函数值域或最值的求法解题模板C

函数值域或最值的求法解题模板C常见函数值域或最值的求法解题模板C解题方法模板九：利用公式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|使用情景：函数表达式形如y=|x－a|+|x－b|的类型解题模板：第一步确定所给函数的形式为y=|x－a|+|x－b|的形式第二步利用绝对值三角不等式求解函数的最值或值域.例9求函数y=|x－1|+|x+5|的值域.【答案】【解析】解题模板选择：本题中求解y=|x－a|+|x－b|形式函数的值域，故选取解题方法模板九利用公式法进行解答.解题模板应用：第一步确定所给函数的形式为y=|x－a|+|x－b|的形式函数解析式y=|x－1|+|x+5|中，a=1，b=－5，符合解题模板的样式.第二步利用绝对值三角不等式求解函数的最值或值域.则函数y=|x－1|+|x+5|≤|a|+|b|=6，其值域为[6，+∞).【名师点睛】不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，是求最大、最小值与证明不等式的常用公式之一，如果能灵活应用，问题的解答就特别简单了.解题方法模板十：利用基本不等式使用情景：函数的解析式可以整理变形为的形式，一般为分式函数，且分子或分母部分至少一处含有二次函数的形式解题模板：第一步观察函数解析式的形式，型如或或的函数；第二步对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.例10已知，求函数的最小值.【答案】1【解析】解题模板选择：本题中函数的解析式为二次函数与一次函数比值的形式，故选取解题方法模板十基本不等式法进行解答.解题模板应用：第一步，将函数解析式化成的形式：因为，所以；所以；第二步，利用基本不等式求函数最小值：，当且仅当，即时等号成立.因为在定义域内，所以最小值为1.【典型例题】1．函数的值域为（

）A． B． C． D．2．设函数的最大值是a.若对于任意的恒成立，则b的取值范围是（

）A． B．C． D．3．函数的值域为（

）A． B．C． D．4．函数的值域为A． B． C． D．解题方法模板十一：三角换元法使用情景：所给的函数解析式可以通过适当的变换化为三角函数的问题.解题模板：第一步整理函数的解析式，利用三角函数的性质将原问题转化为三角函数的问题；第二步结合三角函数的性质确定函数的最值或值域.例11求函数的值域.【答案】【解析】解题模板选择：本题中所给的函数解析式可以通过适当的变形转化为三角函数求值域的问题，故选取解题方法模板十一三角换元法进行解答.解题模板应用：第一步整理函数的解析式，利用三角函数的性质将原问题转化为三角函数的问题；所给函数可化为，令，则，第二步结合三角函数的性质确定函数的值域.，即，故函数的值域为.【名师点睛】三角换元法是一种非常重要的数学思想方法，它在中学数学中有着广泛的应用.一般地，在遇到与圆、椭圆方程或者与之相似的代数式时，经常使用三角换元法，将复杂的代数问题转化为三角问题，从而使问题变得简单明了.掌握了三角代换思想，可以比较顺利地解决一些较难的题目，提高学生的解题效率.一些看似无从下手的题目，巧用三角换元法，往往会达到事半功倍的效果.【典型例题】5．已知函数，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．解题方法模板十二：利用定义域求值域使用情景：函数的定义域容易确定，且可以通过变形分别将x，y放置在等式的两边.解题模板：第一步确定函数的定义域第二步通过变形把含自变量x的式子移到一边，把含y的式子移到一边第三步通过函数的定义域直接转化为关于y的式子的范围，进一步求出y的取值范围或最值例12求函数的值域.【答案】{y|y>1或y<－1}【解析】解题模板选择：本题中容易反解出的解析式，故选取解题方法模板十二利用函数的定义域法进行解答.解题模板应用：第一步确定函数的定义域由函数得，易得函数的定义域为{x|x≠0}.第二步通过变形把含自变量x的式子移到一边，把含y的式子移到一边由函数，解之，得.第三步通过函数的定义域直接转化为关于y的式子的范围，进一步求出y的取值范围再由x≠0，得e2x>0且e2x≠1.故有，即y>1或y<－1.因此函数的值域为{y|y>1或y<－1}.【名师点睛】先求出函数的定义域，再通过变形把含自变量x的式子移到一边，把含y的式子移到一边，再通过函数的定义域直接转化为关于y的式子的范围，进一步求出y的取值范围，即求出函数的值域这种方法，理论上是总成立的，它采用数学中的转化思想，把函数的定义域转化到函数的值域.只不过有的时候这种转化甚为麻烦，我们根据实际情况，合理使用，不要过于死板解题方法模板十三：求导法使用情景：求导法为通用方法，对于导函数的解析式容易确定性质的函数均可利用求导来确定函数的值域.解题模板：第一步确定函数的定义域和导函数的解析式第二步由导函数的符号确定函数的单调性第三步结合函数的单调性确定函数可能取得最值的点的横坐标，然后求解函数值即可确定函数的最值或值域.例13求函数在[0，3]上的值域.【答案】【解析】解题模板选择：本题中所给函数的导函数是一个二次函数，容易讨论其性质，故选取解题方法模板十三求导法进行解答.解题模板应用：第一步确定函数的定义域和导函数的解析式函数的定义域为[0，3]，且由，得f'(x)=x2－4=(x－2)(x+2).第二步由导函数的符号确定函数的单调性(1)当f'(x)=0，得x=2；(2)当f'(x)>0，得2<x≤3，函数单调递增；(3)当f'(x)<0，得0≤x<2，函数单调递减.第三步结合函数的单调性确定函数可能取得最值的点的横坐标，然后求解函数值即可确定函数的值域.故，又f(0)=4，f(3)=1，得.因此函数在[0，3]上的值域为.【名师点睛】通过求导是求函数值域(最大值与最小值)的通用方法，从理论而言，一般函数的值域都可以用求函数的导数解答，不过有时求导去解答比较麻烦，用上面的一些方法更为简单.【典型例题】6．已知函数，若函数与相同的值域，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．函数f(x)＝xsinx＋cosx(0≤x≤π)值域是.8．函数在区间上的值域为.9．函数，若与有相同值域，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．10．函数在区间上的值域为．解题方法模板十四：反函数法使用情景：函数具有单调性，且反函数的解析式容易确定解题模板：第一步求已知函数的反函数；第二步求反函数的定义域；第三步利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域例14求函数的值域.【答案】【解析】解题模板选择：本题中反函数的解析式容易确定，故选取解题方法模板十四反函数法进行解答.解题模板应用：第一步求已知函数的反函数；由原函数式可得：，则其反函数为，第二步求反函数的定义域；函数有意义，则，故反函数的定义城为，第三步利用反函数的定义域是原函数的值域的关系即可求出原函数的值域：由反函数的解析式可知所求函数的值域为.参考答案：1．D【解析】当时，，再利用为奇函数，可得当时的取值范围，从而可得答案．【详解】令，，为奇函数，又当时，，当时，．的值域为，，．故选：D．【点睛】本题考查基本不等式，着重考查双钩函数的性质，属于基础题．2．C【解析】由分式函数值域的求法可得，再结合不等式恒成立问题求解即可.【详解】解：当时，；当时，，当且仅当，即时取等号，综上可得，即.由题意知在上恒成立，即在上恒成立.令，，则，则即.故选：C.【点睛】本题考查了分式函数值域的求法，重点考查了不等式恒成立问题，属中档题.3．A【分析】先对进行化简得，再通过基本不等式求出的范围，即可得出的值域.【详解】当时，有，又因为当时，，则，反之当时，，则，当时，有意义，取并集得：，即，所以的值域为.故选:A.【点睛】本题考查分式函数的值域，运用到基本不等式求得最大最小值和倒数的方法，属于中档题.4．C【分析】令，把已知函数解析式变形，令变形，再由“对勾函数”的单调性求解.【详解】解：令，，令，则，原函数化为，该函数在上为减函数，在上为增函数，又当时，，当时，，当时，.∴函数的值域为，则函数的值域为.故选：C.【点睛】本题考查利用换元法及“对勾函数”的单调性求函数值域，是中档题.5．C【解析】由，得，利用三角换元设，，其中，再由，再进行换元，令，则，，由新函数的单调性及定义域可求得值域.【详解】由，得，不妨设，，其中，则，令，则,因为，则，所以，即，，在上为增函数，在上为减函数，.故选：C.【点睛】本题考查函数的值域求解，利用三角函数换元将原问题转化，再进行换元及函数单调性可得值域，属于较难题.6．C【分析】利用导数研究函数的单调性，得出函数的值域，结合的图象可得的值域，从而得出结论．【详解】解：在上是减函数，时，，，时，，时，，可知在递减，递增，又函数是连续的．∴在递减，递增，所以值域为，若函数与有相同的值域，即需满足即可，则，故选：C.【点睛】本题考查用导数求函数的值域，解题关键是确定函数的单调性，才能通过的值域得出不等关系．7．【分析】先对函数求导，再求函数的单调区间即得f(x)最大＝f(x)极大＝，再比较f(0)，f(π)的大小，即得函数的最小值,即得函数的值域.【详解】由题得f′(x)＝xcosx(0＜x＜π)，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)递增；当x∈时，f′(x)＜0，f(x)递减．∴f(x)最大＝f(x)极大＝，又f(0)＝1，f(π)＝－1，∴f(x)最小＝－1，故f(x)在[0，π]上的值域为.故答案为【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.8．【分析】计算f′（x）=excosx，当0≤x≤时，f′（x）≥0，f（x）是[0，]上的增函数．分别计算f（0），f（）即得解.【详解】f′（x）=ex（sinx+cosx）+ex（cosx﹣sinx）=excosx，当0≤x≤时，f′（x）≥0，∴f（x）是[0，]上的增函数．∴f（x）的最大值在x=处取得，f（）=,f（x）的最小值在x=0处取得，f（0）=．∴函数值域为故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数求函数的值域，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.9．D【解析】计算以及，构造函数并求得导数，进而判断，可得单调递增，然后计算，可知函数的单调