《高等应用数学》016-0（曾慧平）课件 07-第七章 多元函数微积分

高等应用数学目录CONTENTS前言0002第2章导数与微分第4章不定积分04第1章函数与极限01第3章导数的应用03第5章微分方程05第6章微分方程06第7章多元函数微积分07多元函数微积分第7章7.1多元函数的基本概念7.2多元函数的微分学7.3多元函数的积分学导学4本章将在一元函数微积分的基础上，讨论多元函数微积分的相关知识。在讨论中我们以二元函数为主，因为从一元函数到二元函数会产生新的问题，而从二元函数到二元以上的多元函数则可以类推。导学学习目标51．理解多元函数的定义和图形，理解二元函数的极限并掌握其运算法则，理解二元函数的连续性。2．理解偏导数的概念，掌握一元函数及二元函数偏导数的求法，理解高阶偏导数的定义并掌握其求法。学习目标63．理解全微分的概念并掌握其求法，掌握全微分在近似计算中的应用，掌握多元复合函数的求导法则，掌握隐函数的求导公式，会求多元函数的极值和最值。4．理解二重积分的概念，了解二重积分的性质，掌握在直角坐标系和极坐标系中二重积分的计算方法，能够利用二重积分计算立体体积和曲面面积。素质目标71．培养大局观，提升社会责任感和使命感。2．培养科学精神和理性思维，提升科学素养。3．养成踏实细致、科学严谨、执着专注的学习态度。多元函数的基本概念7.17.1.1多元函数的概念9引例11.多元函数的定义解：一定量理想气体的体积V、压强P与绝对温度T之间具有关系

（R是常数），这里有三个变量P,V,T，当V,T在集合{(V,T)|V>0，T>T0}内取定一对值(V,T)时，就有唯一确定的压强值P与之对应。7.1.1多元函数的概念10引例21.多元函数的定义解:设某直角三角形的底边长为x，高为y则该直角三角形的面积s为，

这里有三个变量S,x,y，当x，y在集合{(x，y)x>0,y>0}内取定一对值(x，y)时，就有唯一确定的面积s与之对应。7.1.1多元函数的概念11定义1设有三个变量x,y,z，当变量x，y在某一范围D内任取一对值(x，y)时，按照一定的对应法则f，变量z总有唯一确定的值与之对应，则称变量z是变量x,y的二元函数记作z=f(x,y)。其中，x,y称为自变量，z称为因变量，自变量x,y的取值范围D称为该函数的定义域。7.1.1多元函数的概念12二元函数的定义域D是xOy面上的平面区域。围成平面区域的直线或曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域。如果一个区域D内任意两点之间的距离都不超过某一常数M，则称D为有界区域，否则称为无界区域。7.1.1多元函数的概念13无界开区域有界闭区域7.1.1多元函数的概念14例1

解

由题意可知，该函数的定义域应满足

所以，所求定义域为

函数定义域的图形是以原点为圆心、半径为1的圆内及圆周上点的全体，如图所示。7.1.1多元函数的概念152.多元函数的图形设二元函数z=f(x,y)的定义域为D，对于D中任一点P(x,y)，对应的函数值为z=f(x,y)。这样，以x为横坐标、y为纵坐标和z=f(x,y)为竖坐标在空间就确定一点M(x,y,z)。当(x,y)取遍D上的一切点时，得到一个空间点集

这个点集称为二元函数z=f(x,y)的图形，该图形通常是一张曲面，定义域D就是此曲面在平面xOv上的投影，如图所示。7.1.2多元函数的极限16设P0(x0，y0）是xOy平面上的一个点，δ是某一正数，与点P0(x0，y0）距离小于δ的点P(x，y)的全体，称为点P0(x0，y0）的δ邻域，记作U(P0，δ)，即口

。

。177.1.2多元函数的极限定义2设函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0）的某去心邻域内有定义，点P(x，y)是该邻域内异于P0(x0，y0）任意一点，如果当点P(x,y)以任意方式无限地趋于P0(x0，y0）时，函数f(x，y)总趋于一个确定的常数A，则称常数A为函数f(x,y)当(x,y)→(x0，y0)时的极限,记作

或

也记作

或

18例27.1.2多元函数的极限

解：当点P(x，y)沿x轴趋于点(0,0)，即当y=0而x→0时，有

当点P(x，y)沿y轴趋于点(0,0)，即当x=0而y→0时，有

当点P(x，y)沿直线y=kx(k≠0)，即当y=kx而x→0时，有

197.1.2多元函数的极限例3求极限

解：

207.1.3多元函数的连续性设函数z=f(x，y)在P0(x0，y0）的某邻域内有定义，如果定义3

217.1.3多元函数的连续性定义3如果函数f(x,y)在区域D内的每一点处都连续，则称z=f(x,y)在区域D上连续,或称z=f(x，y)是D上的连续函数。（1）多元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合函数仍是连续函数。（2）多元初等函数在其定义区域内连续。所谓定义区域是指包含在定义域内的开区域或闭区域。（3）在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值。（4）在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。多元连续函数有如下特点：227.1.3多元函数的连续性例4求极限

因为点(1,2)为定义域D内的一点，所以

课堂小结23多元函数的定义多元函数的极限多元函数的连续性多元函数的微分学7.27.2.1偏导数251.偏导数的概念及其计算法设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0，而x在x0处有增量Δx时，相应的函数有增量f(x0+Δx,y0)-f(x0，y0)，如果

定义1

，，或

7.2.1偏导数261.偏导数的概念及其计算法

，，或

记作7.2.1偏导数271.偏导数的概念及其计算法

，，或

如果函数z=f(x，y)在区域D内每一点(x，y)处对x的偏导数都存在，则这个偏导数就是x,y的函数，称它为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导函数，记作类似地，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导函数，记作

，，或

7.2.1偏导数281.偏导数的概念及其计算法偏导数的定义可以推广到二元以上的函数。求多元函数对某个自变量的偏导数时，只需要把其他自变量看作常量，按照一元函数的求导公式和求导法则进行求导即可。7.2.1偏导数29

例1

，，和

解:

把y看作常量，得

把x看作常量，得

7.2.1偏导数30

例2

，

解:

，

例3

，

解:，

例4

，解:

7.2.1偏导数31，

例5

，

解:把y,z都看作常量，得

把x,z都看作常量，得

把x,y都看作常量，得

7.2.1偏导数322.高阶偏导数定义2设函数z=f(x，y)在区域D内具有偏导数

或

。则在D内fx(x,y)，fy(x,y)都是x,y的函数。如这两个函数的偏导数都存在，则称它们为函数z=f(x,y)的二阶偏导数，按照对变量求导次序的不同，有下列四个二阶偏导数。

其中第二、三个偏导数称为二阶混合偏导数。二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。7.2.1偏导数33

例6

，

，，

解:因为，

，所以

7.2.1偏导数34定理1

。7.2.2全微分351.全微分的概念由偏导数的定义知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时，因变量相对于该自变量的变化率。根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可知

以上两式的左边分别称为二元函数对x和对y的偏增量，右边分别称为二元函数对x和对y的偏微分7.2.2全微分361.全微分的概念

7.2.2全微分37定义3

全微分7.2.2全微分38定理2可微的必要条件

7.2.2全微分39定理3可微的充分条件

类似地，以上二元函数全微分的定义及可微的必要条件、充分条件，可以推广到三元及三元以上的函数．例如，若三元函数u=f(x,y,z)可微，则其全微分可写为

7.2.2全微分40

例7

解:因为，，所以

求z=x2y2在点(2,-1)处的全微分例8解:因为

所以

7.2.2全微分412.全微分在近似计算中的应用由二元函数全微分的定义及全微分存在的充分条件可知，当二元函数z=f(x，y)在点(x,y)处的两个偏导数fx(x，y)，fy(x，y)连续，且|Δx|和|Δy|都较小时，有近似公式Δz≈dz=fx(x，y)Δx+fy(x，y)Δy（7-1）上式也可以写成f

(x+Δx，y+Δy)≈

f(x，y)+fx(x，y)Δx+fy(x，y)Δy（7-2）7.2.2全微分42

例9解：设函数f(x,y)=xy。显然，要计算的值就是函数在点x=1.04，y=2.02时的函数值f(1.04,2.02)。取x=1，y=2，Δx=0.04，Δy=0.02，由于fx(x，y)=yxy-1fy(x，y)=xylnxf

(1，2)=1fx(1，2)=2fy(1，2)=0所以，应用式（7-2）便有

7.2.3多元复合函数的求导法则431.一元函数与多元函数复合的情形定理4如果函数u=φ(t)及v=ψ(t)都在点t处可导，函数z=f(u，v)在对应点(u，v)处具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ(t),ψ(t)]在点t处可导，且有

(7-3)7.2.3多元复合函数的求导法则441.一元函数与多元函数复合的情形定理4式（7-3）可用图所示来表达，z到t有两条路径，每条路径中的箭头表示前一个变量对后一个变量的导数（此处的导数包含偏导数)，两个箭头相连表示两个导数相乘,z对t求导就是两条路径之和。45

例107.2.3多元复合函数的求导法则解：

467.2.3多元复合函数的求导法则2.多元函数与多元函数复合的情形定理5设u=φ(x，y)，v=ψ(x,y)都在点(x,y)处具有对x及对y的偏导数，函数z=f(u,v)在对应点(u，v)处具有连续偏导数，则复合函数z=f[φ(x，y),ψ(x，y]，在点(x,y)处的两个偏导数均存在，且有

(7-5)(7-6)477.2.3多元复合函数的求导法则

例11解：

487.2.4隐函数的求导公式设方程F(x，y)=0确定了一元隐函数y=f(X)，将y=f(x)代入方程，得F[x,f(x)]=0上式左边可看成x的一个复合函数，根据多元复合函数的求导法则，两边对x求导，得

若Fy≠0则有

式（7-9）就是一元隐函数的求导公式497.2.4隐函数的求导公式类似地，设方程F(x，y，z)=0确定了二元隐函数z=f(x，y)，将z=f(x,y)代入方程得F[x,y,f(x,y)]=0根据多元复合函数的求导法则，上式两边分别对x,y求导得

若Fz≠0则有

式（7-10）就是二元隐函数的求导公式507.2.4隐函数的求导公式例12

解：设F(x,y)=(x2+y2)2-2(x2

–y2)，因为

所以

例13设方程xy+sinz+y=2z确定了隐函数z=f(x,y),求

解：设F(x,y,z)=

xy+sinz+y-2z，因为

所以

517.2.5多元函数的极值及最值1.多元函数的极值定义4设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内有定义，若对于该邻域内异于(x0，y0)任一点(x，y)，都有f(x，y)<f(x0，y0)则称函数z=f(x,y)在点(x0，y0)处有极大值f(x0，y0)，点(x0，y0)称为函数z=f(x,y)的极大值点；若对于该邻域内异于(x0，y0)的任一点(x，y)，都有f(x，y)>f(x0，y0)则称函数z=f(x,y)在点(x0，y0)处有极小值f(x0，y0)，点(x0，y0)称为函数z=f(x,y)的极小值点。极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。527.2.5多元函数的极值及最值例14函数z=2x2+3y2在点(0，0)处有极小值0,因为对于点(0，0)的任一邻域内异于(0,0)的点，其函数值都为正，而在点(0,0)处的函数值为0。从几何上看，这是显然的，因为点(0，0，0)是开口向上的椭圆抛物面z=2x2+3y2的顶点，如图所示。解：537.2.5多元函数的极值及最值例15解：

547.2.5多元函数的极值及最值例16解：函数z=y2

–x2在点0,0)处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点(0,0)处的函数值为0，而在点(0,0)的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。从几何上看，函数z=y2-x2表示的是双曲抛物面（马鞍面)，如图所示。557.2.5多元函数的极值及最值二元函数的极值概念可以推广到n元函数。设n元函数u=f(P)在点P0的某一邻域有定义，若对于该邻域内异于P0的点P，都有f(P)<f(P0)(或f(P)>f(P0))则称函数f(P)在点P0处有极大值（或极小值）f(P0）在一元函数中，一般利用导数来解决极值问题；在二元函数中，可以利用偏导数来解决极值问题。567.2.5多元函数的极值及最值定理6极值存在的必要条件设函数z=f(x,y)在点(x0，y0)处具有偏导数，且在该点处有极值，则有

以上定理可以推广到三元及三元以上的函数。与一元函数的情形类似，对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为0的点称为函数驻点。577.2.5多元函数的极值及最值定理7极值存在的充分条件设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，且fx(x0，y0)=0,fy(x0，y0)=0，令

587.2.5多元函数的极值及最值例17求函数f(x,y)=x3+y3-3xy的极值解：

（1）先求一阶、二阶偏导数，即f(x,y)=3x2-3yf(x,y)=3y2-3x

（2）解方程组

求得驻点为(0,0)和(1,1)

597.2.5多元函数的极值及最值2.多元函数的最值在实际可题中，如果根据问题的性质，知道函数在D上连续，其最大值（或最小值）一定在D内取得，并知道函数在D内可微，且只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的函数值就是函数在D上的最大值（或最小值)。607.2.5多元函数的极值及最值例18某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长方体水箱。问当长、宽和高各为多少时，才能使用料最省？

即可见材料面积A=A(x,y)是x和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使该函数取得最小值的点(x,y)。令

解上述方程组，得

617.2.5多元函数的极值及最值例18

627.2.5多元函数的极值及最值3.条件极值拉格朗日乘数法不用将条件极值转化为无条件极值，就可以直接求解设函数f(x,y)和φ(x，y)在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，且φx(x,y)不同时为0，求函数z=f(x,y)在附加条件φ(x,y)=0下的可能极值点，可通过以下步骤来求解。637.2.5多元函数的极值及最值3.条件极值拉格朗日乘数法(1）构造辅助函数L(x，y)=f(x,y)+λφ(x，y)，其中λ为参数。(2）求辅助函数L(x，y)对x，y的一阶偏导数，并使之为0，与方程φ(x,y)=0联立起来，组成方程组：

647.2.5多元函数的极值及最值例19设某公司下属的甲、乙两厂生产同一产品，当甲、乙两厂的产量分别为x件和y件时，总成本为C(x,y)=3x2+xy+y2+200000（元）。现有总成本530000元，该如何分配中、乙两厂的生产指标，才能使甲、乙两厂的产量之和为最大？解：

所求问题是在附加条件

下，求函数z=x+y的最大值。（1）构造拉格朗日函数

657.2.5多元函数的极值及最值例19(3)因为x≥0，y≥0，所以由以上方程组可解得

所以(100,500)为可能极值点。根据题意可知，最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得，也就是说当x=100，y=500时，两厂的产量之和最大，最大为100+500=600（件)。课堂小结66偏导数全微分多元复合函数的求导法则隐函数的求导公式多元函数的极值及最值多元函数的积分学7.37.3.1多元函数的概念68引例1曲顶柱体的体积设有一个立体，它的底是xOy平面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线，而母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f(x,y)，这里f(x，y)≥0且在D上连续。这种立体称为曲顶柱体，如图所示·现在来讨论如何定义和计算该曲顶柱体的体积V。7.3.1多元函数的概念69引例1（1）分割把D任意分成n个小闭区域Δσ1,Δσ2,…,Δσn，分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于z轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分成n个细曲顶柱体。7.3.1多元函数的概念70引例1（2）近似代替我们在每个小闭区域Δσ1,（这个小闭区域的面积也记作Δσ1）中任取一点f(ξ，ηi)，则细曲顶柱体的体积ΔVi就近似为以Δσ1为底、f(ξ，ηi)为高的细平顶柱体的体积（见图)，即

7.3.1多元函数的概念71引例1（3）求和n个细平顶柱体的体积相加，便得到整个曲顶柱体体积的近似值，即

当各小闭区域的直径中的最大者（记作λ）趋于0时，如果上述和的极限存在，则此极就是所求曲顶柱体的体积，即

（4）取极限7.3.1多元函数的概念72引例2平面薄板的质量如图所示，设有一平面薄片占有xOy面上的闭区域D，它在点(x，y)处的面密度为ρ(x，y)，这里ρ(x，y)>0且在D上连续，现在计算该薄片的质量m。7.3.1多元函数的概念73引例2（1）分割把D任意分成n个小闭区域Δσi(i=1,2,…,n)（2）近似代替

在Δσi上任取一点f(ξi

,ηi)，则该小闭区域上的薄板质量Δmi就近似为，即

7.3.1多元函数的概念74引例2（3）求和n个小闭区域上薄板质量近似值相加，便得到整个平面薄板质量的近似值，即（4）取极限当各小闭区域的直径中的最大者（记作λ）趋于0时，如果上述和的极限存在，则此极限就是所求平面薄板的质量，即

7.3.1多元函数的概念75定义设z=f(x,y)为有界闭区域D上的有界函数.把闭区域D任意分成n个小闭区域

7.3.2二重积分的性质76性质1被积函数的常数因子可提到积分号外面，即

（k为常数）性质2函数和与差的积分等于各函数积分的和与差，即

被积函数的可加性7.3.2二重积分的性质77性质3积分区域的可加性

若闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域，则在D上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。例如，若D分为两个部分闭区域D1，D2，则

性质4

7.3.2二重积分的性质78性质5保序性若在D上，f(x，y)≤φ(x，y)，则有

推论由于-|f(x，y)|≤f(x，y)≤|f(x，y)|，所以

7.3.2二重积分的性质79性质6

性质7二重积分的中值定理

7.3.3二重积分的计算801.在直角坐标系中计算二重积分(1)如果积分区域D可用不等式φ1(x)≤y≤φ2(x)，a≤x≤b表示，即D={(x,y)|φ1(x)≤y≤φ2(x)，a≤x≤b}则称D为X型区域，其中函数φ1(x)，φ2(x)在区间[a，b]上连续。X型区域的特点是穿过D内部且平行于y轴的直线与D的边界相交不多于两点，如图所示。直角坐标系下二重积分的计算7.3.3二重积分的计算811.在直角坐标系中计算二重积分(2)如果积分区域D可用不等式ψ1(y)≤x≤ψ2(y)，c≤y≤d表示，即D={(x,y)|

ψ1(y)≤x≤ψ2(y)，c≤y≤d}则称D为Y型区域，其中函数ψ1(y)，ψ2(y)在区间[c，d]上连续。Y型区域的特点是穿过D内部且平行于x轴的直线与D的边界相交不多于两点，如图所示。7.3.3二重积分的计算821.在直角坐标系中计算二重积分积分区域D为X型区域的二重积分计算例：利用“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法来计算曲顶柱体的体积先计算平行截面的面积。如图所示，在区旧[a,b]上任意取一定点x0，作平行于y0z面的平面x=x0，用这个平面去截曲顶柱体，得到一个以区间[φ1(x0)，φ2(x0)]为底、曲线z=f(x0,y)为曲边的曲边梯形，其面积为

7.3.3二重积分的计算831.在直角坐标系中计算二重积分积分区域D为X型区域的二重积分计算一般地，过区间[a，b]上任一点x且平行于面yOz的平面截曲顶柱体，所得截面的面积为

应用计算“平行截面面积为已知的立体的体积”的方法，得该曲顶柱体的体积为

7.3.3二重积分的计算841.在直角坐标系中计算二重积分积分区域D为X型区域的二重积分计算因为

所以

即

（7-11）7.3.3二重积分的计算851.在直角坐标系中计算二重积分积分区域D为Y型区域的二重积分计算类似地，如图所示，如果积分区域D为Y型区域，用平行于xOz面的平面去截以D为底、以曲面z=f(x，y)为顶的曲顶柱体，则可以得到以下二重积分计算公式

7.3.3二重积分的计算861.在直角坐标系中计算二重积分积分区域D为Y型区域的二重积分计算上式右边积分称为先对x、后对y的二次积分。这个积分也常记作

即

（7-12）7.3.3二重积分的计算87例1

解:因为D是X型区域，所以利用式（7-11）得

7.3.3二重积分的计算88例2

解:因为D是Y型区域，所以利用式（7-12）得

7.3.3二重积分的计算89例3计算其中D是由y=1,x=2及y=x所围成的闭区域

解：依据题意画出积分区域D,如图所示。D既是X型区域，又是Y型区域方法1:若D表示为X型区域，即

则有

方法2:若D表示为Y型区域，即

则有

7.3.3二重积分的计算90例4计算其中D是由y=x,y=1及y轴所围成的闭区域

解：依据题意画出积分区域D,如图所示。D既是X型区域，又是Y型区域方法1:若D表示为Y型区域，即

则有

方法2:若D表示为X型区域，即

则有

7.3.3二重积分的计算91例5计算二重积分其中D是由y=2,y=x及双曲线xy=1所围成的闭区域解：依据题意画出积分区域D,如图所示。D既是X型区域，又是Y型区域方法1:若D表示为Y型区域，即

则有

7.3.3二重积分的计算92例5计算二重积分其中D是由y=2,y=x及双曲线xy=1所围成的闭区域方法2:若D表示为Y型区域，即

则有

D1和D2都表示成X型区域有

于是，根据积分区域的可加性，有7.3.3二重积分的计算932.在极坐标系中计算二重积分积分区域D为Y型区域的二重积分计算如图所示，假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。我们用以极点为中心的一族同心圆（ρ=常数)；以及从极点出发的一族射线(θ=常数)，把D分成n个小闭区域。7.3.3二重积分的计算942.在极坐标系中计算二重积分除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积Δσi可按下式计算

-

-------

-----即7.3.3二重积分的计算952.在极坐标系中计算二重积分这里我们把点(ρ,θ)看成是在同一平面上的点(x，y)的极坐标表示，所以上式右边的积分区域仍然记作D。因为在直角坐标系中也常记作，所以上式又可写成

（7-13）7.3.3二重积分的计算962.在极坐标系中计算二重积分极点在积分区域D的外部

7.3.3二重积分的计算972.在极坐标系中计算二重积分极点在积分区域D的外部极坐标系中二重积分化为二次积分的计算公式为

上式也写成

（7-14）7.3