2016-2017学年高中数学选修4-1（人教版）练习：第三讲3.1平行射影 Word版含解析

第三讲圆锥曲线性质的探讨3.1平行射影A级基础巩固一、选择题1．下列说法正确的是()A．正射影和平行射影是两种截然不同的射影B．投影线与投影平面有且只有一个交点C．投影方向可以平行于投影平面D．一个图形在某个平面的平行射影是唯一的答案：A2．若一条直线与平面的一条斜线在此平面上的正射影垂直，则这条直线与这条斜线的位置关系是()A．垂直 B．异面C．相交 D．不能确定解析：当这条直线在平面内，则A成立，若这条直线是平面的垂线，则B或C成立．答案：D3．直线a，b在平面α内的正射影互相平行，则直线a，b的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面答案：D4．Rt△ABC的斜边BC在平面α内，则△ABC的两条直角边在平面α内的射影与斜边组成的图形只能是()A．一条线段 B．一个锐角三角形C．一个钝角三角形 D．一条线段或一个钝角三角形答案：D5．球在点光源P的照射下，在一个平面π上的射影的形状为()A．圆B．椭圆C．圆或椭圆D．圆或椭圆或抛物线或双曲线的一支解析：设平面π与PO的夹角为β(O为球心)，若β＝eq\f(π,2)，则射影为圆；再设PO与过P点的球的切线的夹角为α，则α<β<eq\f(π,2)时，射影为椭圆；α＝β时，射影为抛物线；α>β时，射影为双曲线的一支．答案：D 二、填空题6．一条直线在平面上的正射影是________．解析：当直线和平面垂直的时候，直线在平面内的正射影是一个点；当直线和平面不垂直的时候，直线在平面内的正射影是一条直线．答案：一个点或一条直线7．下列语句不正确的是________(填序号)．(1)正射影是平行射影的特例；(2)平行于投影面的线段，它的平行射影与这条线段平行且相等；(3)在同一直线或平行直线上，两条线段平行射影的比等于这两条线段的比；(4)两条相交直线的平行射影还是两条相交直线．解析：正射影是平行射影的特例，从而(1)正确；根据平行射影的性质，(2)是正确的；同样(3)也是平行射影的性质，因此也正确．而(4)中，两条相交直线的平行射影是两条相交直线或一条直线，故(4)不正确．答案：(4)8.如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA＝PB＝PC＝BC，且∠BAC＝eq\f(π,2)，则PA与底面ABC所成角为________．解析：如图所示，PA在面ABC的正射影必在BC中点E及点A的连线上，则所求角平面为∠PAE.又∠BAC＝eq\f(π,2)，则A在以BC为直径的圆周上，即AE＝eq\f(1,2)BC.易得△PAE为直角三角形，且∠PAE＝eq\f(π,3).故所求为eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)三、解答题9.如图所示，已知DA⊥平面ABC，△ABC是斜三角形，A′是A在平面BCD上的正射影，求证A′不可能是△BCD的垂心．证明：假设A′为△BCD的垂心，连接BA′，并延长BA′交CD于点E，则A′B⊥CD.由题意知AA′⊥平面BCD于点A′，所以AA′⊥CD.又因为AA′∩A′B＝A′，所以CD⊥平面AA′B.所以AB⊥CD.又因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥AB，所以AB⊥平面ACD.所以AB⊥AC，这与△ABC是斜三角形相矛盾，故A′不可能是△BCD的垂心．10．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿对角线AC把矩形折起，使D点在平面ABC内的射影恰好落在AB上，则三棱锥DABC的体积为多少？解：因为D点在平面ABC内的射影恰好落在AB上，AB⊥BC，所以BC⊥平面ABD，所以BC⊥BD，所以BD＝eq\r(7)，VDABC＝VCABD＝eq\f(1,3)BC·S△ABD＝eq\f(3\r(7),2)，如下图．B级能力提升1．如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形，则下列结论正确的是()A．内心的平行射影还是内心B．重心的平行射影还是重心C．垂心的平行射影还是垂心D．外心的平行射影还是外心解析：三角形的平行投影仍是三角形，但三角形的形状通常将发生变化，此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化，而重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常也发生变化，而内心则始终是原先角平分线的交点，所以仍是新三角形的内心．答案：A2．在四棱锥P-ABCD中，四条侧棱都相等，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB>CD.为保证顶点在底面ABCD所在平面上的正射影O落在梯形ABCD外部，则底面ABCD需满足条件______________(填上你认为正确的一个充分条件即可)．解析：由已知四条侧棱都相等，得P在底面ABCD上的正射影O应为四边形ABCD的外接圆圆心，要使圆心O在四边形ABCD外，则应使∠ACB>90°(或∠ADB>90°)．答案：∠ACB>90°(或∠ADB>90°)3.求证：在同一直线上的两条线段的平行射影的比等于这两条线段的比．已知：如图所示，C是线段AB上任一点，C′，A′，B′分别是C，A，B在平面α上沿直线l方向的平行射影．求证：eq\f(AC,