2023-2024学年北师大版必修第一册 第一章　2-1　第2课时　习题课　充分条件与必要条件的综合应用 课件（12张）

充要条件的证明(1)充要条件的证明问题,关键是理清题意,认清条件与结论分别是什么.(2)证明p是q的充要条件,既要证明“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性.(3)证明p的充要条件是q,既要证明“p⇒q”为真,又要证明“q⇒p”为真,前者证明的是必要性,后者证明的是充分性.例1求证:方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.证明(必要性)∵关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1,∴x=1满足方程ax2+bx+c=0.∴a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0.(充分性)∵a+b+c=0,∴c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,可得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.因此,方程有一个根为x=1.故关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0.探究二根据充分条件、必要条件求参数的取值范围例2已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,且q是p的充分条件,则实数a的取值范围为(

)A.(-1,6) B.[-1,6]C.(-∞,-1)∪(6,+∞) D.(-∞,-1]∪[6,+∞)分析可将p和q中所涉及的变量x的取值范围解出来,根据充分条件,转化为其构成的集合之间的包含关系,建立关于参数a的不等式组,从而求得实数a的取值范围.解析设q,p表示的范围分别为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).所以-1≤a≤6.故选B.答案B反思感悟

根据充分条件与必要条件求参数取值范围的步骤如下:(1)记集合M={x|p(x)},N={x|q(x)};(2)根据以下表格确定集合M与N的包含关系:条件类别集合M与N的关系p是q的充分不必要条件M⫋Np是q的必要不充分条件M⫌Np是q的充要条件M=Np是q的充分条件M⊆Np是q的必要条件M⊇N(3)根据集合M与N的包含关系建立关于参数的不等式(组);(4)解不等式(组)求出参数的取值范围.延伸探究例2中,是否存在实数a,使p是q成立的必要不充分条件?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.解存在.设q,p表示的范围分别为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).若p是q的必要不充分条件,故存在这样的实数a,a的取值范围为[-1,6].素养形成数形结合思想的应用在解答有关充要条件的判断,或者根据条件间的充分性、必要性求参数的取值范围时,有时要借助于Venn图或数轴求解,可以比较形象、直观地解决问题,培养我们直观想象的核心素养.1.Venn图的应用(1)用列举法表示集合,可以很清晰地判断条件间的关系.(2)把条件用集合来表示,将抽象的条件具体化、形象化,方便判断.典例1

已知集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},则x∈A是x∈B的(

)A.充分不必要条件

B.充要条件C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件分析作出Venn图,判断集合A和集合B之间的关系,进而做出判断.解析作出Venn图,如图所示,可知x∈B⇒x∈A,但x∈A不能推出x∈B,所以x∈A是x∈B的必要不充分条件.答案C2.数轴的应用(1)判断涉及集合的条件间的充分性、必要性时,如果集合中的实数为连续性的,则可用数轴表示集合做出判断.(2)在根据条件间的关系求参数的取值范围时,一般转化为集合间的关系,用数轴法解决,这种解法更加的直观形象,不易出错.典例2

已知集合A={x|-1<x<4},B={x|x<5},则x∈A是x∈B的(

)A.充分不必要条件

B.充要条件C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件解析在数轴上作出集合A和B如图所示,由图可知x∈A⇒x∈B,但x∈B不能推出x∈A,所以x∈A是x∈B的充分不必要条件.答案A典例3

已知命题p:-1<x<3,命题q:-m<x<m(m>0),若p是q的必要条件,求实数m的取值范围.解