2020-2021学年山东省青岛市市南区七年级(下)期末数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年山东省青岛市市南区七年级（下）期末数学试卷一、选择题(本题满分24分，共有8道小题，每小题3分)下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的。每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。1．（3分）地铁是城市生活中的重要交通工具，地铁标志作为城市地铁的形象和符号，出现在城市的每个角落，它是城市文化的缩影．下列城市地铁的标志图案中（文字部分除外），是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列运算正确的是（）A．（x﹣y）2＝x2﹣y2 B．（﹣x）6÷x2＝﹣x4 C．x2y+xy2＝x3y3 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b63．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E是AD延长线上一点，连接AC，BD，下列条件可以判定AB∥CD的是（）A．∠BAD＝∠CDE B．∠DAC＝∠BCA C．∠DAB+∠ABC＝180° D．∠DAB＝∠DCB4．（3分）下列事件中，属于随机事件的是（）A．在一个装有5个红球和3个黑球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一个球是白球 B．用长度分别是2cm，3cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形 C．掷一枚质地均匀的最子，掷出的点数是质数 D．382个人中两个人的生日在同一天5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF6．（3分）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯∠A的度数为α，第二次拐弯∠B的度数为β，到了点C后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数为（）A．α﹣β B．180°﹣β+α C．360°﹣β﹣α D．β﹣α7．（3分）4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（）A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b8．（3分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，点D在线段CE上，点B在线段CF上，AF⊥CF，下列结论：①BC＝DE；②∠FAB+∠BDC＝45°；③若AC＝10，则S四边形ABCE＝50；④CE＝2AF．其中一定正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(本题满分24分，共有8道小题，每小题3分)9．（3分）计算：（﹣0.125）2021×82020＝．10．（3分）在高端材料和芯片制造的核心技术上，我国与国外还有较大差距．当前国际主流的芯片的特征尺寸是0.000000007m，而我国只能够实现0.000000014m的芯片量产．0.000000014用科学记数法可以表示为．11．（3分）如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、AF、EF，若△BEF的面积为6，则△ABC的面积是．12．（3分）如图，在3×3的正方形网格的格点上摆放了两枚棋子，第三枚棋子随机摆放在其它格点上（每个格点处最多摆放一枚），这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的概率为．13．（3分）如图，一位跑酷运动员准备以连续两次“跳跃”结束一次跑酷表演，即在水平面AB上跑至B点，向上跃起至最高点P，然后落在点C处，继续在水平面CD上跃起落在点D，若∠ABK和∠KCD的平分线的反向延长线刚好交于最高点P，∠BKC＝78°，则∠P等于度．14．（3分）如图，小颖用正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一幅图案，且阴影部分的面积为36cm2，则制作七巧板用的正方形边长为cm．15．（3分）李华放学回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家．若李华骑车的速度始终不变，从出发开始计时，李华离家的距离s（m）与时间t（min）的对应关系如图所示，则文具店与李华家的距离为m．16．（3分）如图1，在△ABC内部任取一点P1，则图中互不重叠的所有角的和是540°（Ⅰ）在图1中的任一小三角形内任取一点P2（如图2），则图中互不重叠的所有角的和是；（2）以此类推，当取到点Pn时，图中互不重叠的所有角的和是（用含n的代数式表示）．三、作图题(本题满分6分)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。17．（6分）两个小区A、B与两条马路公路l1，l2位置如图所示，为方便市民接种新冠肺炎疫苗，相关部门需在C处修建一个临时疫苗接种站，要求接种站到两个小区A、B的距离必须相等，到两条马路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．四、解答题(本题满分66分，共有7道小题)18．（18分）（1）计算：﹣23×（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1；（2）计算：（a2b3）•（﹣6ab2）2；（3）利用乘法公式计算：1982；（4）先化简，再求值[（3m+n）（m﹣n）﹣（2m﹣n）2+（m﹣2n）（m+2n）]÷（2n），其中m＝1，n＝﹣2．19．（6分）如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E．求证：DF∥AC．证明：∵AD平分∠BAC∴∠＝∠（角平分线的定义）∵EF垂直平分AD∴＝（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）∴∠BAD＝∠ADF（）∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）∴DF∥AC（）20．（6分）如图，现有一个均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有数字2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（1）转动转盘，转出的数字大于3的概率是多少？（2）现有两张分别写有3和5的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．①这三条线段能构成三角形的概率是多少？②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？21．（8分）如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．（1）△ACD和△CBF全等吗？请说明理由；（2）连结DF，AB能否垂直平分DF？为什么？22．（8分）某食品工厂将一种食品的加工任务平均分给甲、乙两个生产组共同完成．甲、乙两组同时以相同的效率开始工作，中途乙组因升级设备，停工了一段时间．乙组设备升级完毕后，工作效率有所提升，在完成本组任务后，还帮助甲组加工了60千克，最后两组同时停工，完成了此次加工任务．两组各自加工的食品量y（千克）与甲组工作时间x（小时）的关系如图所示．（1）甲组每小时加工食品千克，乙组升级设备停工了小时；（2）设备升级完毕后，乙组每小时可以加工食品多少千克？（3）求a、b的值．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射线CD∥AB．点M从点B出发，以3cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t（s）．（1）点M、N从移动开始到停止，所用时间为s；（2）当△ABM与△MCN全等时，①若点M、N的移动速度相同，求t的值；②若点M、N的移动速度不同，求a的值．24．（10分）阅读下列材料：数学中枚举法是一种重要归纳法也称为列举法、穷举法，我们通常通过枚举法发现规律找到特点，并运用数学推理的方法对其进行验证．（一）探索规律我们把末尾数字为5的正整数称为“威武数”N，N的平方数称为“平武数”M．例：152＝225（2＝1×2），252＝625（6＝2×3），352＝1225（12＝3×4），452＝2025（20＝4×5），552＝3025（30＝5×6），…（二）归纳总结由以上的枚举可以归纳得到的“平武数”特点是：（1）“平武数”的末两位数字是；（2）去掉末两位数字25后，剩下部分组成的数字等于（若“威武数”去掉个位数字5后剩余部分为n，请用含n的代数式表达这一特点）．（三）验证推广（1）根据以上特点我们能够推出四位的“平武数”M一共有个．（2）同学们用学过的完全平方公式验证：对任意“威武数”N，其平方数“平武数”M都满足以上特点．（3）已知一个位数小于六位的“平武数”M的首位数字是2，又满足其“威武数”N的各位数字之和与M的各位数字之和相等，求出该“平武数”M．

2020-2021学年山东省青岛市市南区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题满分24分，共有8道小题，每小题3分)下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的。每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。1．（3分）地铁是城市生活中的重要交通工具，地铁标志作为城市地铁的形象和符号，出现在城市的每个角落，它是城市文化的缩影．下列城市地铁的标志图案中（文字部分除外），是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．不是轴对称图形，不合题意；B．不是轴对称图形，不合题意；C．是轴对称图形，符合题意；D．不是轴对称图形，不合题意．故选：C．2．（3分）下列运算正确的是（）A．（x﹣y）2＝x2﹣y2 B．（﹣x）6÷x2＝﹣x4 C．x2y+xy2＝x3y3 D．（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6【解答】解：A、（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意；B、（﹣x）6÷x2＝x6÷x2＝x4，原计算错误，故此选项不符合题意；C、x2y与xy2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（﹣2ab2）3＝﹣8a3b6，原计算正确，故此选项符合题意；故选：D．3．（3分）如图，在四边形ABCD中，点E是AD延长线上一点，连接AC，BD，下列条件可以判定AB∥CD的是（）A．∠BAD＝∠CDE B．∠DAC＝∠BCA C．∠DAB+∠ABC＝180° D．∠DAB＝∠DCB【解答】解：A．∵∠BAD＝∠CDE，∴AB∥CD，故此选项符合题意；B．∵∠DAC＝∠BCA，∴AD∥BC，故此选项不符合题意；C．∵∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC，故此选项不符合题意；D．∠DAB＝∠DCB不能判定AB∥CD，故此选项不符合题意；故选：A．4．（3分）下列事件中，属于随机事件的是（）A．在一个装有5个红球和3个黑球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一个球是白球 B．用长度分别是2cm，3cm，5cm的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形 C．掷一枚质地均匀的最子，掷出的点数是质数 D．382个人中两个人的生日在同一天【解答】解：A．袋子中没有白球，因此摸到白球是不可能事件，不是随机事件，所以选项A不符合题意；B．因为2cm，3cm，5cm不满足三角形的三边关系，因此组不成三角形，是不可能事件，所以选项B不符合题意；C．掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数可能是质数也可能是合数，因此掷出的点数是质数是随机事件，所以选项C符合题意；D.382人中两个人的生日在同一天，是必然事件，因此选项D不符合题意；故选：C．5．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠B＝∠E B．AC＝DF C．∠ACD＝∠BFE D．BC＝EF【解答】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，∴当添加∠B＝∠E时，根据”ASA“判定△ABC≌△DEF；当添加AC＝DF时，根据”SAS“判定△ABC≌△DEF；当添加∠ACD＝∠BFE时，则∠ACB＝∠DFE，根据”AAS“判定△ABC≌△DEF．故选：D．6．（3分）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯∠A的度数为α，第二次拐弯∠B的度数为β，到了点C后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数为（）A．α﹣β B．180°﹣β+α C．360°﹣β﹣α D．β﹣α【解答】解：过B作BF∥AD，∵CE∥AD，∴AD∥BF∥CE，∴∠ABF＝∠A＝α，∠FBC＝180°﹣∠C，∵∠ABC＝∠ABF+∠FBC＝β，∴α+180°﹣∠C＝β，∴∠C＝180°﹣β+α故选：B．7．（3分）4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1＝2S2，则a、b满足（）A．2a＝5b B．2a＝3b C．a＝3b D．a＝2b【解答】解：S1＝b（a+b）×2++（a﹣b）2＝a2+2b2，S2＝（a+b）2﹣S1＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2，∵S1＝2S2，∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），整理，得（a﹣2b）2＝0，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b．故选：D．8．（3分）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，点D在线段CE上，点B在线段CF上，AF⊥CF，下列结论：①BC＝DE；②∠FAB+∠BDC＝45°；③若AC＝10，则S四边形ABCE＝50；④CE＝2AF．其中一定正确的结论个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，∴∠ACE＝∠AEC＝45°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，∴∠BAC＝∠EAD，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴BC＝DE，∠BCA＝∠E＝45°，故①正确；∵AF⊥FC，∴∠FAC＝∠FCA＝45°，∵∠ADC＝∠DAE+∠E＝∠ADB+∠BDC，∴∠BDC＝∠DAE＝∠BAC，∴∠FAB+∠BDC＝∠FAB+∠BAC＝45°，故②正确；∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，∴S四边形ABCD＝S△ADE+S△ACD＝S△ACE＝×102＝50，故③正确；∵∠ACB＝∠ACE＝45°，∴AC平分∠ECF，过点A作AG⊥CG，垂足为点G，又∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，∴AF＝AG，在Rt△ABF和Rt△ADG中，，∴Rt△ABF≌Rt△ADG（HL），∴BF＝DG，又∵AC＝AE，AG⊥CE，∴∠CAG＝∠EAG＝45°，∴∠CAG＝∠EAG＝∠ACE＝∠AEC＝45°，∴CG＝AG＝GE＝AF，∴CE＝2CE，故④正确；故选：D．二、填空题(本题满分24分，共有8道小题，每小题3分)9．（3分）计算：（﹣0.125）2021×82020＝﹣0.125．【解答】解：原式＝（﹣0.125×8）2020×（﹣0.125）＝（﹣1）2020×（﹣0.125）＝﹣0.125．故答案为：﹣0.125．10．（3分）在高端材料和芯片制造的核心技术上，我国与国外还有较大差距．当前国际主流的芯片的特征尺寸是0.000000007m，而我国只能够实现0.000000014m的芯片量产．0.000000014用科学记数法可以表示为1.4×10﹣8．【解答】解：0.000000014＝1.4×10﹣8，故答案为：1.4×10﹣8．11．（3分）如图，△ABC中，AD为BC边上的中线，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、AF、EF，若△BEF的面积为6，则△ABC的面积是16．【解答】解：∵点D是BC的中点，∴BD＝DC，∵F是CD的中点，∴DF＝FC，∴BD＝2DF，∴△BED的面积＝2×△DEF的面积，∵△BEF的面积为6，∴△BED的面积为4，∵点E是AD的中点，∴△ABD的面积＝2×△BED的面积＝8，∵点D是BC的中点，∴△ABC的面积＝2×△ABD的面积＝16，故答案为：16．12．（3分）如图，在3×3的正方形网格的格点上摆放了两枚棋子，第三枚棋子随机摆放在其它格点上（每个格点处最多摆放一枚），这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的概率为．【解答】解：由图知第三枚棋子可摆放的位置共有14种，其中这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的有8种，∴这三枚棋子所在格点恰好是等腰三角形顶点的概率为＝，故答案为：．13．（3分）如图，一位跑酷运动员准备以连续两次“跳跃”结束一次跑酷表演，即在水平面AB上跑至B点，向上跃起至最高点P，然后落在点C处，继续在水平面CD上跃起落在点D，若∠ABK和∠KCD的平分线的反向延长线刚好交于最高点P，∠BKC＝78°，则∠P等于51度．【解答】解：过点P作MN∥AB，延长DC交BK于点H，交BE于点G，∵∠KCD＝∠KHC+∠K，∠KHG＝∠KCH+∠K，∴∠KCD+∠KHG＝∠KHC+∠KCH+∠K+∠K＝180°+∠K，∵∠K＝78°，∴∠KCD+∠KHG＝180°+78°＝258°，∵AB∥CD，∴∠ABK＝∠KHG，∴∠ABK+∠KCD＝258°，∵EB平分∠ABH，FC平分∠KCD，∴∠EBA＝∠ABK，∠FCD＝∠KCD，∵MN∥AB，MN∥CD，∴∠EBA＝∠MPE，∠FCD＝∠FPN，∴∠MPE+∠FPN＝∠EBA+∠FCD＝∠ABK+∠KCD＝×258°＝129°，∴∠EPF＝180°﹣（∠MPE+∠FPN）＝180°﹣129°＝51°．故答案为：51°．14．（3分）如图，小颖用正方形做了一套七巧板，拼成如图所示的一幅图案，且阴影部分的面积为36cm2，则制作七巧板用的正方形边长为8cm．【解答】解：设正方形边长为xcm，则最小的等腰直角三角形面积为（cm2），由题意可得：x2﹣7×＝36，解得：x＝±8（负值舍去），∴制作七巧板用的正方形边长为8cm，故答案为：8．15．（3分）李华放学回家，中途在文具店买笔耽误了1分钟，然后继续骑车回家．若李华骑车的速度始终不变，从出发开始计时，李华离家的距离s（m）与时间t（min）的对应关系如图所示，则文具店与李华家的距离为900m．【解答】解：李华骑车的速度为：1500÷（6﹣1）＝300（米/分钟）．文具店与李华家的距离为：1500﹣300×2＝900（米）．故答案为：900．16．（3分）如图1，在△ABC内部任取一点P1，则图中互不重叠的所有角的和是540°（Ⅰ）在图1中的任一小三角形内任取一点P2（如图2），则图中互不重叠的所有角的和是900°；（2）以此类推，当取到点Pn时，图中互不重叠的所有角的和是（2n+1）×180°（用含n的代数式表示）．【解答】解：（1）在图1中的任一小三角形内任取一点P2（如图2），P则图中互不重叠的所有角的和是：5×180°＝900°；（2）当△ABC内的点的个数是1时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是3；当△ABC内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5；依此类推得到当△ABC内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7；当△ABC内的点的个数是n时，三角形内互不重叠的小三角形的个数2n+1．∴当取到点Pn时，图中互不重叠的所有角的和是：（2n+1）×180°．故答案为：（1）900°；（2）（2n+1）×180°．三、作图题(本题满分6分)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。17．（6分）两个小区A、B与两条马路公路l1，l2位置如图所示，为方便市民接种新冠肺炎疫苗，相关部门需在C处修建一个临时疫苗接种站，要求接种站到两个小区A、B的距离必须相等，到两条马路l1，l2的距离也必须相等，那么点C应选在何处？请在图中，用尺规作图找出所有符合条件的点C．【解答】解：如图，点C即为所求．四、解答题(本题满分66分，共有7道小题)18．（18分）（1）计算：﹣23×（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣1；（2）计算：（a2b3）•（﹣6ab2）2；（3）利用乘法公式计算：1982；（4）先化简，再求值[（3m+n）（m﹣n）﹣（2m﹣n）2+（m﹣2n）（m+2n）]÷（2n），其中m＝1，n＝﹣2．【解答】解：（1）原式＝﹣8×1﹣（﹣2）＝﹣8+2＝﹣6；（2）原式＝（a2b3）•（36a2b4）＝9a4b7；（3）原式＝（200﹣2）2＝40000﹣800+4＝39204；（4）原式＝（3m2﹣3mn+mn﹣n2﹣4m2+4mn﹣n2+m2﹣4n2）÷2n＝（2mn﹣6n2）÷2n＝m﹣3n，当m＝1，n＝﹣2时，原式＝1﹣3×（﹣2）＝1+6＝7．19．（6分）如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于点F、E．求证：DF∥AC．证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAC（角平分线的定义）∵EF垂直平分AD∴FD＝FA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）∴∠BAD＝∠ADF（等边对等角）∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）∴DF∥AC（内错角相等两直线平行）【解答】证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠DAC（角平分线的定义）∵EF垂直平分AD∴FD＝FA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等）∴∠BAD＝∠ADF（等边对等角）∴∠DAC＝∠ADF（等量代换）∴DF∥AC（内错角相等两直线平行）．故答案为：BAD，DAC，FD，FA，等边对等角，内错角相等两直线平行．20．（6分）如图，现有一个均匀的转盘被平均分成6等份，分别标有数字2、3、4、5、6、7这六个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（1）转动转盘，转出的数字大于3的概率是多少？（2）现有两张分别写有3和5的卡片，随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，与两张卡片上的数字分别作为三条线段的长度．①这三条线段能构成三角形的概率是多少？②这三条线段能构成等腰三角形的概率是多少？【解答】解：（1）转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，大于3的结果有4种，∴转出的数字大于3的概率是＝；（2）①转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成三角形的结果有5种，∴这三条线段能构成三角形的概率是；②转盘被平均分成6等份，转到每个数字的可能性相等，共有6种可能结果，能够成等腰三角形的结果有2种，∴这三条线段能构成等腰三角形的概率是＝．21．（8分）如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．（1）△ACD和△CBF全等吗？请说明理由；（2）连结DF，AB能否垂直平分DF？为什么？【解答】解：（1）△ACD≌△CBF，理由如下：∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∵∠BCA＝90°，∴∠ACE+∠DCE＝90°，∴∠CAE＝∠DCE，∵BF∥AC，∴∠ACB+∠CBF＝180°，∴∠CBF＝90°，在△ACD和△CBF中，，∴△ACD≌△CBF（ASA），（2）AB垂直平分DF，理由如下：由（1）知：△ACD≌△CBF，∴CD＝BF，∵点D是BC的中点，∴DB＝CD，∴BF＝DB，∵BF∥AC，∴∠CAB＝∠ABF，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠ABF＝∠CBA，∴AB垂直平分DF．22．（8分）某食品工厂将一种食品的加工任务平均分给甲、乙两个生产组共同完成．甲、乙两组同时以相同的效率开始工作，中途乙组因升级设备，停工了一段时间．乙组设备升级完毕后，工作效率有所提升，在完成本组任务后，还帮助甲组加工了60千克，最后两组同时停工，完成了此次加工任务．两组各自加工的食品量y（千克）与甲组工作时间x（小时）的关系如图所示．（1）甲组每小时加工食品30千克，乙组升级设备停工了2小时；（2）设备升级完毕后，乙组每小时可以加工食品多少千克？（3）求a、b的值．【解答】解：（1）由图象可得，甲组每小时加工食品：210÷7＝30（千克）；乙组升级设备停工了：4﹣2＝2（小时），故答案为：30；2；（2）（210﹣30×2）÷（7﹣4）＝50（千克/时），答：设备升级完毕后，乙组每小时可以加工食品50千克；（3）根据题意得，50（b﹣4）＝30（b﹣2）+60×2，解得b＝13，∴a＝30×2+50×（13﹣4）＝510．23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，过点C作射线CD∥AB．点M从点B出发，以3cm/s的速度沿BC匀速移动；点N从点C出发，以acm/s的速度沿CD匀速移动．点M、N同时出发，当点M到达点C时，点M、N同时停止移动．连接AM、MN，设移动时间为t（s）．（1）点M、N从移动开始到停止，所用时间为s；（2）当△ABM与△MCN全等时，①若点M、N的移动速度相同，求t的值；②若点M、N的移动速度不同，求a的值．【解答】解：（1）点M的运动时间t＝（秒），故答案为；（2）①∵点M、N的移动速度相同，∴CN＝BM，∵CD∥AB，∴∠NCM＝∠B，∴当CM＝AB时，△ABM与△MCN全等，则有12＝20﹣3t，解得t＝；②∵点M、N的移动速度不同，∴BM≠CN，∴当CN＝AB，CM＝BM时，两个三角形全等，∴运动时间t＝，∴a＝＝．24．（10分）阅读下列材料：数学中枚举法是一种重要归纳法也称为列举法、穷举法，我们通常通过枚举法发现规律找到特点，并运用数学推理的方法对其进行验证．（一）探索规律我们把末尾数字为5的正整数称为“威武数”N，N的平方数称为“平武数”M．例：152＝225（2＝1×2），252＝625（6＝2×3），352＝1225（12＝3×4），452＝2025（20＝4×5），552＝3025（30＝5×6），…（二）归纳总结由以上的枚举可以归纳得到的“平武数”特点