余弦定理课件

1．1.2余弦定理1．1.2余弦定理余弦定理课件1．Rt△ABC中，∠C＝90°，则a2＋b2＝

.2．若α为锐角，则cosα

0；若α为钝角，则

cosα

0；若α为直角，则cosα

0.c2＞＜＝1．Rt△ABC中，∠C＝90°，则a2＋b2＝(1)语言叙述三角形任何一边的平方等于

减去

的积的

．(2)公式表达a2＝

；b2＝

；c2＝

.其他两边的平方和这两边与它们夹角的余弦两倍b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC(1)语言叙述其他两边的平方和这两边与它们夹角的余弦两倍b2(3)推论cosA＝

；cosB＝

；cosC＝

.(3)推论2．余弦定理及其推论的应用应用余弦定理及其推论可解决两类解三角形的问题，一类是已知

解三角形，另一类是已知

解三角形．两边及其夹角三边两边及其夹角三边余弦定理课件1．已知三角形任意两边与一角，借助于正、余弦定理是否能求出其他元素？【提示】

能．已知三角形两边与一角有如图所示的两种情况：1．已知三角形任意两边与一角，借助于正、余弦定理是否能求出其图①中已知角A和边a，b，可由正弦定理先求角B和角C，继而可求边c.图②中已知角A和边b、c，可先由余弦定理求边a，继而可由正弦定理求角B和角C.余弦定理课件【思路点拨】

既可以先用正弦定理求出角C，再求其余的边和角，也可以先由余弦定理列出边长a的方程．解出a后再用正弦定理求角A和角C【思路点拨】既可以先用正弦定理求出角C，再求其余的边和角，余弦定理课件余弦定理课件通过比较两种解法，可以看出．方法一利用余弦定理列出关于a的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出a边的长，这样可免去判断取舍的麻烦．方法二直接运用正弦定理，先求角再求边，运算较简，但要判断解的情况进行取舍．两种方法各有优劣．通过比较两种解法，可以看出．方法一利用余弦定理列出关于a的等余弦定理课件余弦定理课件

已知三边(或三边关系)解三角形在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5,求最大角和sinC.【思路点拨】

先确定最大角，再用余弦定理求出其余弦值从而求出最大角，最后用正弦定理求sinC.

余弦定理课件余弦定理课件余弦定理课件已知三角形三边求角可先用余弦定理，再用正弦定理．利用余弦定理求角时，角是唯一确定的，用正弦定理求角时，则需根据三角形边角关系确定角的取值，要防止产生增解或漏解．已知三角形三边求角可先用余弦定理，再用正弦定理．利用余弦定理2．在△ABC中，已知(sinB＋sinC)：(sinC＋sinA)：(sinA＋sinB)＝4∶5∶6，求△ABC的最大角．2．在△ABC中，已知(sinB＋sinC)：(sinC＋s余弦定理课件

判断三角形的形状在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC的形状．【思路点拨】

既可以将条件统一为边的条件，利用边的关系进行判断，也可以将条件转化为角的关系，通过角来判断． 判断三角形的形状余弦定理课件余弦定理课件余弦定理课件余弦定理课件判断三角形的形状，通常有两个途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用∠A＋∠B＋∠C＝π这个结论．在两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．判断三角形的形状，通常有两个途径：3．在△ABC中，bcosA＝acosB，试判断△ABC的形状．【解析】方法一：(利用余弦定理的推论将角转化为边)∵bcosA＝acosB，∴b·＝a·，∴b2＋c2－a2＝a2＋c2－b2，∴a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．3．在△ABC中，bcosA＝acosB，试判断△ABC方法二：(利用正弦定理将边转化为角)∵bcosA＝acosB，又b＝2RsinB，a＝2RsinA，∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB，∴sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0.又∵0＜A，B＜π，∴－π＜A－B＜π，∴A－B＝0，即A＝B，∴△ABC为等腰三角形．余弦定理课件

正、余弦定理的综合应用如图，在四边形ABCD中，BC＝a，DC＝2a，四个内角A、B、C、D的度数之比为3∶7∶4∶10，求AB的长．【思路点拨】

先根据内角和为360°求出各内角的大小，在△BCD中，由余弦定理求BD，再在△ABD中，用正弦定理求AB. 正、余弦定理的综合应用余弦定理课件余弦定理课件解多边形的问题，要通过作辅助线转化为三角形中的问题，并根据给出条件选择余弦定理或正弦定理求解．本题中求∠ADB的度数是关键，要善于挖掘隐含条件BC2＋BD2＝CD2.也可通过余弦定理求出∠BDC的度数．解多边形的问题，要通过作辅助线转化为三角形中的问题，并根据给4．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．4．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10余弦定理课件余弦定理课件1．余弦定理证明的其他方法(1)用坐标法证明余弦定理如图：以A为原点，边AB所在直线为x轴建立直角坐标系，1．余弦定理证明的其他方法则A(0,0)、B(c,0)、C(bcosA，bsinA)，由两点间距离公式得BC2＝b2cos2A－2bccosA＋c2＋b2sin2A，即a2＝b2＋c2－2bccosA.同理可证：b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.余弦定理课件余弦定理课件余弦定理课件(3)余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例，两者反映了特殊与一般的关系，从特殊到一般的学习过程，是认识事物的最基本的规律．(4)由余弦定理以及余弦函数的公式知：①在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则0°＜A＜90°；反之，若0°＜A＜90°，则a2＜b2＋c2.②在△ABC中，若a2＝b2＋c2，则A＝90°；反之，若A＝90°，则a2＝b2＋c2.③在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则90°＜A＜180°；反之，若90°＜A＜180°，则a2＞b2＋c2.(3)余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例，3．解三角形问题的类型归纳解三角形的问题可以分为以下四类：(1)已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形．此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角，用三角形的内角和定理求出第三个角，再用正弦定理求出第三边，注意判断解的个数．余弦定理课件(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求第三边.若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边．(3)已知两边和它们的夹角，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另一角，最后用三角形内角和定理求第三个角．(2)已知三角形的两角和任一边，解三角形．(4)已知三角形的三边，解三角形．此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求出另一个角，最后用三角形内角和定理，求出第三个角．要解三角形，必须已知三角形的一边的长．若已知条件中一条边的长也不给出，三角形可以是任意的，因此无法求解．余弦定理课件余弦定理课件【错因】

运用余弦定理求边长时，易产生增解，因此要结合题目中隐含条件进行判断．余弦定理课件余弦定理课件2．已知钝角三角形ABC的三边分别为a＝m，b＝m＋2，c＝m＋4，求m的取值范围．2．已知钝角三角形ABC的三边分别为a＝m，b＝m＋2，c＝【错因】

忽略了三角形成立的条件m＋(m＋2)＞m＋4，即m＞2.【错因】忽略了三角形成立的条件m＋(m＋2)＞m＋4，即m余弦定理课件1．在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C大小为(

)A．60°

B．45°或135°C．120° D．30°【答案】

A余弦定理课件【答案】

C

【答案】C3．已知△ABC的三边AB＝2，BC＝3，AC＝4，则此三角形是____．【答案】

钝角三角形余弦定理课件4．在△ABC中，若s