一种多手机器人识别系统的稳定性分析

一种多手机器人识别系统的稳定性分析

机器人系统越来越受到重视，越来越受到重视。在机器人设计研究中，由于存在建模误差和操作环境，如通风、摩擦、障碍物等未知因素的影响，稳定分析是研究这些因素对吸收质量和系统性能的影响，因此稳定性是机器人工程设计的重要因素。在稳定性应用研究中，传统的稳定性研究是建模条件差、设计困难或成本高的，这限制了机器人采集系统的应用。事实上，大多数实际的采集系统是不稳定的，并且它们只能收集一些不稳定的点。在这种情况下，这项工作主要讨论了机器人采集系统的几乎稳定性。对于给定物体,利用机器人手进行抓取操作的系统称之为抓取或者抓取系统.一般的,被抓取物体本身也称为抓取,如简单夹持器抓取或多指抓取.多指手机器人抓取系统是一个特殊的非线性系统,对它的稳定性研究在机器人研究史上引起了众多的关注.1999年熊蔡华等人提出了n弹性手指纯滚动抓取的系统模型,并利用Lyapunov直接方法研究了抓取系统的动态稳定性的条件.而在现有文献中非线性系统稳定性研究的主要工具有Lyapunov直接方法、压缩映像原理、非线性测度方法、非线性算子谱半径等.所有这些方法都是在系统平衡点的某邻域的整个内部考察了平衡点的稳定性性态.实际上,很多应用系统并不需要其平衡点作为吸引子时处处吸引,或者不可能处处吸引,而只需要有“足够多”的点被吸引即可.2001,AndersRanzter提出了Lyapunov稳定性方法的“对偶”方法,称从系统平衡点的某邻域内出发的解轨线在除去一个零测度集以外收敛到平衡点的稳定性为几乎处处稳定性.本文主要应用AndersRanzter提出的“对偶”方法研究多指手机器人抓取系统的几乎处处稳定性,同时构造了密度函数以考察其平衡点的稳定性性态.为了叙述方便,在本中引用以下记号:(1)ᐁρ=gradρ=(∂ρ/∂x1∂ρ/∂x2…∂ρ/∂xn),ρ:Rn→R,(2)ᐁf=divf=(∂f1/∂x1+∂f2/∂f2+…+∂fn/∂xn),f:Rn→Rn.考察抓取系统˙x=Ax+F(x)x˙=Ax+F(x)(1)和它的线性系统˙x=Axx˙=Ax.(2)其中状态向量x∈R12,非线性函数F(x)及矩阵A满足;Δx为抓取位置偏差变量,Δθ为抓取角度偏差变量;矩阵A,˜Μb,˜Bb和˜Κb分别称为系统的系数矩阵、惯性矩阵、减震矩阵和弹性矩阵;矩阵Ci,Di和˜Κi详见参考文献;x*=0是系统平衡点.这个模型是1999年熊蔡华等人提出来的,2003年王凯明考察了其模型中省略了的非线性项,并利用Lyapunov直接方法、非线性测度法以及系统矩阵的加权范数研究了这个模型的平衡点的稳定性.但就作者了解的程度而言,对多指手机器人抓取系统的稳定性研究中,到目前为止还没有对其几乎处处稳定性的研究.在本文中将把AndersRanzter提出的“对偶”方法应用到机器人抓取系统(1)上,通过构造相应的密度函数来考察其相应的稳定性性态.换言之,将证明一下定理:定理1如果存在实数α>0,使得抓取系统矩阵以及非线性项满足以下条件:(1)抓取系统矩阵˜Bb和˜Κb是正定的,(2)对几乎所有的x有-xΤ2˜Bbx2+Δ˙θΤF1(x)<α-1(xΤ1˜Κbx1+xΤ2˜Μbx2)[trace(-Μ-1b˜Bb)+∂F11∂Δ˙θ1+∂F12∂Δ˙θ2+∂F13∂Δ˙θ3]成立,则机器人抓取系统(1)的平衡点几乎处处渐近稳定,其中Δ˙θ=[Δ˙θ1Δ˙θ2Δ˙θ3]Τ,以及F1(x)=m∑i=1(Cix1טΚix2+Dix2טΚix2)=(F11F12F13)Τ.为了证明以上定理,首先需要引入以下引理:引理1给定方程˙x(t)=f(x(t)),其中f∈C1(Rn,Rn)且f(0)=0.如果存在非负函数ρ∈C1(Rn0},R)使得ρ(x)f(x)/|x|在集合{x∈Rn:|x|≥1}上可积而且对几乎所有的x都有[ᐁ·fρ](x)>0,则几乎对所有的初值x(0)系统的解轨线x(t)在t∈(0,∞)都存在,而且在t→∞时趋于零;更进一步,如果平衡点x=0是稳定的,则当ρ取负值时结论仍然成立.引理的证明见文献.证明(定理1)令ρ(x)=[(xΤ1˜Κbx1+xΤ2˜Μbx2)]-α,f(x)=Ax+F(x)则由定理条件(2)知ρ正定而且ρ∈C1(R120},R)以及在ρ(x)f(x)/|x|在{x∈R12:|x|≥1}上可积.由于ᐁ·f=trace(-Μ-1b˜Bb)+∂F11∂Δ˙θ1+∂F12∂Δ˙θ2+∂F13∂Δ˙θ3,∇ρ=-α(xΤ1˜Κbx1+xΤ2˜Μbx2)-α-1[˜Κbx1˜Μbx2],∇ρ⋅f=-α(xΤ1˜Κbx1+xΤ2˜Μbx2)-α-1[-xΤ2˜Bbx2+Δ˙θΤF1(x)],所以有[∇⋅fρ)](x)=ρ∇⋅f+∇ρ⋅f=(xΤ1˜Κbx1+xΤ2˜Μbx2)-α-1(xΤ1˜Κbx1+xΤ2˜Μbx2)[trace(-Μ-1b˜Bb)+∂F11∂Δ˙θ1+∂F12∂Δ˙θ2+∂F13∂Δ˙θ3]-α(xΤ1˜Κbx1+xΤ2˜Μbx2)-α-1[-xΤ2˜Bbx2+Δ˙θΤF1(x)].由引理知,如果以下不等式-xΤ2˜Bbx2+Δ˙θ⋅F1(x)<α-1(xΤ1˜Κbx1+xΤ2˜Μbx2)[trace(-Μ-1b˜Bb)+∂F11∂Δ˙θ1+∂F12∂Δ˙θ2+∂F13∂Δ˙θ3]对几乎所有的x成立,则几乎对所有的初值x(0),机器人抓取系统(1)的解轨线x(t)在t∈(0,∞)都存在而且在t→∞时趋于零.所以由引理知,机器人抓取系统(1)平衡点几乎处处渐近稳定.证毕.研究这些非线性项中F(x)信息,由定理1的结论可得到以下2个推论:推论1若存在实数α>0,抓取系统矩阵˜Bb和˜Κb是正定的而且几乎处处满足以下不等式-xΤ2˜Bbx2<α-1(xΤ1˜Κbx1+xΤ2˜Μbx2)trace(-Μ-1b˜Bb),则抓取线性系统(2)的平衡点是几乎处处渐近稳定的.推论2如果推论1的条件成立并且非线性函数F(x)几乎处处满足不等式Δ˙θ1F11(x)+Δ˙θ2F12+Δ˙θ3F13<∂F11∂Δ˙θ1+∂F12∂Δ˙θ2+∂F13∂Δ˙θ3,则抓取系统(1)的平衡点几乎处处渐近稳定.机器人抓取系统的非线性项F(x)包含了如减震、摩擦及很多不确定因素,所以考察非线性项对稳定性的作用对于机器人抓取系统的设计非常重要;同时,当机器人抓取系统的平衡点作为一个吸引子,并不需要对其指定邻域(即一般文献中的吸引域)内的点处处吸引或者不可能处处吸