2023-2024学年北师大版必修第一册 第四章　§1　对数的概念 课件（21张）

激趣诱思苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为了简化其中的运算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件,恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始、微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就.伽利略也说过:“给我空间、时间及对数,我就可以创造一个宇宙.”对数究竟是什么?它为何有如此大的魅力?它的作用何在?知识点拨一、对数的概念1.一般地,如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作logaN=b,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.要点笔记

“log”同+、-、×等符号一样,表示一种运算,即已知一个底数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面.2.两种特殊的对数:名称定义常用对数当对数的底数a=10时,通常称之为常用对数,N的常用对数log10N,简记为lgN自然对数在科学领域,常常使用无理数e=2.718281…为底数的对数,称之为自然对数,并将logeN简记为lnN.微拓展给定底数后,对数运算是指数运算的逆运算.微练习

(2)已知log4x=2,则x等于(

)A.±4 B.4C.16 D.2答案(1)B

(2)C二、对数的基本性质1.负数和零没有对数.2.对于任意的a>0,且a≠1,都有loga1=0,logaa=1,名师点析

1.loga1=0,logaa=1可简述为“1的对数等于0,底的对数等于1”.2.对数恒等式的特点:(1)指数中含有对数形式;(2)同底,即幂底数和对数的底数相同;(3)其值为对数的真数.(2)若log3(log2x)=0,则x=

.

解析(2)由已知得log2x=1,故x=2.答案(1)D

(2)2课堂篇探究学习探究一对数式与指数式的互化例1将下列指数式与对数式互化:分析利用当a>0,且a≠1时,logaN=b⇔ab=N进行互化.反思感悟

1.logaN=b(a>0,且a≠1)与ab=N(a>0,且a≠1)是等价的,表示a,b,N三者之间的同一种关系.如下表:式子名称意义abN指数式ab=N底数指数幂a的b次幂等于N对数式logaN=b底数对数真数以a为底N的对数等于b2.将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.变式训练

1将下列指数式与对数式互化:探究二利用对数式与指数式的关系求值例2求下列各式中x的值:(1)4x=5·3x;

(2)log7(x+2)=2;(3)lne2=x;

(4)logx27=;(5)lg0.01=x.分析利用指数式与对数式之间的关系求解.要点笔记

指数式ax=N(a>0,且a≠1)与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.变式训练

2求下列各式中的x值:(1)log2x=;(2)log216=x;(3)logx27=3.(2)∵log216=x,∴2x=16.∴2x=24.∴x=4.(3)∵logx27=3,∴x3=27.即x3=33.∴x=3.探究三利用对数的基本性质与对数恒等式求值例3求下列各式中x的值:(1)ln(log2x)=0;

(2)log2(lgx)=1;分析利用logaa=1,loga1=0(a>0,且a≠1)及对数恒等式求值.解(1)∵ln(log2x)=0,∴log2x=1.∴x=21=2.(2)∵log2(lg

x)=1,∴lg

x=2.∴x=102=100.反思感悟

1.在对数的运算中,常见的对数的基本性质有:(1)负数和零没有对数;(2)loga1=0(a>0,且a≠1);(3)logaa=1(a>0,且a≠1).2.对指数中含有对数的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.对数恒等式

=N(a>0,且a≠1,N>0)的结构特点是:(1)指数中含有对数;(2)它们是同底的;(3)其值为对数的真数.变式训练

3求下列各式中x的值:(1)ln(lgx)=1;(2)log2(log5x)=0;解(1)∵ln(lg

x)=1,∴lg

x=e.∴x=10e.(2)∵log2(log5x)=0,∴log5x=1.∴x=5.当堂检测1.将log5b=2化为指数式是(

)A.5b=2 B.b5=2 C.52=b D.b2=5答案C2.(2020全国1,文8)设alog34=2,