福建省莆田市涵江实验中学2022年高三数学文摸底试卷含解析

福建省莆田市涵江实验中学2022年高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.复数，其中i为虚数单位，则的虚部为（

）A.－1 B.1 C.i D.－i参考答案：A【分析】根据复数共轭的概念得到，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】虚部为-1，故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.

2.设椭圆的焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A3.与向量=（，1），=（1，）的夹角相等且模为的向量为

（

）A． B.C． D。参考答案：C4.,,,,设,则下列判断中正确的是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B试题分析：a、b、c、d∈R＋，

5.直线的倾斜角等于（

）

参考答案：C略6.是等差数列，与的等差中项为1，与的等差中项为2，则公差（）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：由已知，，则，.选C.考点：等差数列的性质与定义.7.若整数满足，则的最大值是（

）A．1

B．2

C．5

D．6.5参考答案：8.已知集合，，则A∩B=（

）A.[－2,2] B.(1,+∞)C.(－1,2] D.(－∞,－1]∪(2,+∞)参考答案：C【分析】先解得不等式及时函数的值域,再根据交集的定义求解即可.【详解】由题,不等式,解得,即；因为函数单调递增,且,所以,即,则,故选:C【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解指数不等式,考查对数函数的值域.9.若函数的图象关于直线及直线对称，且时，，则

(

)（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B略10.如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为(

)参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知a=，则二项式的展开式中的常数项为．参考答案：﹣84【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】根据定积分求出a的值，再利用二项式展开式的通项公式求出展开式中的常数项．【解答】解：a==dx+sinxdx=×arcsinx﹣cosx=××π=1，∴二项式=，其展开式通项公式为：Tr+1=?x9﹣r?=（﹣1）r??x9﹣3r，令9﹣3r=0，解得r=3，∴展开式中的常数项为T4=（﹣1）3?=﹣84．故答案为：﹣84．【点评】本题考查了定积分与二项式展开式的通项公式应用问题，是综合题．12.若方程在上有两个不同的实数根，则的取值范围是________________．参考答案：略13.若正实数满足，且恒成立，则的最大值为_____________．参考答案：1略14.双曲线的左、右焦点分别为，直线过，且交双曲线C的右支于A，B（A点在B点上方）两点，若，则直线的斜率k=______.参考答案：略15.（5分）采用系统抽样方法从600人中抽取50人做问卷调查，为此将他们随机编号为001，002，…，600，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，抽到的50人中，编号落入区间[001，300]的人做问卷A，编号落入区间[301，495]的人做问卷B，编号落入区间[496，600]的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为

．参考答案：8【考点】：系统抽样方法．概率与统计．【分析】：从600人中抽取50人做问卷调查，=12．即每12人中抽取1人做问卷调查，可知：按3+12k（k∈N*）抽取．可得：在区间[496，600]抽取的第一人号码为507，依次为507+12，507+12×2，…，507+12×7，即可得出．解：∵从600人中抽取50人做问卷调查，=12．即每12人中抽取1人做问卷调查，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽得的号码为003，则以后按3+12k（k∈N*）抽取．∵3×12×41=495，∴在区间[496，600]抽取的第一人号码为507，依次为507+12，507+12×2，…，507+12×7，因此编号落入区间[496，600]的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为8．故答案为：8．【点评】：本题考查了系统抽样的方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.对于直线平面，则“”是“”成立的

条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．参考答案：必要不充分；17.给出下列命题：①在△ABC中，若为锐角；②函数是既是奇函数又是增函数；③若，且a与b的夹角为钝角，则的取值范围是；④函数的图象与至多有一个交点；其中正确命题的序号是

.（把你认为正确命题的序号都填上）参考答案：答案：②④三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为，求a的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点，证明:当时，.参考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析【分析】(Ⅰ)求导得到，，解得答案.(Ⅱ)，故，在上单调递减，在上单调递增，，设，证明函数单调递减，故，得到证明.【详解】(Ⅰ)，故，，故.(Ⅱ)，即，存在唯一零点，设零点为，故，即，在上单调递减，在上单调递增，故，设，则，设，则，单调递减，，故恒成立，故单调递减.，故当时，.【点睛】本题考查了函数的切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.19.如图，四棱锥中，平面，四边形是矩形，、分别是、的中点．若，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求点到平面的距离；（Ⅲ）求直线平面所成角的正弦值．

参考答案：解析：如图建立空间直角坐标系如图，则A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），E（，0，0），F（0，，），C（，3，0）

（I）取PC的中点G，连结EG，则G

（II）设平面PCE的法向量为

（III）

直线FC与平面PCE所成角的正弦值为.

20.（本小题满分12分）设命题p：函数的定义域为R；命题q：对一切的实数恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围.参考答案：p：………4分q：……………………8分∵“p且q”为假命题

∴p,q至少有一假（1）若p真q假，则且（2）若p假q真，则且（3）若p假q假，则且∴…………………12分21.（本题满分13分）已知是正数，，，．（Ⅰ）若成等差数列，比较与的大小；（Ⅱ）若，则三个数中，哪个数最大，请说明理由；（Ⅲ）若，，（），且，，的整数部分分别是求所有的值．参考答案：（Ⅰ）由已知得=．因为成等差数列，所以，则，因为，所以，即，则，即，当且仅当时等号成立．………………4分（Ⅱ）解法1：令，，，依题意，且，所以．故，即；且，即．所以且．故三个数中，最大．解法2：依题意，即．因为，所以，，．于是，，，，所以，．因为在上为增函数，所以且．故三个数中，最大．

………………8分（Ⅲ）依题意，，，的整数部分分别是，则，所以．又，则的整数部分是或．当时，；当时，．（1）当时，，，的整数部分分别是，所以，，．所以，解得．又因为，，所以此时．（2）当时，同理可得，，．所以，解得．又，此时．（3）当时，同理可得，，，同时满足条件的不存在．综上所述．

………………13分22.已知从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点．又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C中，求以点为中点的弦MN所在的直线方程．参考答案：（Ⅰ）由题意知：，故，即，解得，………………2分又，解得，…………………