧上一动点点与、点不重合），过点的的切线交轴于点，若为直角三角形，试求出所有符合条件的点的坐标．【考点】：圆的综合题【专题】15：综合题【分析】（1）根据勾股定理可以求得和的长度，从而可以得到、两点的坐标；（2）根据平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质可以证明结论成立；（3）根据题意，画出相应的图形，然后利用分类讨论的方法可以得到点的坐标．【解答】解：（1）连接、，如右图一所示，点的坐标为，以为圆心，以4为半径的圆与轴相交于点、，，，，，，点的坐标为，，点的坐标为，；（2）证明：作交轴于点，如右图一所示，，四边形是平行四边形，，，，，又，，在和中，，，，，即；（3）当△是直角三角形时，如右图二所示，，点的坐标为，点的坐标为；当△是直角三角形时，如右图二所示，，点的坐标为，点的坐标为；当△是直角三角形时，如右图三所示，，，，，，，是等边三角形，，点的坐标为，；当△是直角三角形时，如右图三所示，，时，点的纵坐标是：，横坐标是：，点的坐标为，；由上可得，若为直角三角形，所有符合条件的点的坐标是，，，，，．【点评】本题是一道圆的综合题，解答本题的关键是明确题意，画出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论和数形结合的思想解答．25．（14分）（2018秋•天河区期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，经过、两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为．（1）求的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（3）将该抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象轴下方的部分组成一个““形状的新图象，若直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，求的值．【考点】：二次函数综合题【专题】16：压轴题；32：分类讨论；31：数形结合【分析】（1）求出、的坐标，将点、的坐标分别代入抛物线表达式，即可求解；（2）分、、，分别求解即可；（3）图象翻折后的点对应点的坐标为，在如图所示的位置时，直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，即可求解．【解答】解：（1）直线，令，则，令，则，故点、的坐标分别为、，将点、的坐标分别代入抛物线表达式得：，解得：，则抛物线的表达式为：，则点坐标为，顶点的坐标为，；（2）①当时，，则点的坐标为；②当时，设：直线所在的表达式为：，将点、的坐标代入上式得：，解得：，中点的坐标为，同理可得：过该中点与垂直的直线方程为：，当时，，即点的坐标为；③当时，同理可得：点的坐标为或，故：点的坐标为或或；（3）图象翻折后的点对应点的坐标为，在如图所示的位置时，直线与该“”形状的图象部分恰好有三个公共点，此时、、三点共线，．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，难点在于（3），关键是通过数形变换，确定变换后图形与直线的位置关系，难度不大．

考点卡片1．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．2．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．3．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．4．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．5．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．6．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．7．一次函数图象上点的坐标特征一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．8．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．9．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．10．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．11．待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y（k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式．12．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y在同一直角坐标系中有0个交点．13．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．14．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．15．二次函数图象上点的坐标特征二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）．①抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x．16．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．18．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．19．二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．20．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．21．三角形三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．（3）三角形的两边差小于第三边．（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．22．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．23．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．24．圆心角、弧、弦的关系（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分．25．圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．26．直线与圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．27．切线的性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．28．正多边形和圆（1）正多边形与圆的关系把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．（2）正多边形的有关概念①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．29．圆锥的计算（1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高．（2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．（3）圆锥的侧面积：S侧•2πr•l＝πrl．（4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl（5