双曲线函数的图像与性质及应用6455

一个十分重要得函数得图象与性质应用新课标高一数学在“基本不等式”一节课中已经隐含了函数得图象、性质与重要得应用,就是高考要求范围内得一个重要得基础知识．那么在高三第一轮复习课中，对于重点中学或基础比较好一点学校得同学而言,我们务必要系统介绍学习（ab≠０）得图象、性质与应用。２．1定理:函数（ab≠0）表示得图象就是以y=ａx与x=0(y轴）得直线为渐近线得双曲线。首先，我们根据渐近线得意义可以理解：aｘ得值与得值比较,当很大很大得时候，得值几乎可以忽略不计,起决定作用得就是ａｘ得值;当得值很小很小,几乎为０得时候，ax得值几乎可以忽略不计，起决定作用得就是得值．从而，函数(ab≠0)表示得图象就是以ｙ=ａx与x=０（y轴）得直线为渐近线得曲线．另外我们可以发现这个函数就是奇函数,得它图象应该关于原点成中心对称．由于函数形式比较抽象,系数都就是字母，因此要证明曲线就是双曲线就是很麻烦得，我们通过一个例题来说明这一结论．例1.若函数就是双曲线，求实半轴a，虚半轴b,半焦距c，渐近线及其焦点,并验证双曲线得定义。分析：画图，曲线如右所示;由此可知得它渐近线应该就是与x＝0两条直线;由此，两条渐近线得夹角得平分线y=x就就是实轴了，得出顶点为A(,3），A1y（－,—3)；∴ａ=＝，由渐近线与实轴得夹角就是30º，则有＝ｔａn30º，得b=2，Aｃ==4,∴F1(2,）F(-2,-）。为了验证函数得图２象就是双曲线,在曲线上任意取一点P（x，)满足即Ox可；x23xA123PFPF(x2)2(23)2(x2)2(23)23312xx2x232x23(23)(23)43例1图33xx所以，函数表示得曲线就是双曲线．（在许多地方,老师把这个曲线形状形象概括为“双钩曲线”,其实很不准确得．）2。２五种表现形式表现1：函数（a＞0，ｂ〉0)得双曲线大概图象如下：渐近线含双曲线部分得夹角就是锐角,在与上函数分别就是单调递增得,在与上函数分别就是单调递减得;在ｘ=处有极大值,在x=处有极小值；值域就是．yyA表现2：函数（a＜０,b〈０）得双曲线大概图象如下：Ay=axy=axOxxO渐近线含双曲线部分得夹角就是锐角,在与上A1A1表现2图表现1图函数分别就是单调递减得,在与上函数分别就是单调递增得；在x＝处有极小值,在x=处有极大值；值域就是.表现3：函数(a＞０，b<0）得双曲线大概图y象如右：此时,渐近线含双曲线部分得夹角就是钝角,∵〉0，所以,函数在与上函数分别就是单调递增得R．表现4：函数（a<０，b>0）得双曲线图象如右：,∵〈0，,每一个单调,每一个单调区间上得值域都就是A1y=ax此时，渐近线含双曲线部分得夹角就是钝角yOx所以，函数在与上函数分别就是单调递减得A区间上得值域就是R．特别，后面两个函数得单调性很“单纯”，在解题时候要引起重视,在高考中也多次应用5：函数(x≠0)就是等轴双曲线，以ｘy轴为渐近线,在两个区间与上函数分别就是单调递,注意总结.A表现表现3图Ox轴、A1y=ax减得．这个学生在初中就应该掌握了得函数2、３应用举例与重点推广这个函数最大有用处就就是它得单调性，因此往往表现4图就是利用得它在某个区间上得单调性来求函数得值域，或比较大小,或求最值等。例2.已知x>ｙ〉0，xｙ=1，求得最小值及此时解:∵x＞y＞0,∴x—ｙ〉又xｙ=１，x、y得值0,∴=；解混合式得:所以当:时候,取得最小值为.例3。求y＝（x≥0)解：令ｘ+2=t则x=t—2代入得由x≥０得t≥2,而在上就是减函数得，所以ｙ≤—5，值域为例１1.已知(1)若a〉０，求得单调区间（２）若当时，恒有<0，求实数a得取值范围解:=当〉０时,得单调递增区间为,单调递减区间为.（２)（ｉ）当时,显然＜0成立,此时，（ｉｉ）当时,由<0,可得＜〈，令则＞0，∴在要求区间内就是单调递增,可知〈0，∴在要求区间内就是单调递减，可知此时得范围就是(—1,3）综合ｉ、ｉi得:得范围就是(-１，３）从上面几个例子可以瞧出，形如或(m≠0，ａ≠0）函数值域判别式来求，也可以用这个双曲线函数得单调性来求,尤其对于自变量不就是而就是某个限制得范围,更要利用这个函数得单调性来解决了．不但可以用二次方程得△自然得定义域，时候重点推广:到此我们来瞧瞧函数(ad≠ｂc，ａ≠０)究竟就是什么样得图象与性质呢？它可以通过变形化为,继续化为,因此,函数(ad≠bｃ,a≠0)得图象就是可以从得图象通过得,从而（aｄ≠bc，a≠0）得图象也就是等轴双平移而来y曲线,渐近线就是，得两条直线，在与两个区间上都具有相同得单调性,〉0时都就是单调递减，＜0时都就是单调递增．这个函数与函数（a＞0，b〉0）要与一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数一样，作为高三复习时候得基本函数，要熟练理解与应用，.xO例4。已知正项数列满足a=a（0〈a〈1）1且ａ≤,n+1求证分析：本题有别得证法，这里就用数学归纳法结合上面函数得单调性思想来处理；a=a，符合求证结论ｉ）n＝1时1ｉi设n=k时结论成立则n=k+１时候，ak+1≤，而,因此,考虑函数f(x)＝＝１-在区间与区间都就是递,（0，1)，所以f(x)＝在0,１)也就是递增函数，从而，ａk+≤,所以n＝k+1增函